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2012年高考二轮三轮总复习专题学案课件专题6-概率统计(理科)


专题六

概率统计、算法、 复数

专题六 │ 知识网络构建
知识网络构建

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专题六│ 考情分析预测
考情分析预测

考向预测
1.计数原理、概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个知识板块,高 考对该部分的考查分值也较多.从近几年的情况看,该部分考查的主要问题是排列 组合应用问题,二项式定理及其简单应用,随机抽样,样本估计总体,线性回归分 析,独立性检验,古典概型,几何概型,事件的独立性,随机变量的分布、期望和 方差,正态分布的简单应用,在试卷中一般是 2~3 个选择题、填空题,一个解答 题,试题难度中等或者稍易.预计 2012 年该部分的基本考查方向还是这样,虽然 可能出现一些适度创新,但考查的基本点不会发生大的变化. 2.算法是新课标高考的独有内容,从近年来课标地区的高考看,这是试卷中 一个必备的试题,试题以选择题或填空题的方式出现,主要考查程序框图和基本算 法语句.预计 2012 年变化不大. 3.复数是高考的一个考点,主要考查复数的概念和代数形式的四则运算,一 般是一个选择题,位置靠前,难度不大.预计 2012 年会继续这个考查风格.

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备考策略
1.计数原理、概率统计部分的复习要从整体上,从知识的相互关系上进行.概 率试题的核心是概率计算, 其中事件之间的互斥、 对立和独立性是概率计算的核心, 排列组合是进行概率计算的工具,在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工 具;统计问题的核心是样本数据的分布,反映样本数据的方法:样本频数表、样本 频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,得到样本数据的方法是随机 抽样,在复习统计部分时,要紧紧抓住这些图表和方法,把图表的含义弄清楚,这 样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解,如样本均值和方差的计算,用 样本估计总体等.

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2.复习算法要抓住如下要点:一是程序框图的三种基本逻辑结构,即顺序结 构、条件分支结构和循环结构,搞清楚这三种基本逻辑结构的功能和使用方法,特 别要注意循环结构的功能和使用方法,在复习时建议结合具体题目掌握好一些常见 的计算问题的程序框图,如二分法求方程近似解的程序框图、一些数列求和的程序 框图、一元二次不等式解的程序框图等;二是理解基本算法语句的含义,搞清楚条 件语句与条件分支结构的对应关系、循环语句与循环结构的对应关系,在此基础上 学会对一些简单问题的程序编写. 3.复数的内容就是概念、运算和简单的几何意义,复习时只要把概念弄清, 运算法则掌握好,并把复数和向量的关系弄清楚即可.

专题六│ 近年高考纵览

专题六│ 近年高考纵览

第18讲

排列、组合与二项式定理

第18讲 排列、组合与二项式定理

第18讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

1.两个基本原理 (1)分类加法计数原理; (2)分类乘法计数原理; 2.排列 (1)定义; (2)排列数公式:Am= n 3.组合 (1)定义; (2)组合数公式; (3)组合数的性质: m=Cn-m(m, Cn n n∈N,且
m m m- 1 m≤n);Cn+1=Cn +Cn (m,n∈N,且

n! (n,m∈N,m≤n); ?n-m?!

m≤n).

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4.二项式定理 (a+b)n 展开式共有 n+1 项,其中 r+1 项 Tr+ 1=Cr an- rbr. n 5.二项式系数的性质 二项式系数是指 C0 ,C1 ,?,Cn这 n+1 个组合数. n n n 二项式系数具有如下几个性质: (1)对称性、等距性、单调性、最值性; + (2)Cr+Cr+ 1+Cr+ 2+?+Cr =Cr +1 ; r r r n n 1 C0 +C1 +C2 +?+Cr +?+Cn=2n; n n n n n 1 3 5 0 2 4 n-1 Cn+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn+?=2 ; C1 +2C2 +3C3 +?+nCn=n·n- 1 等. 2 n n n n

第18讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 探究点一 计数原理 例 1 某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在 如图 18-1 所示正方形 ABCD(边长为 3 个单位)的顶点 A 处, 然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的 单位,如果掷出的点数为 i(i=1,2,?,6),则棋子就按逆时针 方向行走 i 个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋 子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有( ) A.22 种 B.24 种 C.25 种 D.36 种 ?

