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关于《向量内积的坐标运算


关于《向量内积的坐标运算》

说课稿

郓城县职业教育中心 张安亮

? 一、教材分析 ? 二、教法分析 ? 三、学法指导 ? 四、教学过程

一、教材分析
? 1、地位与作用 ? 2、教学目标 ? 3、重点和难点

1、教材的地位与作用
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《向量内积的坐标运算》是人教版数学提 高版第1册第7章第11节《向量的内积及其坐标 运算》的第2课时内容,在此之前,学生已经 学会了平面向量分解定理、向量的直角坐标、 向量内积的定义、性质及运算,这为过渡到本 节的学习起着铺垫作用;向量内积运算的表示 式是向量部分中的重要公式之一,是进一步学 习三角函数的和角公式、空间向量的内积的坐 标运算等的基础,因此,本节在向量部分中起 着承上启下的作用。

2、教学目标
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(1)知识能力目标
使学生掌握向量内积的坐标表示及垂直向量的坐标表示的充 要条件;会由两向量的坐标求向量的模和夹角。

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(2)数学思想目标
作为一名数学教师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的 是要传授给学生数学思想,因此本节课在教学中力图向学生渗透 转化思想、数形结合思想、类比思想。

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(3)发展目标
激发学生学习的积极性,培养学生认真参与,积极活动的主 体意识和勇于探索、不断超越自我的创新精神。

3、重点和难点
? 重点:向量内积的坐标运算及由此推得

的长度、角度、垂直关系的坐标表示。 ? 难点:向量的长度、角度、垂直关系的 坐标表示的灵活运用。

二、教法分析
?

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引导发现法属于启发式教学,体现了认知心理学的相关内容。在 教学过程中,教师采用启发、引导、点拨的方法,创设各种问题 情景,使学生带着问题去主动思考,主动解决问题,进而达到对 知识的发现和接受,使书本知识成为自己的知识。 它符合辩证唯物主义外因和内因相互作用的关系,也符合教学论 中学生主体地位和教师主导作用相统一的原则,它还能充分调动 学生学习的积极性和主动性。 探究法是学生在探索讨论的过程中寻找解决问题的方法,它有利 于学生对知识的主动建构,有利于突出重点,突破难点,有利于 发挥学生的创新意识。这也体现了荷兰教育家弗莱登塔尔的建构 主义的教学观。

三、学法指导
? 根据本节课的内容,在课堂上,通过师

生双向交流,学生经历了“观察-类比-探 索-发现”的思维环节,使学生进一步掌 握了自主探索问题、自主学习的方法, 对学生今后的学习有很好的指导作用。

四、教学过程
复 习 回 顾 引 导 发 现 提 出 问 题 分 析 问 题 解 决 问 题 引 入 新 课 新 知 探 究

新 知 应 用

课 堂 练 习

巩 固 新 知

课 堂 小 结

布 置 作 业

1、复习回顾
练习:如图e1,e2分别是 y x轴、y轴上的基向量 e (1)设坐标系中a=(a1,a2), b=(b1,b2),则向量a,b的 o e x 分解式分别为a=______ b=_____ (2)计算e1· e1=___, e2· e2=_____ e1· e2=_____, e2· e1=_______ ? 重现已有的相关知识,为学习新知识做好铺垫。
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2 1

2、引导发现,提出问题
? ?

a+b=(a1+b1,a2+b2), λ a=(λ a1, λ a2)
引导学生发现并提出问题,激发学生学习的兴 趣与欲望,可以给学生提供广泛的问题情景和 自由的思考空间,使学生对问题的学习有更大 的发挥空间并积极投入到学习中来,只有学生 进行积极的自觉地学习,才能使整个教学过程 产生所期望的效果,正如爱因斯坦所说,提出 问题比解决问题更重要。

3、分析问题,解决问题,引入新课
a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2) e2=(a1+b1,a2+b2) ? a· b=(a1e1+a2e2)· (b1e1+b2e2)=a1· b1e1e1+a1b2e1e2 + a2b1e2e1 +a2b2e2e2 =a1b1· 1+ a1b2· 0+ a2b1· 0+
?

a2b2· 1= a1b1 + a2b2
?

