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高中数学解题教学培养学生自我监控能力初探


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2 0 年 第 l 期  07 l

中学数 学研 究 

高 中 数 学 解 题 教 学 培 养 学 生 自 我 监 控 能 力 初 探  
江苏省 吴江 市高级 中学
解 题是 学 生 学好 数 学 的 必 由之路 , 是 高  也 中数 学教 学 的最 重 要 任 务之 一 , 如何 让 学 生跳  出题海 , 讲 精 练 , 精 发挥 典 型 问题 的导 向作 用 ,  

(12 0 韩保 席  2 50 )
1 要求 学生 整理思 维过程 , 定解题关键 , . 确   促使 思维 精确化 、 概括 化  当学生拿 到 一个 新 问题 时 , 带有 一 定 的 都  

是一项 系统且庞大 的工程 , 本文从在解题 中培  养学生 自我监控能力的视角, 谈几点做法, 仅供 
参考 .  
警  警 警  警  警e警   坐 j  警 坐   警  坐 警 警 坐 警  坐

“ 尝试 错误” , 就 是 说最 先 想 到 的解 题 方 法  性 也 或 者策 略 不行 , 了第 二种 方 法仍 可 能不 能解  换

决, 需要经过 多次的探索和尝试 , 并不断地总结 
警  警  坐   警  警  坐 警  警  警 雀 e警  警 警  警 j  警  警  警 警 警 警  

点 的切 线方程 为 ay Y+bx z=a b . 2o 2o 2  
然后将 过 P 点 的切 线方 程 分 别 与直 线 方 

证明 : 由性 质 5的推 导 过 程 可 知 , 点 P 过  
的切 线 l的方 程为 b x   +a y Y一口 b =0  2o 2o    .

程 z=一a 与 z=口联 立 , 以求 出 M ( S  可 一t, 1

由于 Fl 上 l 故 点 Fl 一C 0 到 切 线 l M , ( ,)  
所以  
二 


?一 A

2 =  N

?  

= 

的离 :=_ 距为 ?     
[2  -a b [ b co   2 x 2


,理  同点
与   具有 相 同 

(C ,0) 到 切 线 l 的 距 离 为 : d =   2  
a‘ ‘ Yo  

由于点 P( o Y ) x , o 在椭 圆上, 所 

考 虑到 

以 + 即 -, ?   等 菩   b  A 2 一 故 2 N
= b2
.  

方 向, 以 所  
?

F 一 2 = d ̄ d2-  N '

类似 地 , 以得 到 以下 性质  可 性质 6 已知椭 圆  +     1 口>6>0 (  
?

寿  . ㈩  
() 2  /  

考 虑到 C =口    ~b ,   代入 ( ) 1 后得到 :   的短轴 上 下 两 个 端 点 分 别 为 BlB2 中心 为  、 , 0, 过椭 圆上任 意 一 点 P( 除去 点 BlB ) 椭  、 2作 圆的切 线 交直线 Y= 一b与Y=b分别 于 M 、 N  两点 ,J N。 N =口 .  ̄ BI B2    性质 7 已知椭 圆  +     1 口>6>0  ( )


赢 =  
6 zO2 + 口4  4
2   O ‘  


一  
:  

由 点 P( o ) 于 z , 在椭 圆上 , 以 a 。  +  o 所    
=1 所 以 口 y 2 2 o =a b , 口 6 - , z o +b x 2 2 2 即   2  
2  zo b  = a4   yo


的左右两个焦点分别为 F 、 2 中心为 0, lF , 过 
椭 圆上 任 意一 点 P 作 椭 圆 的切 线 l 点 FlF   , 、2

然 后代入 ( ) 2 式后得 :  

?

在 切 线 l上 的射 影分别 为 M 、 , F M ? 2 N 则 1 F N 

赢= 矗   

.  

?

