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2019年《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:2-3-4平面向量共线的坐标表示.ppt_图文

成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4

第二章
平面向量

第二章

平面向量

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第二章
2. 3 平面向量的基本定理及坐标表示

第二章

平面向量

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第二章
2.3.4 平面向量共线的坐标表示

第二章

平面向量

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第二章

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课前自主预习

第二章

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温故知新 1.若a=(1,-1),b=(-1,1),则a+b等于( A.0
[答案]
[解析]

)

B.(0,0)
B

C .2

D.-2

a+b=(1-1,-1+1)=(0,0).

第二章

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→ → 2.(2012全国高考广东卷)若向量 AB =(1,2), BC =(3,4); → 则AC=( )

A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2) D.(2,2)
[答案]
[解析]

A
→ → → AC=AB+BC=(4,6)

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3.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+ λ2b,则λ1+λ2=________.
[答案]
[解析]

1
λ1a=(λ1,2λ1),λ2b=(2λ2,3λ2)
? ?λ1=-1 解得? ? ?λ2=2

? ?λ1+2λ2=3 ? ? ?2λ1+3λ2=4

,∴λ1+λ2=1.

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→ 4.已知点A(-1,2),若向量 AB =3a,a=(1,3),则点B的 坐标为________.
[答案] (2,11)

→ [解析] AB=3a=(3,9).

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→ 5.已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),若a= OA ,O为原 点,求x,y的值.
? ?x+3=2 ? ? ?x-3y-5=0 ? ?x=-1 解得? ? ?y=-2

[解析]

第二章

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新课引入

第二章

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贝贝与晶晶同做一道数学题:“一人从A地到E地,依次 经过B地、C地、D地,且相邻两地之间的距离均为502 km.问 从A地到E地的行程有多少?”其解答方法是: 贝贝:502+502+502+502=1004+502+502=1506+ 502=2008(km).

第二章

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晶晶:502×4=2008 (km). 可以看出,晶晶的计算较简捷,乘法是加法的简化运 算,构建了乘法运算体系后,给一类问题的解决带来了很大 的方便. 想一想,我们能否类比向量的线性运算,在坐标平面内 实施向量的坐标运算呢?

第二章

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自主预习 1.平面向量共线的坐标表示

x1y2=x2y1 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当________
时,a∥b. [拓展](1)线段中点坐标公式:设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段
?x1+x2 y1+y2? ? AB中点的坐标是M? , ? 2 ?. 2 ? ?

→ → (2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2),且 P1P =λ PP2 (λ≠-1),则
?x1+λx2 y1+λy2? ? , P? ? 1+λ ?. 1 + λ ? ?

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下列各组向量中,共线的是( A.a=(-2,3),b=(4,6) B.a=(2,3),b=(3,2) C.a=(1,-2),b=(7,14) D.a=(-3,2),b=(6,-4)
[答案] D

)

第二章

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[拓展]三点共线问题 剖析:(1)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A,B,C 三点共线的条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0. (2)若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种 方法: ①直接利用上述条件,计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2- y1)是否为0. → → ②任取两点构成向量,计算出两向量如 AB 、 AC ,再通过 两向量共线的条件进行判断.
第二章 2.3 2.3.4

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若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则y=( A.13 B.-13 C.9 D.-9

)

[答案] D

→ → → → [解析] AB=(-8,8),BC=(11,y-2),则AB∥BC, 所以-8(y-2)-8×11=0,解得y=-9.

第二章

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课堂典例讲练

第二章

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思路方法技巧
命题方向1 三点共线问题
→ → → O是坐标原点, OA =(k,12), OB =(4,5), OC = (10,k).当k为何值时,A、B、C三点共线? → → → [分析] 由A、B、C三点共线可知, AB 、 AC 、 BC 中任两 个共线,由坐标表示的共线条件解方程可求得k值.

第二章

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[解析]

→ → → ∵AB=OB-OA=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),

→ → → BC=OC-OB=(10,k)-(4,5)=(6,k-5). → → ∵A、B、C三点共线,∴AB与BC共线, ∴(4-k)(k-5)-6×(-7)=0, 解得k=11,或k=-2.

第二章

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→ 规律总结:使用A、B、C三点共线这一条件时, AC = → → → λ BC ,或 AB =λ AC 等,都是可以的,但原则上要少用含未知数 → → 的表达式,故用AB和BC.

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→ → 如果向量 AB =i-2j, BC =i+mj,其中i,j分别是x轴、y 轴正方向上的单位向量,试确定实数m的值,使A、B、C三 点共线.

