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空间垂直问题习题课_图文

空间垂直问题 习题课

一、概念复习:

1.线线、线面、面面垂直的定义
(1)两条异面直线的互相垂直

(2)直线和平面垂直
(3)平面和平面互相垂直

2.点、线在面上的射影
(1)点在平面内的射影 (2)线段在平面上的射影 (3)斜线在平面上的射影 (4)直线在平面上的射影

3.垂直关系的判定定理和性质定理 (1)线面垂直的判定定理和性质定理

判定定理:如果一条直线和平面内的两条相交 直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
判定定理:如果两条平行线中的一条垂直于一 个平面,那么另一条也垂直于同一个平面。 判定定理:一条直线垂直于两个平行平面中的 一个平面,它也垂直于另一个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行。

(2)面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在 一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面。 推论:如果两个平面互相垂直,那么经过第 一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在 第一个平面内。

4.三垂线定理和它的逆定理 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这 个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条直 线垂直。 逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平 面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面 内的射影垂直。 5.斜线在平面上的射影长定理 (1)平面外一点向平面所引的线中,垂线段最短 (2)斜线相等射影相等,斜线较长射影较长,反 之成立

二、例:
例1:已知:M∩N=AB,PQ⊥M于Q,PO⊥N于O, OR⊥M于R,求证:QR⊥AB 证明:∵M∩N=AB,PO⊥N ∴PO⊥AB, 同理:PQ⊥AB A N

O
R

P Q M

∴AB⊥平面PQO
又 OR⊥M,∴PQ∥OR

B ∴ PQ与OR确定的平面PR就是平面PQO ∵QR?PR,∴QR⊥AB

例2:如图:正三棱柱中,面对角线AB’⊥BC’,
求证:A’C⊥AB’ 提示证明: 1.作辅助线,取A’B’的中 点D’,连D’C’,D’B 2.C’D’⊥平面ABA’B’所以, C’D’⊥BD’,进而 AB’⊥BD’ 3.再作辅助线如图 4.AB’⊥A’D,AB’⊥CD所以, AB’⊥平面A’DC 5.结果可证 A’ C’ D’ B’

C A D B

例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,M为棱DD’的中点,O 为底面ABCD的中心,P为棱A’B’上任意一点,求直线OP 与直线AM所成的角。 D’ C’ 解:(1)取AD的中点E, P A’ 连OE,A’E B’ M (2)证明AM⊥平面A’EOP E D C (3)得,AM⊥OP O A B 所以OP,AM所成角为 900

例4:已知平面α⊥平面β,平面α⊥平面γ, β∩ γ=a,求证:a ⊥平面α
证明:(1)在平面α内取一 点P,作PA⊥ α, β面 的交线,PB⊥ α, γ面 的交线 (2)由性质定理,PA⊥a, PB⊥a (3)得a⊥平面α α a β A P γ B

思考题:正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两 互相垂直,G是侧面PAB的重心,E是BC上 一点,且BE=BC/3,F是PB上一点,且 PF=PB/3, P 求证:(1)GF⊥平面PBC (2)FE⊥BC F G C A E B

(3)GE是异面直线PG
与BC的公垂线

思考题:(2001年)如图,在直三棱柱ABC-A’B’C’中, ∠ACB=900,∠BAC=300,BC=1,AA’= 6 ,M是CC’ 的中点,求证:AB’⊥A’M

B C M B’ C’

A

A’


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