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高中数学选修1-1模块测试题


数学试题(选修 1-1) 一.选择题 1. “ sin A ?
1 2
?

”是“ A ? 30 ”的(

) B.必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 2. “ mn ? 0 ”是“方程 mx A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
3 2

2

? ny

2

? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”的(



B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
3 2

3.命题“对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R, x ? x ? 1 ≤ 0
3 2

B.存在 x ? R, x ? x ? 1 ≤ 0 D.对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

4.双曲线

x

2

?

y

2

? 1 的焦距为(



10

2

A. 2 2

B. 4 2

C. 2 3 ) C.
x
2

D. 4 3

5. 设 f ( x ) ? x ln x ,若 f ?( x 0 ) ? 2 ,则 x 0 ? ( A. e
2

B. e
y
2

ln 2 2

D. ln 2

6. 若抛物线 y ? 2 p x 的焦点与椭圆
2

?

? 1 的右焦点重合,则 p 的值为(



6

2

A. ? 2 B. 2 C. ? 4 7.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.
3 2

D. 4 )
1 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

高二数学(文科)

第 1 页( 共 9 页)

8.已知两点 F1 ( ? 1, 0 ) 、 F (1, 0 ) ,且 F1 F 2 是 PF 1 与 PF 2 的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是 ( ) A.
x
2

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

16

9

16

12

4

3

3

4

2 9.设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? (



A. 1 10.抛物线 y ? ? A. x ?
1 32 1 8
2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ? 1 ( )

x 的准线方程是

B. y ? 2
x
2

C. y ?

1 32

D. y ? ? 2

11.双曲线
2 3

?

y

2

? ? 1 的渐近线方程是(


3 2 9 4

4

9

A. y ? ?

x

B. y ? ?

4 9

x

C. y ? ?

x

D. y ? ?

x

12.已知对任意实数 x ,有 f ( ? x ) ? ? f ( x ), g ( ? x ) ? g ( x ) ,且 x ? 0 时 f '( x ) ? 0, g '( x ) ? 0 , 则 x ? 0 时( ) B. f '( x ) ? 0, g '( x ) ? 0 D. f '( x ) ? 0, g '( x ) ? 0

A. f '( x ) ? 0, g '( x ) ? 0 C. f '( x ) ? 0, g '( x ) ? 0

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.函数 f ( x ) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 上的单调函数,则 m 的取值范围为
3 2

.

14. 已知 F1 、F2 为椭圆

x

2

?

y

2

25

9

? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若

F 2 A ? F 2 B ? 12 ,则 AB = _____________
x
2

15.已知双曲线

?

y

2

n

12 ? n

? ? 1 的离心率是

3 ,则 n =

.

高二数学(文科)

第 2 页( 共 9 页)

16.命题 p :若 0 ? a ? 1 ,则不等式 ax
f ( x ) ? ax ? 1 x

2

? 2 ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,命题 q : a ? 1 是函数

在 ( 0 , ?? ) 上单调递增的充要条件;在命题①“ p 且 q ” 、 ,真命题是 .

②“ p 或 q ”、③“非 p ” 、④“非 q ”中,假命题是 三.解答题(本大题共 5 小题,共 40 分) 17(本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 ax
3 2

? 3 bx ? 8 在 x ? 1 及 x ? 2 处取得极值.

(1)求 a 、 b 的值;(2)求 f ( x ) 的单调区间. 18(本小题满分 10 分) 求下列各曲线的标准方程
2 3

(1)实轴长为 12,离心率为

,焦点在 x 轴上的椭圆;
2 2

(2)抛物线的焦点是双曲线 16 x ? 9 y ? 144 的左顶点. 19(本小题满分 10 分) 已知椭圆
x
2

?

y

2

? 1 ,求以点 P ( 4 , 2 ) 为中点的弦所在的直线方程.

36

9

20(本小题满分 10 分) 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/小时) 的函数解析式可以表示为: y ?
1 128000 x ?
3

3 80

x ? 8 ( 0 ? x ? 120 ) .已知甲、乙两地相距 100

千米. (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 21(本小题满分 10 分) 已知双曲线 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的两个焦点为 F1 ( ? 2 , 0 ) 、 F 2 ( 2 , 0 ) 点 P ( 3 ,

7 ) 在双

曲线 C 上. (1)求双曲线 C 的方程; (2)记 O 为坐标原点,过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,若△OEF 的 面积为 2 2 , 求直线 l 的方程.

高二数学(文科)

第 3 页( 共 9 页)

参考答案 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1-6 BBCDBD 7-12 ACABCB 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. [ , ?? )
3 1

14. 8

15.

? 12 或 24

16. ①、③,

②、④.