图 18-1

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【分析】 掷三次骰子,点数最多为 18,因此回到点 A 处只能是一 次, 而不能是回到点 A 后再次回到点 A.由于正方形的周长为 12, 即 说明三次掷的骰子点数之和为 12,设三次点数分别为 a,b,c,即 方程 a+b+c=12 的满足 1≤a,b,c≤6 的解的组数即为所求的走 法.我们可以先固定其中的一个点数,分类求解另外的点数的各种 可能情况.

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C 【解析】 根据分析, a=1, b+c=11, 则 只能是(5,6), (6,5), 2 种情况;a=2,则 b+c=10,只能是(4,6),(5,5),(6,4),3 种情况; 若 a=3,则 b+c=9,只能是(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),4 种情况; a=4,则 b+c=8,只能是(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),5 种情 况;a=5,则 b+c=7,只能是(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), 6 种情况;a=6,则 b+c=6,只能是(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1), 5 种情况.故总计 2+3+4+5+6+5=25 种可能.

【点评】 本题的设计极为巧妙, 在必修 3 的教材中就有投掷骰 子求点数之和的例子,这里把这个问题进行变通,问题就相当 于在固定第一次投掷结果的情况下,分别求投掷两次骰子其点 数之和是 6,7,8,9,10,11 的情况有多少种.

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某次活动中,有 30 个人排成 6 行 5 列,现要从中 选出 3 人进行礼仪表演,要求这 3 人任意 2 人不同行也不同列, 则不同的选法种数为________.(用数字作答)

1200 【解析】 其中最先选出的一个有 30 种方法, 此时这个人所在的行和列共 10 个位置不能再选人,还剩 一个 5 行 4 列的队形,选第二个人有 20 种方法,此时该 人所在的行和列不能再选人,还剩一个 4 行 3 列的队形, 此时第三个人的选法有 12 种,根据分步乘法计数原理, 30×20×12 总的选法种数是 =1200 种. 6

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? 探究点二 排列与组合

例 2 在送医下乡活动中, 某医院安排 3 名男医生和 2 名女医生到三所乡医 院工作,每所医院至少安排一名医生,且女医生不安排在同一乡医院工作,则 不同的分配方法总数为( ) A.78 B.114 C.108 D.120 【分析】 先分组后分配,然后减去两名女医生在一个医院的情况.

C1 C1C3 5 4 3 B 【解析】 五人分组有(1,1,3),(1,2,2)两种分组方案,方法数是 + A2 2 2 C1C2C2 5 4 =25,故分配方案的总数是 25A3=150 种.当仅仅两名女医生一组时, 2 3 A2 分组数是 C1,当两名女医生中还有一名男医生时,分组方法也是 C1,故两名女 3 3 3 医生在一个医院的分配方案是 6A3=36.符合要求的分配方法总数是 150-36= 114.

【点评】 在分配问题中如果待分配的元素数目多余分配的位置数目,就要先分 组然后再进行分配.

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(1) 2010 年上海世博会某国将展出 5 件艺术作品, 其中不同书法作品 2 件、不同绘画作品 2 件、标志性建筑设计 1 件,在展台上将这 5 件作品排成一排,要求 2 件书法作品必须 相邻,2 件绘画作品不能相邻,则该国展出这 5 件作品不同的方 案有________种.(用数字作答) (2) 在 1,2,3,4,5,6,7 的任一排列 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 中,使相邻两数都互质的排列方式种数共有( ) A.576 B.720 C.864 D.1152

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(1)24 (2)C 【解析】 把需要相邻的两个元素看做一个整体, 然后不相邻的元素外的元素进行排列,在隔出的空位上安排需要 不相邻的元素.2 件书法作品看做一个整体, 方法数是 A2=2, 把这 2 个整体与标志性建筑作品排列,有 A2种排列方法,其中隔开了三 2 个空位,在其中插入 2 件绘画作品,有方法数 A2=6.根据乘法原 3 理,故共有方法数 2×2×6=24.
4 (2)先让数字 1,3,5,7 作全排列,有 A4=24 种,再排数字 6, 由于数字 6 不与 3 相邻,在排好的排列中,除 3 的左、右 2 个空 隙,还有 3 个空隙可排数字 6,故数字 6 有 3 种排法,最后排数 4 字 2,4, 在剩下的 4 个空隙中排上 2,4, A2种排法, 有 4 共有 A4×3×A2 4 =864 种,故选 C.

