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2013中考数学试题分类汇编之相似三角形 (无答案)


2013 中考全国 100 份试卷分类汇编

相似三角形
1、 (2013?昆明)如图,在正方形 ABCD 中,点 P 是 AB 上一动点(不与 A,B 重合) ,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 P 分别作 AC,BD 的垂线,分别交 AC,BD 于点 E,F,交 AD,BC 于点 M,N.下列 结论: ①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE +PF =PO ;④△POF∽△BNF;⑤当△ PMN∽△AMP 时,点 P 是 AB 的中点. 其中正确的结论有( )
2 2 2

A.5 个

B .4 个

C. 3 个

D.2 个

2、 (2013?新疆)如图,Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D 为 BC 的中点,若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发,沿着 A→B→A 的方向运动,设 E 点的运动时间为 t 秒(0≤t<6) ,连接 DE,当 △ BDE 是直角三角形时,t 的值为( )

A.2

B.2.5 或 3.5

C.3.5 或 4.5

D.2 或 3.5 或 4.5

3、 (2013?新疆)如图,△ ABC 中,DE∥BC,DE=1,AD=2,DB=3,则 BC 的长是(



4、 (2013?内江) 如图, 在?ABCD 中, E 为 CD 上一点, 连接 AE、 BD, 且 AE、 BD 交于点 F, S△ DEF: S△ ABF=4: 25,则 DE:EC=( )

A.2:5

B.2:3

C.3:5

D.3:2

5、 (2013?自贡)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交 BC 于 E,交 DC 的 延长线于 F,BG⊥AE 于 G,BG= ,则△ EFC 的周长为( )

A.11

B.10

C. 9

D.8

6、 (2013?雅安)如图,在?ABCD 中,E 在 AB 上,CE、BD 交于 F,若 AE:BE=4:3,且 BF=2,则 DF= ..

7、 (2013?雅安)如图,DE 是△ ABC 的中位线,延长 DE 至 F 使 EF=DE,连接 CF,则 S△ CEF:S 四边形 BCED 的值为( )

A.1:3

B.2:3

C.1:4

D.2:5

8、 (2013 聊城)如图,D 是△ ABC 的边 BC 上一点,已知 AB=4,AD=2.∠DAC=∠B,若△ ABD 的面积 为 a,则△ ACD 的面积为( )

A.a

B.

C.

D.

9、 (2013 菏泽)如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为 S1,S2,则 S1+S2 的值为( )

A.16

B.17

C.18

D.19

10、 (2013?孝感)如图,在△ ABC 中,AB=AC=a,BC=b(a>b) .在△ ABC 内依次作∠CBD=∠A, ∠DCE=∠CBD,∠EDF=∠DCE.则 EF 等于( )

A.

B.

C.

D.

11、 (2013?宜昌)如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是(1,7) , (1,1) , (4,1) , (6,1) ,以 C,D,E 为顶点的三角形与△ ABC 相似,则点 E 的坐标不可能是( )

A.(6,0)

B.(6,3)

C.(6,5)

D.(4,2)

12、 (2013?咸宁) 如图, 正方形 ABCD 是一块绿化带, 其中阴影部分 EOFB, GHMN 都是正方形的花圃. 已 知自由飞翔的小鸟,将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为( )

A.

B. 1

C.

D.

2

13、 (2013?恩施州)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 为 OD 的中点,连接 AE 并延长交 DC 于点 F,则 DF:FC=( )

A.1:4

B.1:3

C.2:3

D.1:2

14、 (9-2 图形的相似·2013 东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相似 的直角三角形边长分别是 3、4 及 x,那么 x 的值( A. 只有 1 个 B. 可以有 2 个 ) D. 有无数个 )

C. 可以有 3 个

15、 (2013?鄂州)如图,Rt△ ABC 中,∠A=90°,AD⊥BC 于点 D,若 BD:CD=3:2,则 tanB=(

A.

B.

C.

D.