第二章

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[解析]

依题意知i=(1,0),j=(0,1),

→ → 则AB=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),BC=(1,0)+m(0,1)=(1, m). → → ∵AB、BC共线,∴1×m-(-2)×1=0.∴m=-2. 即当m=-2时,A、B、C三点共线.

第二章

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探索延拓创新
命题方向2 根据点的位置求参数
→ → → 已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB. (1)t为何值时,点P在x轴上?在y轴上?在第二象限? (2)四边形OABP能成为平行四边形吗?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.

第二章

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[分析]

→ (1)将OP用坐标表示,根据坐标系性质可得.

→ → (2)只需由OA=PB求出t或无解即可.

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[解析]

→ → → (1)OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t),

2 若点P在x轴上,只需2+3t=0,即t=- ; 3 1 若点P在y轴上,只需1+3t=0,即t=-3;
? ?1+3t<0, 若点P在第二象限,则需? ? ?2+3t>0,

2 1 解得-3<t<-3.

第二章

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→ → (2)不能.理由:OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t). → → 若四边形OABP为平行四边形,需OA=PB, 于是
? ?3-3t=1, ? ? ?3-3t=2,

此方程组无解,故四边形OABP不能成

为平行四边形.

第二章

2.3 2.3.4

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已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向? [分析] 先由向量a、b求得向量ka+b与a-3b,再根据向

量平行的条件列方程组求得k的值,进而判断两向量的方向.

第二章

2.3 2.3.4

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[解析]

ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ, 使ka+b=λ(a-3b), 即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
? ?k-3=10λ, ∴? ? ?2k+2=-4λ,

1 解得k=λ=-3.

1 ∴当k=-3时,ka+b与a-3b平行,

第二章

2.3 2.3.4

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1 1 这时ka+b=- a+b=- (a-3b), 3 3 1 ∵λ=-3<0,∴ka+b与a-3b反向.

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建模应用引路
命题方向3 向量法解几何问题

已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求直线AC 与OB交点P的坐标. [分析] 由直线AC与OB的交点为P知A、C、P三点共线,

B、O、P三点共线.利用向量共线的坐标运算进行求解.

第二章

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[解析]

→ → 设点P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4),

→ → ∵P、B、O三点共线,∴OP∥OB. ∴4x-4y=0. → → → 又AP=OP-OA=(x,y)-(4,0)=(x-4,y), → → → AC=OC-OA=(2,6)-(4,0)=(-2,6), → → ∵P、A、C三点共线,∴AP∥AC.

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∴6(x-4)+2y=0.
? ?4x-4y=0, 由? ? ?6?x-4?+2y=0, ? ?x=3, 得? ? ?y=3.

∴点P的坐标为(3,3).

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2.3 2.3.4

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已知两点A(3,-4),B(-9,2),在直线AB上求一点P,使 → 1→ AP= AB. 3

第二章

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[解析]

设点(x,y),则

→ → AP=(x-3,y+4),AB=(-12,6), 1 ∴(x-3,y+4)= (-12,6)=(-4,2), 3
? ?x-3=-4, 即? ? ?y+4=2, ? ?x=-1, ∴? ? ?y=-2,

∴P(-1,-2).

第二章

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名师辨误作答
向量共线的坐标表示错误 已知点A(2,0),B(2,2),C(1,3),O为坐标原点.求 AC和OB的交点D的坐标.

第二章

2.3 2.3.4

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→ → → → [错解] 由题意,得 OD 、 OB 共线,故存在λ,使 OD =λ OB → → → → → → =(2λ,2λ).∴ AD = OA - OD =(2-2λ,-2λ), AC = OA - OC → → =(1,-3).∵ AD 与 AC 共线,∴(2-2λ)×1-(-2λ)×(-3)= 1 1 1 0,∴λ=4,即D(2,2).

第二章

2.3 2.3.4

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[错因分析] 两向量相减,方向指向出错;将两向量共线 的坐标表示形式记错. [思路分析] 抓共线,设参数,建方程,即得解.

第二章

2.3 2.3.4

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[正解]

→ → → 由题意,得 OD 、 OB 共线,故存在λ,使 OD =

→ → → → → → → λOB=(2λ,2λ).∴AD=OD-OA=(2λ-2,2λ), AC=OC- OA → → =(-1,3).∵ AD 与 AC 共线,∴(2λ-2)×3-2λ×(-1)=0,∴ 3 3 3 λ=4,即D(2,2).

第二章

2.3 2.3.4

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第二章

2.3 2.3.4


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