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? 探究点三 二项式定理

1 ?n ? 例 3 若?3 x- ? 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式 x? ? 的常数项为________.
【分析】 令 x=1 求出各项系数和确定 n 值,根据二项式的通项公式求解常数项.

1 ? ? 3 x- ?n 展开式的各项系数之和是 2n, -540 【解析】 令 x=1 得二项式? x? ? 由此得 n=6.根据二项式的特点, 其常数项一定是中间项, 这个常数项是 C333×(- 6 3 1) =-540.
【点评】 注意二项式各项系数之和与各项的二项式系数之和的区别,这个题目这 两个和相等,但很多是不相等的.

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1 ? ? ? ? (1)(1+ x)6?1+ 4 ?10 展开式中的常数项为( ) x? ? A.1 B.46 C.4245 D.4246 1 ? ? ? ? (2)? x+ 4 ?8 的展开式中,含 x 的非整数次幂的 x? ? 项的系数之和为( ) A.256 B.184 C.120 D.72 3

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1 2 4 5 (1)D (2)B 【解析】 (1)第一个展开式中 x 的指数依次是 0, , ,1, , ,2,第 3 3 3 3 1 1 3 5 3 7 9 5 二个展开式中 x 的指数依次是 0,- ,- ,- ,-1,- ,- ,- ,-2,- ,- , 4 2 4 4 2 4 4 2 根据多项式的乘法规则,常数项只能是第一个展开式中 x 的指数是 0,1,2 的项与第二个展 开式中 x 的指数是 0,-1,-2 的对应项的乘积,根据二项式的通项公式得,(1+ 1 3 6?1+ ?10 ? ? 3 4 6 8 x) ? 4 ? 展开式中的常数项为 1+C6C10+C6C10=4246.正确选项为 D. x? ? ? 1 ? 3r ?8-r - r r? r (2)Tr+1=C8( x) ? 4 ? =C8x 4 2,当 r=0,4,8 时为含 x 的整数次幂的项,所以展开式 ? x? 中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 C0+C4+C8=72,展开式所有项的系数之和为 28= 8 8 8 256,故展开式中含 x 的非整数次幂的项的系数之和为 256-72=184.

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? 创新链接 9 典型的排列组合问题

排列组合是高考数学中比较特殊的一个知识板块, 历经多 年的高考已经积累了一些经典的类型题, 如分组分配问题、 相 邻与不相邻问题、 甲不排头乙不排尾问题等, 这些问题都有相 对固定的解决方法. 下面我们研究两个问题, 即“装错信封问题”和“涂色问 题”. “装错信封问题”是一道经典的计数问题, 虽然有公式 可用, 但学生不可能掌握这个公式; “涂色问题”也是一类典 型的计数问题. 这两类试题都得从两个基本原理出发寻找解决 问题的途径,设置这个创新链接的目的就在于此.

第18讲│ 要点热点探究
例 4 某中学高三年级共有 12 个班级,在即将进行的月考 中,拟安排 12 个班主任老师监考数学,每班 1 人,要求有且只 有 8 个班级是自己的班主任老师监考,则不同的监考安排方案 共有( ) A.4455 种 B.495 种 C.4950 种 D.7425 种

【分析】 分两个步骤,第一步,使 8 个班的班主任老师监考 自己的班级,第二步,剩下的四位班主任老师,都不监考自 己的班级.

第18讲│ 要点热点探究
【解析】 A 从 12 位老师中选出 8 位,他们各自监考自己的班级,方法数是 C8 ; 12 剩下的四位老师都不监考自己的班级,记四位老师分别为甲,乙,丙,丁,他们各自 的班级分别为 A,B,C,D,则甲只能在 B,C,D 中选一个,有方法数 3,假设甲在 B,此时若乙在 A,则丙丁只能互换班级,若乙在 C,D 之一,有 2 种方法,如假设乙 在 C,则只能是丙在 D,丁在 A,故这时的安排方法数是 3×(1+2)=9.根据分步乘法 计数原理,监考安排方案共有 C8 · 12 9=4455 种,故选 A.