16、 (2013?绥化)如图,点 A,B,C,D 为⊙O 上的四个点,AC 平分∠BAD,AC 交 BD 于点 E,CE=4, CD=6,则 AE 的长为( )

A.4

B .5

C. 6

D.7

17、 (2013?牡丹江)如图,在△ ABC 中∠A=60°,BM⊥AC 于点 M,CN⊥AB 于点 N,P 为 BC 边的中点, 连接 PM,PN,则下列结论:①PM=PN;② BN= PC.其中正确的个数是( ) ;③△PMN 为等边三角形;④当∠ABC=45°时,

A.1 个

B .2 个

C. 3 个

D.4 个

18、 (2013 哈尔滨) 如图,在△ABC 中,M、N 分别是边 AB、AC 的中点,则△AMN 的面积与四边形 MBCN 的 面积比为( (A) ). (B)

1 2

1 3

(C)

1 4

(D)

2 3

20、 (2013?白银)如图,路灯距离地面 8 米,身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部(点 O)20 米的 A 处, 则小明的影子 AM 长为 5 米.

21、 (2013?牡丹江)如图,在△ ABC 中,D 是 AB 边上的一点,连接 CD,请添加一个适当的条件 ∠ACD=∠ABC(答案不唯一) ,使△ ABC∽△ ACD. (只填一个即可)

22、 (2013?巴中)如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网 4 米的位置上,则球拍击球 的高度 h 为 1.5 米 .

23、 (2013?黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起,则

的值是



24、 (2013 台湾、33)如图,将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块,其中甲、丙为梯形,乙为三 角形.根据图中标示的边长数据,比较甲、乙、丙的面积大小,下列判断何者正确?( )

A.甲>乙,乙>丙

B.甲>乙,乙<丙

C.甲<乙,乙>丙

D.甲<乙,乙<丙

25、 (13 年北京 4 分 5) 如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点 A,在近岸取点 B,C,D, 使得 AB⊥BC,CD⊥BC,点 E 在 BC 上,并且点 A,E,D 在同一条直 若测得 BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度 AB 等于 A. 60m C. 30m 答案:B 26、 (2013?牡丹江)劳技课上小敏拿出了一个腰长为 8 厘米,底边为 6 厘米的等腰三角形,她想用这个等 腰三角形加工成一个边长比是 1:2 的平行四边形,平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角, 平行四边形的其它顶点均在三角形的边上,则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm 或 cm . B. 40m D. 20m 线上。

27、 (2013?眉山)如图,△ ABC 中,E、F 分别是 AB、AC 上的两点,且 2,则四边形 EBCF 的面积为 16 .

,若△ AEF 的面积为

28、 (2013?六盘水)如图,添加一个条件: ∠ADE=∠ACB(答案不唯一) ,使△ ADE∽△ACB, (写 出一个即可)

29、 (2013?苏州)如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是边长为 2 的正方形,顶点 A、C 分别在 x, y 轴的正半轴上.点 Q 在对角线 OB 上,且 QO=OC,连接 CQ 并延长 CQ 交边 AB 于点 P.则点 P 的坐标 为 (2,4﹣2 ) .

30、 (2013?眉山) 如图, ∠BAC=∠DAF=90°, AB=AC, AD=AF, 点 D、 E 为 BC 边上的两点, 且∠DAE=45°, 连接 EF、BF,则下列结论: ①△AED≌△AEF;②△ABE∽△ACD;③BE+DC>DE;④BE +DC =DE , 其中正确的有( )个.
2 2 2

A.1

B .2

C. 3

D.4

31、 (2013?天津)如图,在边长为 9 的正三角形 ABC 中,BD=3,∠ADE=60°,则 AE 的长为 7 .

32、 (2013 安顺)在平行四边形 ABCD 中,E 在 DC 上,若 DE:EC=1:2,则 BF:BE=



33、(2013?钦州)如图,DE 是△ ABC 的中位线,则△ ADE 与△ ABC 的面积的比是 1:4 .

34、 (13 年安徽省 4 分、13)如图,P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一 分别为 PB、PC 的中点,Δ PEF、Δ PDC、Δ PAB 的面积分别为 S、S1、 S=2,则 S1+S2=

点,E、F S2 。 若

35、(2013?宁夏)△ ABC 中,D、E 分别是边 AB 与 AC 的中点,BC=4,下面四个结论:①DE=2; ②△ADE∽△ABC;③△ADE 的面积与△ ABC 的面积之比为 1:4;④△ADE 的周长与△ ABC 的周长之 比为 1:4;其中正确的有 ①②③ . (只填序号) 36、 (2013 年潍坊市)如图,直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AB ? 10 , BC ? 6 ,在线段 AB 上 取一点 D , 作 DF ? AB 交 AC 于点 F .现将 ?ADF 沿 DF 折叠, 使点 A 落在线段 DB 上, 对应点记为 A1 ;

AD 的中点 E 的对应点记为 E1 .若 ?E1 FA1 ∽ ?E1 BF ,则 AD =__________.
37、 (2013?益阳)如图,在△ ABC 中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB 于 E.求证:△ ABD∽△CBE.