2 ? 6  

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中学数 学研 究 
经验 , 能最终 确 定 解决 方案 . 才 尽管这 种 尝试 的  过 程很 宝贵 , 但是 我 们 仍 不希 望 每 次 见到 相 同  
或者 相 似 的 问题 都 重复 这 一尝试 的过 程 . 这就 

20 0 7年第 1 期  1
完 的题 目. 了使 解题 能够 达 到举 一反 三 , 为 晓一 
通 十 的 目的 , 需 要 对具 体 的解 题 方 法 , 加  就 再

工 , 象概括 出一般 的数 学 思想方 法 , 过 引导  抽 通 学 生反 思 、 总结 归纳 , 他 们寻 找 思想方 法和 思  让 维过 程 的差 距 , 思 维 由特 殊 推 向一般 的过程  在 中, 体验 数 学思想 方 法对解 题 的指 导作用 , 成  形
自我监控 意识 .   例 2 方程 k  一2 +4 + ̄ 4   两  ( ) =1 / 一X 有

需 要在 学 生解 决 问题 后 整 理 自己的思 维过 程 ,   找准 问题 的关键 , 思维精 确化 , 使 下次 再遇 到相 
似 的 问题 可 以一 下子抓 住 要害 , 到 有 的放 矢. 做   例 1 已知 n 2 b 2 证 明 :b a+b    / > ,> , / a> / .

分 析 : 先容 易 想 到 如果 不 等 式左 边 最 小  最 值都 比不 等式右 边 大 即可 , 于是 将 左 边 的 n,  b 均用 2代 入 , 便得 4 a+b 可惜 的是 不等 式 的 / > ,  
右边 并 不≤ 4 相 反 , 好≥ 4 于 是证 明无 法 进  , 恰 ,


个不等 的根 时, 实数 k的取值 范 围是 

.  

分 析 : 同 一 坐标 系 中 作 出直 线 Y=k X 在 (  2 +4和 Y=1 ) +√4   所表 示 的 曲线 , 一 则 

行下去. 我们应该回到 出发点, 并总结一下失败 
的原 因 , 由于所 证 的不 等式右 边有 变元 n, 所  b,
以不 能简单 地把 左 边换 成 常数 4  .

直 线和 曲, 有 两个 相 异 交 点 时 , 程 有 两 个不  线 方

等的根. =1  ̄4 x ,   由y + - z可
得 : > 1且 X y /  +( Y一1  , )=4  即 曲线 表 示 的是 以 ( , ) 圆 01为   心 2为半 径 的上半 圆 , 由直 线 Y  
=k   一2 +4知 其 恒 过 点 P ( )  

P (,  24

如 果保 留 b, n换 成 2 不 等 式左 边 得 到  将 , n ≥2 , 果 n 6 则不 等 式右 边 n+b 2 , 6 6如 ≤ ,  ̄ < b  于是 :b b a+b得 出结果 , a ≥2 > / 但是 n也 有 可  能大 于 b啊. 时虽然 不等 式没有 完全 被 证 明, 这  

_ JB  -
o 
Z 

r  

图 1  

但是“ 差不 多证 明 了一半” 即 当 n b时,   , ≤ 有
a > a+b  b / .

( , ) 如 图 1所 示 . 24 , 由图形 关 系 可 求 得 kc= e  

如果 n b, 留 n, b换 成 2 不等 式 左  / > 保 将 , 边 变为 n ≥ 2 于是 在 n≥ b 时 ,6 2 ≥ n 6 n, n≥ n  
+ b.  

壶忌= , 不 在故 息 . , 号忌 存 ,5  3 P P A B    
这 类 问题 学 生容 易 出错 的地 方是 “ 两边 直  接 平 方 化 简 , 致 增解 ” 为 什 么平 方 后 会 出现  导 . 增解 ? 因 为 把 原 方 程 化 成 k( 一2 X )+ 3=   √ 4   1后 , 其平 方 , 方程 k X一2 +3 一X ( ) 对 与 ( )  
= 一

从 以上 两方 面可 知所 证不 等 式成立 .   应该 说上 面 的探 索过 程是 相 当精 彩 的 , 而  且 在 解 题 的过程 中不 停 地 总结 和 反 思 , 整 解  调
题 策 略 , 如果 该 问题 解决 了就 把 它扔 到 一边 , 但  

√4一 ( ) 方 后 变 为 同一个 方 程 , 以    2平 所

() 2 式的解 也 成为 ( ) 的 解 了. 方 程 拆分 成  1式 把 两个 函数 , 在注 意 到 Y=1 / + ̄4一X 的 Y 大 于    等于 1的情况 下 , 平 方 , 再 这样 可 知其 图形 表 示  圆 的上半部 分 , 于是 就避 免 了增 解 . 为什 么会 出   现增 解 , 如何 避 免 这 种 情况 都 要让 学 生 了解 其 

就 太 可 惜 了, 们 还 要 引导学 生 抓住 问题 的关  我 键, 那就 是 “ 里 n, 这 b地 位相 等 , 对称 式” 对  是 , 于这 类 问题 , 妨 设 n≥ b, 样 就 可 以直 奔 主  不 这
题 , 接证 明 了. 进 的方 法 如 下 : 直 改 不妨 设 a ≥  b 由 n 2, > 2得 n ≥ 2 > a+b  , / > b / 6 a / . 2 引导 学 生从 思维 策 略上 回顾 总结解 题 过  .