三.解答题(本大题共 5 小题,共 48 分) 17(本小题满分 8 分)
2 解: (1)由已知 f ?( x ) ? 6 x ? 6 ax ? 3 b

2 因为 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 处取得极值,所以 1 和 2 是方程 f ?( x ) ? 6 x ? 6 ax ? 3 b ? 0 的两根

故 a ? ?3 、 b ? 4 (2)由(1)可得 f ( x ) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 8
3 2

f ?( x ) ? 6 x ? 18 x ? 12 ? 6 ( x ? 1 )( x ? 2 )
2

当 x ? 1 或 x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 是增加的; 当 1 ? x ? 2 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 是减少的。 所以, f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? ,1 ) 和 ( 2 , ?? ) , f ( x ) 的单调减区间为 (1, 2 ) . 18 (本小题满分 10 分) 解: (1)设椭圆的标准方程为
c a 2 3
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

由已知, 2 a ? 12 , e ?
? a ? 6, c ? 4, b
2

?

? a

2

?c
x
2

? 20
y
2

所以椭圆的标准方程为

?

? 1.

36

20 x
2

(2)由已知,双曲线的标准方程为

?

y

2

? 1 ,其左顶点为 ( ? 3 , 0 )

9
2

16

设抛物线的标准方程为 y ? ? 2 px ( p ? 0 ) , 其焦点坐标为 ( ? 则
p 2
高二数学(文科)

p 2

,0 ) ,

? 3

即p ? 6

所以抛物线的标准方程为 y ? ? 12 x .
2

第 4 页( 共 9 页)

19(本题满分 10 分) 解:设以点 P ( 4 , 2 ) 为中点的弦的两端点分别为 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,
x
2

由点 A 、 B 在椭圆

?

y

2

? 1 上得

36 x1
2

9 x2
2

?

y1 9

2

?1

?

y2 9

2

?1

36

36 x1 ? x 2
2 2

两式相减得:

?

y1 ? y 2
2

2

? 0

36

9
2 2

即 4 ( y1 ? y 2 ) ? ? ( x1 ? x 2 )
2 2

? 4 ( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ? ? ( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 )

显然 x 1 ? x 2 不合题意,? x 1 ? x 2
? k AB ? y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 4( y1 ? y 2 )

由 x1 ? x 2 ? 8, y 1 ? y 2 ? 4
8 4?4 ? ? 1 2

? ?

所以,直线 AB 的方程为 y ? 2 ? ?

1 2

( x ? 4)

即所求的以点 P ( 4 , 2 ) 为中点的弦所在的直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 20(本小题满分 10 分) (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 耗油 (
1 128000 ? 40
3

100 40

? 2 . 5 小时,

?

3 80

? 40 ? 8 ) ? 2 . 5 ? 17 . 5 (升)

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17 . 5 升. (2)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 依题意得 h ( x ) ? (
x 640

100 x

小时,设耗油量为 h ( x ) 升,
? 15 4 ( 0 ? x ? 120 )

1 128000

x ?
3

3 80

x ? 8) ?
3

100 x

?

1 1280

?

800 x

则 h ?( x ) ?

?

800 x
2

?

x ? 80
3

640 x

2

( 0 ? x ? 120 )

令 h ? ( x ) ? 0 得 x ? 80 当 x ? ( 0 ,80 ) 时, h ? ( x ) ? 0 , h ( x ) 是减函数;
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当 x ? ( 80 ,120 ) 时, h ? ( x ) ? 0 , h ( x ) 是增函数. 故当 x ? 80 时, h ( x ) 取到极小值 h ( 80 ) ? 11 . 25 因为 h ( x ) 在 ( 0 ,120 ] 上只有一个极值,所以它是最小值. 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11 . 25 升. 21(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)由已知 c ? 2 及点 P ( 3 , 7 ) 在双曲线 C 上得
? a2 ? b2 ? 4 ? 2 2 ( 7) ?3 ? ?1 2 ?a2 b ?

解得 a ? 2 , b ? 2 所以,双曲线 C 的方程为
2 2

x

2

?

y

2

?1.

2

2

(Ⅱ)由题意直线 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2
? y ? kx ? 2 ? 2 由? x2 y ? ?1 ? 2 ? 2

得 (1 ? k ) x ? 4 kx ? 6 ? 0
2 2

设直线 l 与双曲线 C 交于 E ( x 1 , y 1 ) 、 F ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 、 x 2 是上方程的两不等实根,
?1 ? k
2

? 0 且 ? ? 16 k

2

? 24 (1 ? k ) ? 0 即 k
2

2

? 3且k

2

?1



这时 x 1 ? x 2 ? 又 S ? OEF ?
1 2

4k 1? k
2

, x1 ? x 2 ? ?
1 2

6 1? k
2

OQ ? x1 ? x 2 ?
2

? 2 ? ? 1 ? x 2 ? x1 ? x 2 ? 2
?( 4k 1? k
2

2

即 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 8 所以
2

2

) ?
2

24 1? k
2

? 8
2 2

?3?k

2

? (k
?k
2

2

? 1)

2

即 k ? k ? 2 ? 0 ? ( k ? 1 )( k ? 2 ) ? 0
4

又k ? 1 ? 0
y ? ? 2x ? 2 .

? 2 ? 0

?k ? ?

2

适合①式所以, 直线 l 的方程为 y ?

2x ? 2与

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