38、 (2013 年佛山市)网格图中每个方格都是边长为 1 的正方形.

若 A,B,C,D,E,F 都是格点, 试说明△ABC∽△DEF. C

E

D

F A B 第 1 7 题 图

39、 (2013 成都市)如图,点B在线段 AC 上,点 D,E 在 AC 同侧, ?A ? ?C ? 90 , BD ? BE ,AD=BC.
?

(1)求证:AC=AD+CE; (2)若 AD=3,CE=5,点 P 为线段 AB 上的动点,连接 DP,作 PQ ? DP ,交直线 BE 于点 Q.

i)若点 P 与 A,B 两点不重合,求

DP 的值; PQ

ii)当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时,求线段 DQ 的中点所 经过的路径(线段)长。 (直接写出结果,不必写出解答 ) 。

40、 (2013?巴中)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,连接 DE,F 为线段 DE 上一点,且∠AFE=∠B (1)求证:△ ADF∽△DEC; (2)若 AB=8,AD=6 ,AF=4 ,求 AE 的长.

41、 (2013?徐州)如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,翻折∠C,使点 C 落在斜边 AB 上某一点 D 处,折痕 为 EF(点 E、F 分别在边 AC、BC 上) (1)若△ CEF 与△ ABC 相似. ①当 AC=BC=2 时,AD 的长为 ;

②当 AC=3,BC=4 时,AD 的长为 1.8 或 2.5 ; (2)当点 D 是 AB 的中点时,△ CEF 与△ ABC 相似吗?请说明理由.

42、 (2013?滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示,其中 BA=CD,BC=20cm, BC、EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40cm、8cm.为使板凳两腿底端 A、D 之间的距离为 50cm,那么横梁 EF 应为多长?(材质及其厚度等暂忽略不计) .

43、 (2013?眉山)在矩形 ABCD 中,DC=2 (1)求证:△ DEC∽△FDC;

,CF⊥BD 分别交 BD、AD 于点 E、F,连接 BF.

(2)当 F 为 AD 的中点时,求 sin∠FBD 的值及 BC 的长度.

44、 (2013?株洲)已知在△ ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.点 Q 是线段 AC 上的一个动点,过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB(如图 1)或线段 AB 的延长线(如图 2)于点 P. (1)当点 P 在线段 AB 上时,求证:△ APQ∽△ABC;

(2)当△ PQB 为等腰三角形时,求 AP 的长.

45、 (2013 福省福州 21)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=45°,P 是 BC 边上一点,△ PAD 的 面积为,设 AB=x,AD=y (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若∠APD=45°,当 y=1 时,求 PB?PC 的值; (3)若∠APD=90°,求 y 的最小值.

46、 (2013?苏州)如图,点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点,连接 DP 并延长 DP 交边 AB 于点 E, 连接 BP 并延长交边 AD 于点 F,交 CD 的延长线于点 G. (1)求证:△ APB≌△APD; (2)已知 DF:FA=1:2,设线段 DP 的长为 x,线段 PF 的长为 y. ①求 y 与 x 的函数关系式; ②当 x=6 时,求线段 FG 的长.

47、 (2013?衢州) 【提出问题】 (1)如图 1,在等边△ ABC 中,点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B、C) ,连结 AM,以 AM 为边作 等边△ AMN,连结 CN.求证:∠ABC=∠ACN. 【类比探究】 (2)如图 2,在等边△ ABC 中,点 M 是 BC 延长线上的任意一点(不含端点 C) ,其它条件不变, (1)中 结论∠ABC=∠ACN 还成立吗?请说明理由. 【拓展延伸】 (3)如图 3,在等腰△ ABC 中,BA=BC,点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B、C) ,连结 AM,以 AM 为边作等腰△ AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结 CN.试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系,并说 明理由.

48、 (2013?绍兴)在△ ABC 中,∠CAB=90°,AD⊥BC 于点 D,点 E 为 AB 的中点,EC 与 AD 交于点 G, 点 F 在 BC 上. (1)如图 1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD. (2)如图 2,AC:AB=1: ,EF⊥CE,求 EF:EG 的值.