【点评】 在元素个数不多的情况下,可以具体地进行操作,以找出其中的方法 数目,这也是近年来,高考考查计数问题的一个命题趋势.在具体操作中可以在两 个原理的指导下,给所安排的元素确定其具体位置,在逐步缩小位置个数的情况下 解决问题.本题中的第二步是四个班主任都不监考自己的班级,这是问题“一个人 写了 n 封信和 n 个对应的信封,所有的信都不装入对应信封”的特例,这是概率论 ? 1 ? 1 n 1 ? ? +?+?-1? 历史上的一个有名问题,其方法数有计算公式 n!? - .本题就 2! 3! n! ? ? ? ? 1 1 1 ? ? ? - + 是 n=4 的情况,按照这个公式进行计算是 4!? =12-4+1=9. 4! ? ?2! 3! ?

第18讲│ 要点热点探究
五名同学各自写一张卡片集中起来,然后每人任取一张卡片,则仅仅有一个同学 取到自己写的卡片的方法各自情况是________种.

45 【解析】 一个同学取到自己写的卡片的方法有 5 种,其余四个同学取 到的都不是自己写的卡片,类似例题 4 的情况,方法数是 9,根据分步乘法计数 原理得,共有 5×9=45 种情况.

第18讲│ 要点热点探究
例 5 在 1×6 的矩形长条格中,两格涂红色,两格涂黄色,两格涂蓝色,但要求至少 有一种颜色涂在了相邻的两格,则不同的涂色方法共有________种.

【分析】 涉及“至少”,从反面考虑问题,即考虑没有任何一种颜色涂在 相邻两格的方法,使用间接排除法求解.

第18讲│ 要点热点探究
【答案】 60 2 2 2 【解析】 没有限制的涂法是 C6 C4C2=90.若没有任何两种颜色涂在相邻两格,可以 这样排列颜色,首先在两个位置上排列其中一种颜色,只有一种排法,在这个颜色隔出 的三个空位上选两个排列其中的第二种颜色,有方法数 C2=3,然后在这四个位置隔出 3 2 的五个位置中选出两个位置,排列第三种颜色,有方法数 C5 =10,这样排列颜色的方法 数是 30, 最后把这样颜色排列顺次涂在六个格子内, 这样得到的就是没有任何一种颜色 涂在相邻两格的方法数.故至少有一种颜色涂在了相邻的两格的方法数是 90-30=60.

【点评】 涂色问题是一类典型的,以使用两个基本原理为主求解的排列组合应 用题,其难点是各种限制条件的处理,如本题中要求至少有一种颜色涂在相邻的两 个格子中,基本的解题思路都是根据要求进行具体操作,在操作中寻找解决问题的 方法,涂色问题一般涉及的数目不大,具体操作的方法是解决问题的关键.

第18讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼 1.分步加法计数原理是对要做的事情分成若干类,每 一类中的若干种方法都能独立地完成这件事情; 分步乘法计 数原理是对要做的事情分成若干个步骤, 每个步骤只是完成 这件事情的一个环节, 只有这些步骤都完成了, 这件事情才 算完成. 这就是两个基本原理的区别, 在解决问题中要注意 区分. 2.二项式(a+b)n 的展开式的二项式系数与该项的系数 是两个不同的概念,前者只是指 Ck ,它仅是与二项式的幂 n 的指数 n 及项数有关的组合数,而与 a,b 的值无关;而后 者是指该项除字母外的部分, 即各项的系数不仅与各项的二 项式系数有关,而且也与 a,b 的系数有关.在求二项展开 式特定项的系数时要充分注意这个区别.

第18讲│ 规律技巧提炼

3. 二项式中项的系数和差可以通过对二项式展开式两 端字母的赋值进行解决,如(1+x)n 展开式中各项系数的绝 对值的和就是展开式中各项系数的和,只要令 x=1 即得, 而(1-x)n 的展开式中各项系数的绝对值的和,只要把 x 前 面的系数-1 变为+1,令 x=1 得到,也可以不改变系数 -1,直接令 x=-1 得到,这样就不难类比得到(1+ax)n 展开式中各项系数绝对值的和为(1+|a|)n.

第18讲 │ 教师备用例题
教师备用例题
备选理由:在近年的高考中排列组合试题的难度有所下降, 特别是课标区的高考试题更是如此, 2011 年的高考中只有北京 在 卷的一个计数问题难度稍大,但那个试题主要是考查函数知识, 其余地区的排列组合试题难度很小.但由于排列组合试题的特殊 性,我们也不排除在 2012 年出现难度较大试题的可能性;例 1 是在平面向量、三角形面积和计数问题的交汇中命题的试题,其 中既要使用基本的组合计数也要使用枚举计数;例 2 和例 3,虽 然是 2010 和 2009 的高考试题,但是两题难度较大,通过这两个 题目可以训练学生综合分析解决排列组合试题的能力.