来龙去脉 , 这种思维策略一定要教给学生, 即通 
过 图形 的应用 , 把代 数 问题 转化 为 几何 问题 , 不 

程 , 学生 掌握 数 学基 本思 想方 法  使 在 实 际解题 中 , 个 问题 总 是 有 着 具 体 的 每   情境 , 生往 往根 据 问题 的具 体 条件 和 背 景 确  学
立 自己的解 题 方 法 , 是这 些方 法 的普 适 性 较  但 差, 不容 易形 成 正迁 移 , 以学生 总感觉 有做 不  所

仅 简 化 了解题 过 程 , 而且使 问题 直 观化 . 这也 就 

是数学中最重要的思想方 法之一——“ 数形结   合” 如果学生能够从思想方 法上把握好,   , 那么
这 种 解法是 不 难迁 移到 下面几 类 问题 的 :  
?

2 ? 7  

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2 0 年第 l 期  07 1
() 1对任 意的函数 f x)g  ) 在公共域  ( ,( , 内, 规定 f x *g x =r nf x)g x }若  ( ) ( ) a {( , ( ), i
f x) ( =3一 ,   )   2   g( =  一3 则 f( , x)*   g( 的最 大值 为  x) .  
^   I
— —  

中学数 学研 究 
过 程再 回顾 , 这个 回顾 既包 括 自己的解题 过 程 ,   也包 括 问题 本身 . 特别是 问题本身 能否再 引 中、   推广 或 变化 , 题过 程 能不 能 改进 或应 用 到 更  解 高层 次 的 问题 中去 , 通过这 样 的训练 , 不仅 可 以 

()   +   ,  三 的最小值是 2若 Y =1则    


培养学生 自 我监控意识, 还可以拓展、 深化他们  
的思 维 , 思维 程度逐 渐提 高 . 使  
4 引导 学 生分析 解题 方 法 的优 劣 , 化 解  . 优

詈+ 的最大值是    

.  

() 3 试讨论方程 I 一 I 1   =如 根 的个数.   由此可见, 学生把具体 问题 的解法抽 象  让
成 数 学 思想 方 法 , 在解 决 一 类 问题 和 形成 正迁  移 中扮演 的重 要作 用 .  
3 引导 学生 对 问 题 的本 质 进 行 重 新剖 析 , .   在 将 问题 由个别 推 向一般的 过程 中使 问题 逐 渐 

题过 程 , 寻找 解决 问题 的最佳 方案  学生在解 决 完一个 问题后 , 往往 会“ 意 忘  得 形” 对 解 题过 程 缺 乏 必要 的思考 和 改进 , 此  , 长 以往 , 必将 导 致 思路 狭 窄 , 逻辑 混乱 , 达 冗 长  表

等弊病 , 最终体现为缺乏创造性, 教师必须引导  
学生 评 价 自己的 解题 方 法 , 通过 同学之 间 的交  流 , 种 方 法 的 比 较 , 学 生 的 思 维 朝 着 开 放  各 使 性 、 活性和 新颖 性方 向发展 . 灵   例 4 若  +Y:8 x> 0 ≥ 0 , 求 ̄ (/ , )试 /   +√  的最 大值 , 并求 出此 时相应 的  , Y的值 .   分析: 本题从 不 同 的角度 出发 , 有 多种 不  可 同 的解决方 法 .  
方法 1 令 t   = + , £ , t=   则 ≥0 且 2  

深化 , 而使 思维 的抽 象程度 不断提 高  从 有 的 问题 在 解 决 后进 行 重 新 剖 析 其 实质 ,   可 以使 学 生更深 层 次领 会解 题过 程 ,在解决 了  