49、(2013 年广东省 8 分、22)如题 22 图,矩形 ABCD 中,以对角线 BD 为一边构造一个矩形 BDEF,使得另一 边 EF 过原矩形的顶点 C. (1)设 Rt△CBD 的面积为 S1, Rt△BFC 的面积为 S2, Rt△DCE 的面积为 S3 , 则 S1______ S2+ S3(用“>” 、 “=” 、 “<”填空); (2)写出题 22 图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.

50、(2013 年广东省 9 分、25 压轴题)有一副直角三角板,在三角板 ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板 DEF 中, ∠FDE=90°,DF=4,DE= 4 3 .将这副直角三角板按如题 25 图(1)所示位置摆放,点 B 与点 F 重合,直角边 BA 与 FD 在同一条直线上.现固定三角板 ABC,将三角板 DEF 沿射线 BA 方向平行移动,当点 F 运动到点 A 时停止运动. (1)如题 25 图(2),当三角板 DEF 运动到点 D 与点 A 重合时,设 EF 与 BC 交于点 M, 则∠EMC=______度; (2)如题 25 图(3) ,在三角板 DEF 运动过程中,当 EF 经过点 C 时,求 FC 的长; (3)在三角板 DEF 运动过程中,设 BF= x ,两块三角板重叠部分面积为 y ,求 y 与 x 的函数解析式,并求出对应 的 x 取值范围.

51、 (2013?遵义)如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点 M,N 从点 C 同时出发, 均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A,B 移动,同时动点 P 从点 B 出发,以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动,连接 PM,PN,设移动时间为 t(单位:秒,0<t<2.5) . (1)当 t 为何值时,以 A,P,M 为顶点的三角形与△ ABC 相似? (2)是否存在某一时刻 t,使四边形 APNC 的面积 S 有最小值?若存在,求 S 的最小值;若不存在,请说 明理由.

52、 (2013?泰州)如图,在矩形 ABCD 中,点 P 在边 CD 上,且与 C、D 不重合,过点 A 作 AP 的垂线与 CB 的延长线相交于点 Q,连接 PQ,M 为 PQ 中点. (1)求证:△ ADP∽△ABQ; (2)若 AD=10,AB=20,点 P 在边 CD 上运动,设 DP=x,BM =y,求 y 与 x 的函数关系式,并求线段 BM 的最小值; (3)若 AD=10,AB=a,DP=8,随着 a 的大小的变化,点 M 的位置也在变化.当点 M 落在矩形 ABCD 外部时,求 a 的取值范围.
2

53、 (2013?呼和浩特)如图,在边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上的点,BE=1,∠AEP=90°, 且 EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P,交边 CD 于点 F, (1) 的值为 ;

(2)求证:AE=EP; (3)在 AB 边上是否存在点 M,使得四边形 DMEP 是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请 说明理由.

54、 (2013 泰安)如图,四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为 AB 的中点, (1)求证:AC =AB?AD; (2)求证:CE∥AD; (3)若 AD=4,AB=6,求 的值.
2

55、 (2013?苏州)如图,点 O 为矩形 ABCD 的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点 E、F、G 分别从 A、 B、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点 E 的运动速度为 1cm/s,点 F 的运动速度为 3cm/s,点 G 的运动速度为 1.5cm/s,当点 F 到达点 C(即点 F 与点 C 重合)时,三个点随之停止运动.在 运动过程中,△ EBF 关于直线 EF 的对称图形是△ EB′F.设点 E、F、G 运动的时间为 t(单位:s) . (1)当 t= 2.5 s 时,四边形 EBFB′为正方形;

(2)若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F,C,G 为顶点的三角形相似,求 t 的值; (3)是否存在实数 t,使得点 B′与点 O 重合?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

56、 (2013?包头)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E 是 BC 上的一个动点, 连接 DE,交 AC 于点 F.

(1)如图①,当

时,求

的值;

(2)如图②当 DE 平分∠CDB 时,求证:AF=

OA;

(3)如图③,当点 E 是 BC 的中点时,过点 F 作 FG⊥BC 于点 G,求证:CG= BG.