第18讲 │ 教师备用例题
例 1 [2011· 四川卷]在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原 点为起点的向量 α=(a,b),从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻 边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 n,其中面积不超过 4 的平行 ... m 四边形的个数为 m,则 =( n 4 1 2 2 A. B. C. D. 15 3 5 3 )

→ → → → 【解析】 B 因为当OP=(a1,a2),OQ=(b1,b2),则以OP,OQ为邻边的四边形的 → → → → → → → OQ → 面积 S=|OP ||OQ |sin∠POQ=|OP ||OQ |· 1-cos2∠POQ= |OP |2|OQ|2-?OP· ? 2=
2 ?a1+a2??b2+b2?-?a1b1+a2b2? 2=|a1b2-a2b1|.根据条件知平行四边形面积不超过 4 可转 2 1 2 化为|a1b2-a2b1|≤4(※).由条件知,满足条件的向量有 6 个,即 α1=(2,1),α2=(2,3),α3 =(2,5),α4=(4,1),α5=(4,3),α6=(4,5), 易知 n=C2=15.而满足(※)式的有向量 α1 和 α2、 6 m 1 α1 和 α4、α1 和 α5、α2 和 α3、α2 和 α6 共 5 个,即 = . n 3

第18讲 │ 教师备用例题
例 2 [2010· 浙江卷]有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立 定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试 一个项目,且不重复,若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项 目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式共有________种(用数字作答).
【答案】 264 【解析】 上午的测试方法有 A4=24 种;我们以 A,B,C,D,E 顺次代表五个 4 被测试项目,若上午测试 E 的下午测试 D,则上午测试 A 的只能测试 B,C,确定上 午测试 A 后其余两个同学就确定了,下午的测试方法有 2 种;若上午测试 E 的同学下 午测试 A,B,C 之一,则上午测试 A,B,C 的任何一个都可以测试 E,安排完这个 后其余两个同学就确定了, 故共有 3×3=9 种测试方法, 即下午的测试方法有 11 种. 根 据乘法原理,共有测试方法 24×11=264 种.

第18讲 │ 教师备用例题
例 3 [2009· 四川卷]3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排, 若男生甲不站两端, 3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A.360 B.288 C.216 D.96

【解析】 B 方法 1:3 位男生的全排列数是 A3=6,隔开四个空隙,把 3 位 3 2 2 女生中的 2 位“捆绑”有方法数 C3A2=6,将 3 位女生当两个看,安插在四个空隙 中的两个有方法数 A2=12,故“6 位同学站成一排,3 位女生中有且只有两位女生 4 3 2 2 2 相邻的排法”有 A3C3A2A4=432 种;其中男生甲站两端的男生排法种数是 A1A2= 2 2 4,此时只能在甲的一侧的三个空隙中安插经过“捆绑”处理后的三个女生,有方 法数 C2A2A2=36,故“3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲站两 3 2 3 端,3 位女生中有且只有两位女生相邻的”的排法有(A1A2)(C2A2A2)=144 种.符 2 2 3 2 3 合条件的排法故共有 432-144=288 种.

第18讲 │ 教师备用例题

方法 2:可以按照全排列男生时,男生甲在两端和在中间进行分类:若排列三名男 生时男生甲在两端,此时三名男生的排法种数是 2A2=4,经过“捆绑”处理的女生之 2 一必须有一个排在甲的一侧,使甲不在最外侧,由于三个女生有且只有两个相邻,因 此甲的这一侧也只能安放经过“捆绑”处理的女生之一,另一个要放在甲的另一侧的 三个空隙中的一个,有方法数(C2A2)(C1A1)=36.根据乘法原理此时有排法 4×36=144 3 2 2 3 种;若排列三名男生时男生甲就不在两端,此时男生的排法是 A2=2 种,此时男生甲 2 就没有特殊性了,就相当于在隔开的四个空隙中安排经过“捆绑”处理的三名女生, 有方法数 C2A2A2=72,根据乘法原理此时有排法 2×72=144 种. 3 2 4 根据加法原理共有排法 144+144=288 种.