课堂上,通过教师引导,让学生动手解决问题,这体现了教师为 主导,学生为主体的课堂教学模式,发挥了学生的主观能动性, 通过类比,可以锻炼学生的类比概括能力和知识迁移能力,通过 学生简单的推导,便自然而然的引入了本节课的知识要点。这样 做不仅培养了学生获取知识的能力,更使学生分析问题、解决问 题的能力从中得到提高,所以在教学活动中,充分体现了教师是 学生的促进者、引导者与合作者。

4、新知探究
? 向量内积运算的坐标表示

设a=(a1,a2),b=(b1,b2), 则 a· b=a1b1+a2b2 ? 探究1:当a=b时,结论如何?
∣a∣=√a12+a22
?

探究2:两非零向量垂直的充要条件用坐标如 何表示? a⊥ b a· b=0 a1b1+a2b2=0

?

探究3:两非零向量夹角的余弦公式用坐标如 何表示? a1b1+a2b2 a· b = cos<a,b> = ∣a∣· ∣b∣ √a12+a22 · √b12+b22
设计意图:使学生经过推导而得到新知识进一步系统 化、准确化,只有这样,才能得到进一步的巩固和保 持,才能达到学以致用、将知识顺利迁移到陌生问题 情景中去的目的;通过设疑探究,旨在让学生充分感 受和理解知识的产生和发展过程,在教师的启发点拨 和学生积极主动地探索下,将向量内积坐标运算的表 示式与内积的性质结合起来,起到了温故知新的作用, 同时也使新知得到了进一步的延伸,培养了学生的创 新意识和创新精神,同时也培养了学生的思维能力。

5、新知应用
已知a=(3,-1), b=(1,-2)。 求a· b, ︱a︱, ︱b︱, 〈a,b〉 ? 例2 已知点A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5)。 求证: AB⊥AC
? 例1

说明:①AB⊥ AC ②∠ BAC=π /2 ③△ABC是Rt△

? 设计意图:在此通过创设问题情景,使得研

究新知识是自然的,它既是对前面所学知 识的应用,也是为以后解决向量内积的坐 标运算及其应用类型问题作下铺垫,经过 集体合作思维的撞击,在合作中互相沟通, 在沟通中增进合作,使学生的学习有了更 大的发挥空间,师生之间有了更多的信息 传输与情感交流,师生互动、生生互动, 提高了课堂教学效果。

6、课堂练习,巩固新知
1、已知a=(8,5), b=(-7,-8)。 求a· b, ︱a︱, ︱b︱, cos〈a,b〉 ? 2、已知点A(1,2)、B(-5,8)、C(-2,-1)。 求证: ∠ BAC=π /2 ? 3、已知a=(1,2), b=(-2,3)。 求(a+b )(a-b )
?

?

设计意图:为了使学生对所学知识有较深刻的 认识,让学生进行自我评价,让老师了解学生 掌握情况,并体现了分层次教学的思想,使他 们的心智活动和行为方式在探索中得到训练, 从而形成技能。

7、课堂小结
知识内容的小结: (1)向量内积的坐标运算; (2)应用向量内积运算的表示式,求向量的模和 夹角 (3)应用向量内积运算的坐标表示证明向量垂直、 两线断垂直或证明三角形为直角三角形。 ? 数学思想小结:转化思想、类比思想、数形结 合思想
?

8、布置作业
? 1、必做题(课本P256练习B第4题) ? 2、选作题:已知a=(3,4), b=(8,6),c=(2,k),

其中k为常数,如果a , b 分别与c 所成的角 相等,求k的值。

9、板书设计
1、复习向量内积的 定义、性质及运算律 ? 2、计算基向量e1,e2 的内积。 ? 3、推导 a· b=a1b1+a2b2
? ?

例1

?

例2

课后反思
? 本节课采用了开放式的教学方式,改变

了单一化的知识传递方式,通过创设问 题教学情景,使知识和技能的形成过程 充分体现,使学生的学习有更大的自主 发挥空间,师生之间有了更多的信息传 输、情感交流和意向沟通,这对培养学 生健康的心理和个性综合素质有着很大 的作用

谢谢


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