57、 (2013 哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点 0 为坐标原点,A 点的坐标为(3,0),以 0A 为边作等 边三角形 OAB,点 B 在第一象限,过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴于点 C.动点 P 从 0 点出发沿 0C 向 C 点运动, 动点 Q 从 B 点出发沿 BA 向 A 点运动,P,Q 两点同时出发,速度均为 1 个单位/秒。设运动时间为 t 秒. (1)求线段 BC 的长; (2)连接 PQ 交线段 OB 于点 E,过点 E 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 F。设线段 EF 的长为 m,求 m 与 t 之间的函数关系式,并直接写出自变量 t 的取值范围:

(3)在(2)的条件下,将△BEF 绕点 B 逆时针旋转得到△BE F ,使点 E 的对应点 E 落在线段 AB 上,点 F 的对应点是 F ,E F 交 x 轴于点 G,连接 PF、QG,当 t 为何值时,2BQ-PF=
1 1 1

1 1

1

3 QG? 3

58、 (2013?十堰)如图 1,△ ABC 中,CA=CB,点 O 在高 CH 上,OD⊥CA 于点 D,OE⊥CB 于点 E,以 O 为圆心,OD 为半径作⊙O. (1)求证:⊙O 与 CB 相切于点 E; (2)如图 2,若⊙O 过点 H,且 AC=5,AB=6,连接 EH,求△ BHE 的面积和 tan∠BHE 的值.

59、 (2013?咸宁)阅读理解: 如图 1,在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 不与点 A、点 B 重合) ,分别连接 ED,EC,可以把 四边形 ABCD 分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上 的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点.解决问题: (1)如图 1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点,并说明理由; (2)如图 2,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=2,且 A,B,C,D 四点均在正方形网格(网格中每个小正 方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强 相似点 E; 拓展探究:

(3)如图 3,将矩形 ABCD 沿 CM 折叠,使点 D 落在 AB 边上的点 E 处.若点 E 恰好是四边形 ABCM 的 边 AB 上的一个强相似点,试探究 AB 和 BC 的数量关系.

60、(2013 年黄石)如图 1,点 C 将线段 AB 分成两部分,如果

AC BC ,那么称点 C 为线段 AB 的黄金 ? AB AC

分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线” ,类似地给出“黄金分 割线”的定义:直线将一个面积为 S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为 S1 、 S 2 ,如果 那么称直线为该图形的黄金分割线. (1)如图 2,在△ ABC 中, ?A ? 36 °, AB ? AC , ?C 的平分线交 AB 于点 D ,请问点 D 是否 是 AB 边上的黄金分割点,并证明你的结论; (2)若△ ABC 在(1)的条件下,如图(3) ,请问直线 CD 是不是△ ABC 的黄金分割线,并证明你 的结论; (3)如图 4,在直角梯形 ABCD 中,?D ? ?C ? 90? ,对角线 AC 、 BD 交于点 F ,延长 AB 、DC 交于点 E ,连接 EF 交梯形上、下底于 G 、 H 两点,请问直线 GH 是不是直角梯形 ABCD 的黄金分 割线,并证明你的结论. A B H A · A · C 图1 · B A D 图2 B 图3 D B D C 图4 E F

S1 S 2 ? , S S1

C C

61、 (2013?天津) 在平面直角坐标系中, 已知点 A (﹣2, 0) , 点B (0, 4) , 点 E 在 OB 上, 且∠OAE=∠0BA. (Ⅰ)如图①,求点 E 的坐标; (Ⅱ)如图②,将△ AEO 沿 x 轴向右平移得到△ A′E′O′,连接 A′B、BE′. ①设 AA′=m,其中 0<m<2,试用含 m 的式子表示 A′B +BE′ ,并求出使 A′B +BE′ 取得最小值 时点 E′的坐标; ②当 A′B+BE′取得最小值时,求点 E′的坐标(直接写出结果即可) .
2 2 2 2

62、 (2013?衡阳)如图,P 为正方形 ABCD 的边 AD 上的一个动点,AE⊥BP,CF⊥BP,垂足分别为点 E、 F,已知 AD=4. (1)试说明 AE +CF 的值是一个常数; (2)过点 P 作 PM∥FC 交 CD 于点 M,点 P 在何位置时线段 DM 最长,并求出此时 DM 的值.
2 2

63、 (2013?淮安压轴题)如图,在△ ABC 中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单 位长度沿 B→C→A→B 的方向运动;点 Q 从点 C 出发,以每秒 2 个单位沿 C→A→B 方向的运动,到达点 B 后立即原速返回,若 P、Q 两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为 ι 秒. (1)当 ι= 7 时,点 P 与点 Q 相遇; (2)在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中,当 ι 为何值时,△ PCQ 为等腰三角形?