个或 几 个 问题 后 引导 学 生探 索其 内在 规 律 ,   例 3 设 a, f d∈( ,)( ) b, , 0 1 .1 比较 口 6与 

在问题逐渐深化 的同时, 提高思维的抽象程度 .  
a+b一1的大小 ;2 比较 ac与 a+b+f一2 () b   的大 小 ;3 你 能确定 ac 与a+b+f+d一3 () bd   的大小 关系 吗? 给 出你 的证 明 .   分 析 () 1 比较 两数 大 小 , 以使 用 作 差 法 : 可  
口 6一a—b+1 ( = a一1 ( ) b一1 , ) 因为 a一1 < 

+Y+2 x ≤  +Y+( +Y :1 , 以 t   y   ) 6所   ≤4,   + ̄ 即√ / 大值为 4   最 ;

方法 2 ( + ) [ )+( )]       (      ? ≤    
(    =2  +Y) 6 所 以 1 +1) ( =1 ,  
√ + / 大值 为 4  z  ̄  最 ;

+  ≤4 即  √ ,

0 b一1 , a一1 ( , <0 即( ) b一1 >0 所 以 口 >a ) , 6   +b一1 ( ) ;2 可把 口 6看成 一个 整 体 , 用 () 利 1 的  结论 :a ) >a ( 6 f b+f >a+b+f ;3 可  一1 _2 () 把 ac看 成一个 整体 , 用( ) 2 结论 :bd b 利 1 和( ) ac 


方 法 3 令  =802 , os口 Y:8i 口 口 0  s 2 ( ∈[ , n

詈],   + =   ( s+ i ) 4l 口 )则   2 o 口 s口 = s (  。 n n

( b) ac d>oc J +d一1 a >a+b+f +d一3  . 本 问题 还 可 以进 一步 推 广 到 咒 个 数 的情 

+ ) 知 口 号 ,ia 詈 取 最   号 , 当 = 时4n + )到 大 易 s(
值 4 即√ +  最 大值 为 4  ,   √ ; 方 法 4 由 +Y=8 x≥      ( 0  ≥ 0 可 令  = , )  


况, 让学生根据这几个小问, 寻找 出一般规律 ,  
并 尝试 加 以证 明. 实上 , 事 由类 比联 想可 概括 出  


,    Y=

、   - B  
, , 

_  I . _
、 

般 规律 : a∈ ( , )i , , , , 咒 设   0 1 , =12 3 … 咒, ≥ 

以   为 横 轴 ,   为 纵 轴  以

o ‘ \    


2且 咒∈N , a a … a >a +a +… +a  则 l2 n 1 2 n 一咒+1把 刚才 的解题 过 程 与数 学 归纳 法结 合  . 起来 , 就可 完成 对 一般 情况 的证 明.   当问题 解决 后 , 应该 引导 学 生对 整个 解 题 
?2 ? 8  

的坐 标 系 中, 示 的是 以原 点  表
为 圆心 , 半径 为 2 的 1圆    


, 

图 2  

如 

图 2所 示, t   令 =

十   = +Y , t是 直     则

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中学数 学研 究 
线  =一 + t的纵 截 距 , 知 当直 线 与 圆弧    易

2 0 年 第 1 期  07 1
个对基础知识、 基本概念重新理解 的机会 .   例 5 () 函数  =f x 存在反函数 ,   1若 () 则
方程 f x) ( ( =C C为常数 )  ( ( 有 且 只有一个 实根  A) ) .  

相切 时 , 距最 大 .  A =r √ 可得 : = 截 由I l =2 2 O t 
l B I , £ =4     =4 即 ~ O .

方法 5 t / +,y,   = ̄   F 移项 平 方 得 : 一2    £

√ +t一    =0 又 由 + ,    =8 消去 得 :x ,   2 


( 至少有一个实根  B) () C 至多有一个实根 
() 果 函 数  2如 ( ,) 12 对称 , 么( 那   ) .  
( p=2  = 一4 B) ,   ( P= 一2  =4 A) ,  

2√ £  +t 8 ,  — =0 即因为关于 ̄ /  的方程有 
8 =0 t ±4 当 t ) ,= , =4时 , 得  =2√ 符  解 2

( 没有实根  D)
的 图象 关 于 点 A  

解, 且  ∈[ ,  ]① 当△ = 02 , 0时,£ 一 (  4  8 t


合 题 意 , t 一4时, 得  = 一2 2 符合  当 = 解 √ 不
题 意 ; 当/ =4  —8 t ② X t ( —8 >0 即 一4 t ) , < <  4时: 厂 ̄ ) (  ) 令 (/ =2  ̄  一2 √   / £  + t  一8 则  ,