第19讲

概率统计

第19讲 概率统计

第19讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

1.随机抽样 (1)简单随机抽样;(2)分层抽样;(3)系统抽样. 2.统计图表 频率分布表、频率分布直方图、茎叶图. 3.样本特征数 (1)众数;(2)中位数;(3)平均数;(4)方差;(5)标准 差. 4.变量的相关性与最小二乘法

第19讲│ 主干知识整合
5.独立性检验 对于值域分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量 X 和 Y, 其样本频数列联表是: y1 y2 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d n 总计 a+c b+d n?ad-bc?2 则 K2= (其中 n=a+b+c ?a+b??c+d??a+c??b+d? +d 为样本容量).

第19讲 │ 主干知识整合
6.概率 (1)概念的统计定义; (2)两个随机事件之间的关系:①包含关系; ②相等关系; ③和事件;④积事件;⑤互斥事件; (3)概率的基本性质:①任何事件 A 的概率都在[0,1]内; ②如果事件 A,B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B);③事件 A 与它的对立事件-的概率满足 P(A)+P(-)=1; A A (4)古典概型:特征是基本事件发生等可能性和基本事件 的个数有限性; (5)几何概型:特征是基本事件个数的无限性、每个基本 事件出现的等可能性.

第19讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 随机抽样

例 1 [2011· 天津卷] 一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人,若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男运动员的人数为________. n 21 12 【解析】 设抽取男运动员人数为 n,则 = ,解 48 48+36 之得 n=12.
【点评】 分层抽样是等比例抽样,在分层抽样中,如果各层 的容量分别是 a1,a2,?,an,抽取的样本容量为 b,则第 i 层抽 b 取的样本数目是 ×ai. a1+a2+?+an

第19讲 │ 要点热点探究
(1)将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,?, 600,采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的 号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区, 001 到 300 在第Ⅰ营 从 区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营 区被抽中的人数分别为( ) A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 (2)从 2012 名学生中选取 50 名学生参加英语比赛, 若采用下面 的方法选取:先用简单随机抽样从 2012 人中剔除 12 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人,则在 2012 人中,每人入 选的概率( ) A.不全相等 B.均不相等 50 50 C.都相等,且为 D.都相等,且为 2012 2010

第19讲 │ 要点热点探究

(2)C 【解析】 (1)从 600 名学生中选出 50 名,随机抽取的号码为 003,则由 600 系统抽样的特点,被抽取的相邻号码之间的间隔应该是 =12,故被抽取的号码成等差 50 数列.该等差数列以 3 为首项,12 为公差,则其通项公式为 an=12n-9(n∈N*).所以在 9 第Ⅰ营区的学生数需满足 0<12n-9≤300,解得 <n≤25,故第Ⅰ营区的有 25 人;在第 12 Ⅱ营区的学生数需满足 300<12n-9≤495,解得 26≤n≤42,可知在第Ⅱ营区的学生数为 17 人;在第Ⅲ营区的学生数需满足 495<12n-9≤600,解得 42<n≤50,可知在第Ⅲ区的 学生数为 8 人.综上可知选择 B. (2)设个体为 a,a 入选必须同时具备不被剔除和按照系统抽样能够入选,a 不被剔除 12 2000 50 的概率是 1- = ,a 按照系统抽样入选的概率是 ,这两个事件同时发生则 a 2012 2012 2000 2000 50 50 被入选,故个体 a 入选的概率是 × = . 2012 2000 2012 (1)B

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? 探究点二 频率分布直方图的应用

例 2 某市教育行政部门为了对 2012 届高中毕业生学业水平进行评价,从该 市高中毕业生中抽取 1000 名学生学业水平考试数学成绩作为为样本进行统计, 已知该样本中的每个值都是[40,100]中的整数,且在[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100]上的频率分布直方图如图 19-1 所示.记这 1000 名 学生学业水平考试数学平均成绩的最小可能值为 a, 最大可能值为 b. (1)求 a,b 的值; (2)从这 1000 名学生中任取 1 人,试根据直方图 估计其成绩位于[a,b]中的概率(假设各小组数据平均 分布在相应区间内的所有整数上).

图 19-1

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【分析】 (1)平均数的最小可能值,可以以区间的左端点值乘以各组 的频率,平均值的最大可能值,可以以区间的右端点值乘以各组的频率; (2)根据求出的 a,b 确定在区间[a,b]上的样本数据的频率,用这个频率 估计概率.