(3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,设△ PCQ 的面积为 s 平方单位. ①求 s 与 ι 之间的函数关系式; ②当 s 最大时,过点 P 作直线交 AB 于点 D,将△ ABC 中沿直线 PD 折叠,使点 A 落在直线 PC 上,求折 叠后的△ APD 与△ PCQ 重叠部分的面积.

64、 (2013?娄底压轴题)如图,在△ ABC 中,∠B=45°,BC=5,高 AD=4,矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上,E、F 分别在 AB、AC 上,AD 交 EF 于点 H. (1)求证: ;

(2)设 EF=x,当 x 为何值时,矩形 EFPQ 的面积最大?并求出最大面积; (3)当矩形 EFPQ 的面积最大时,该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA 匀速向上运动(当矩形 的边 PQ 到达 A 点时停止运动) ,设运动时间为 t 秒,矩形 EFPQ 与△ ABC 重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范围.

65、 (2013?温州压轴题) 如图, 在平面直角坐标系中, 直线 AB 与 x 轴, y 轴分别交于点 A (6, 0) , B (0.8) , 点 C 的坐标为(0,m) ,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,点 D 为 x 轴上的一动点,连接 CD,DE,以 CD,DE 为边作?CDEF. (1)当 0<m<8 时,求 CE 的长(用含 m 的代数式表示) ;

(2)当 m=3 时,是否存在点 D,使?CDEF 的顶点 F 恰好落在 y 轴上?若存在,求出点 D 的坐标;若不 存在,请说明理由; (3)点 D 在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得?CDEF 为矩形,请求出所有满足条件的 m 的值.

66、 (13 年山东青岛、24 压轴题)已知,如图,□ABCD 中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点 P 从点 A 出发,沿 AD 方向匀速运动,速度为 3cm/s;点 Q 从点 C 出发,沿 CD 方向匀速运动,速度为 1cm/s,连接 并延长 QP 交 BA 的延长线于点 M,过 M 作 MN⊥BC,垂足是 N,设运动时间为 t(s) (0<t<1) ,解答下 列问题: (1)当 t 为何值时,四边形 AQDM 是平行四边形? (2)设四边形 ANPM 的面积为 y (cm?) ,求 y 与 t 之间的函数关系式; (3) 是否存在某一时刻 t,使四边形 ANPM 的面积是□ABCD 面积的一半,若存在,求出相应的 t 值,若 不存在,说明理由 (4)连接 AC,是否存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 2 : 1 的两部分?若存在,求出相 应的 t 值,若不存在,说明理由

M A O Q B N C P D

67、 (13 年安徽省 14 分、23 压轴题)我们把由不平行于底边的直线截等腰 角形的两腰所得的四边形称为 “准等腰梯形” 。 如图 1, 四边形 ABCD 即为 “准 腰梯形” 。其中∠B=∠C。 (1)在图 1 所示的“准等腰梯形”ABCD 中,选择合适的一个顶点引一条直 将四边形 ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形 一个梯形(画出一种示意图即可) 。

三 等

线 和

(2)如图 2,在“准等腰梯形”ABCD 中,∠B=∠C,E 为边 BC 上一点, AE∥DC,求证:

若 AB∥DE,

AB BE ? DC EC
与 ∠ ADC 图 3 所示 形 ABCD 内

(3)在由不平行于 BC 的直线截Δ PBC 所得的四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分线交于点 E,若 EB=EC,请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时(即 情形) ,四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形” ,为什么?若点 E 不在四边 部时,情况又将如何?写出你的结论(不必说明理由)

68、 (2013 哈尔滨压轴题)已知:△ABD 和△CBD 关于直线 BD 对称(点 A 的对称点是点 C),点 E、F 分别是 线段 BC 和线段 BD 上的点,且点 F 在线段 EC 的垂直平分线上,连接 AF、AE,AE 交 BD 于点 G. (1)如图 l,求证:∠EAF=∠ABD; (2)如图 2,当 AB=AD 时,M 是线段 AG 上一点,连接 BM、ED、MF,MF 的延长线交 ED 于点 N,∠MBF= ∠BAF,AF=

1 2

2 AD,试探究线段 FM 和 FN 之间的数量关系,并证明你的结论. 3


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