( P= 一2  =一4 ( P=2  =4 C) ,   D) ,  

分析 : 两个 问题 学 生经常 出错 , 这 而且屡 做 

f ()   f 0 ≥0
I  

屡 错 , 因就 出在 学 生对 基 础 知识 和 基 本 技 能  原 的欠缺 . 问题 1的关键 在于对 基本 知 识“ 么样  什 的 函数有反 函数 ” 和基本 技 能“ 方程 的根 可 以转 
化 为 函数 图象交 点 的个 数” 的掌握 , 果切 实掌  如 握“ 一对应 的 函数有 反 函 数” “ 一 , 方程 f( )     =

f0 ? ( √ ) ( )f 2 2 ≤0或  ( √ ) , f 2 2  f 2 2 ≥0 由 ( √ )

l f2   0 ≤ , ≤


( 一2 )≥0 易解得 一   ≤ t 2 . t     , 2 ≤     如果 就 题论题 , 题并 无特别 之 处 , 生即  本 学

综 上可得 £ :4 即√ + ̄ ~ ,   / 大值 为 4   最 . 使 做 出来 , 也感到 平 淡无奇 . 但是 如果 引导学 生 
对 问题全 面深入 的研 究 , 多角度 、 多层 次地 从 不 

c 的根可以转化为{ =t'  I 、● ‘ I 的交点” 则不能 ’   y r   ^ ,  
I   C  

得出正确 的结论 C 问题 2的关键在于认识到 .  
形 如 3= , 
CX 十  

的 函数都 是 由 =鱼 通 过 平 移   
CX  

同方 面 思维 , 就会 发 现 解决 此 问题 可 以利 用 均  值 不等 式 、 西不等 式 、 角代 换 和解 析 几何 法  柯 三 等众 多方 法. 些 方 法 从代 数、 角到 几 何 , 这 三 体 

得 到 的. 并且 在 反 比例 函数 ( 曲线 ) 移 的过  双 平 程 中, 对称 中心 跟着移 动 , 由此 可 知 :   可 由 = 向右移 1个单位 ,     向上移 2个 单位得 
到, 即  +2 于是 可得 P 一2  ,   ,

现 了中学绝大部分解题 的重要思想, 最后还应 
该 引导 学 生对 各 种 方 法进 行 比较 研 究 , 方 法  如 1 2分 别使 用 均 值 不 等 式 和 柯 西 不 等 式 , 和 较  为简 洁 ; 法 3使 用 三 角换 元 , 一定 的技 巧 , 方 有   要特别 注 意参数 的范 围; 方法 4非 常直观 ; 法  方
5很 明显是“ 题 大做 ” 不 甚 可取 . 过 比较 可  小 , 通

=4 忌 , , =5 故正确 的答 案为选项 A.   可见 , 引导 学 生及 时从 错误 中发现 问题 , 从 

以优 化 解题 过 程 , 出最佳 的或 者 最适 合 自己 找  
的方 法.  

“ 双基” 的角度查找原因, 尽快弥补, 减少重复犯  错, 提高解题 的正确率, 为解决更高层次问题打 
好 基础 .   参考 文献 
[] 跃. 1章建 中学生数 学学习 自我监控 能力 [ ]上海 : M .  
华东师范大学 出版社,0 3 5  2 0 ,.

5 帮 助 学生从 基础 知识 和基 本技 能 角度剖  .

析 错 误 的原 因 。 学 生通 过 反思 更 加 深 刻 地理  使
解“ 双基 ”  

学生 由于 受“ 训 练、 重 轻概 念 ” 的错 误 思 想 

影响, 往往试 图通过大量练习来代 替对基础知  识的理解和基本技 能的掌握, 往往造成“ 双基”   薄弱在解题时容 易暴露出来 , 因此教 师在订正 
学 生错 误 时 不 能就 题论 题 , 该 给 学 生提 供 一  应

[] 2 罗增儒. 数学解题学引论[ . M]西安: 陕西师范大学  
出版社 ,0 4 7  2 0 ,.

作 者现 为苏州大学 0 5级数 学教 育硕士 
29 ?  

?


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