【 解 答 】 (1)a=0.05×40+0.1×50+ 0.25×60+ 0.35×70+ 0.15×80+0.1×90=67.5, b = 0.05×50 + 0.1×60 + 0.25×70 + 0.35×80 + 0.15×90 + 0.1×100=77.5. 2 (2)由于分数是整数,故成绩为 68,69 的频率是10×0.25,成绩 8 为 70,71,?,76,77 的频率为10×0.35,故成绩在[a,b]上的频率 2 8 是10×0.25+10×0.35=0.33,以样本的这个频率估计总体分布的 概率得出,从这 1000 名学生中任取 1 人,根据直方图估计其成绩 位于[a,b]中的概率为 0.33.

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【点评】 频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率 分布,从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分 布. 根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时, 一 般是采取组中值乘以各组的频率的方法.

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[2011· 课标全国卷] 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质 量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质 品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件 这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值 分组 频数 [90,94) 8 [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 8

20 42 22 B 配方的频数分布表

指标值 分组 频数

[90,94) [94,98) [98,102) [102,106) 4 12 42 32

[106,110] 10

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(1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

?-2,t<94, ? y=?2,94≤t<102, ?4,t≥102. ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件 产品的质量指标值落入相应组的概率)

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【解答】 (1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的 22+8 频率为 100 =0.3,所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值 为 0.3. 32+10 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 100 =0.42,所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42. (2)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间 [90,94),[94,102),[102,110]的频率分别为 0.04,0.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为 X -2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 X 的数学期望 E(X)=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.

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? 探究点三 古典概型与几何概型

例 3 设函数 f(x)= x2-2?a-1?x+b2的定义域为 D. (1)a∈{1,2,3,4},b∈{1,2,3},求使 D=R 的概率; (2)a∈[0,4],b∈[0,3],求使 D=R 的概率.

【分析】 函数定义域为 R,说明其判别式不大于零,第一问 中(a,b)取值个数有限,是古典概型,第二问中(a,b)的取值 个数无限,是几何概型,把(a,b)看做坐标平面上的点,就构 造出了基本事件所在的面, 只要算出随机事件在这个面内占有 的面积即可.

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【解答】 (1)∵a∈{1,2,3,4},b∈{1,2,3}, ∴(a,b)的所有可能为:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),共计 12 种. 而 D=R,有 4(a-1)2-4b2≤0,即|a-1|≤|b|, 那么满足 D=R 的(a,b)的所有可能为:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1), 9 3 (2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3),共计 9 种,∴其概率为 P= = . 12 4 (2)∵a∈[0,4],b∈[0,3], ∴所有的点(a,b)构成的区域的面积=12, 而 D=R,有 4(a-1)2-4b2≤0,即|a-1|≤|b|, 满足 a∈[0,4],b∈[0,3],|a-1|≤b 的点(a,b)构成的区域的面积 为 7, 7 故所求概率 P′= . 12

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(1)“黑白配”游戏,是小朋友最普及的一种游戏,很多时候被当 成决定优先权的一种方式. 它需要参与游戏的人(三人或三人以上)同时出示手势, 以 手心(白)、手背(黑)来决定胜负,当其中一个人出示的手势与其他人都不一样时,则 这个人胜出, 其他情况, 则不分胜负. 现在甲、 丙三人一起玩“黑白配”游戏. 乙、 设 甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)、手背(黑)”中的某一个手势,则一次游戏 中甲胜出的概率是________.

?2x+y-4≤0, ?x+y-3≤0, (2)在不等式组? x≥0, ? ?y≥0
区域内的概率是( ) 5 2 3 5 A. B. C. D. 7 7 14 14

所表示的平面区域内,点(x,y)落在 x∈[1,2]

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1 (1) (2)B【解析】 一次游戏中,甲出的方法种数有 2 种, 4 乙出的方法种数也有 2 种,丙出的方法种数也有 2 种,所以总共 有 23=8 种方案,而甲胜出的方案有:“甲黑乙白丙白”,“甲 2 1 白乙黑丙黑”,2 种情况,所以甲胜出的概率为 = . 8 4 (2)如图,不等式组所表示的平面区域的面 7 积是 ,在这个区域中带形区域 1≤x≤2 的面积 2 2 是 1,故所求的概率是 . 7

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? 探究点四 统计案例

例 4 某种设备的使用年限 x 和维修费用 y(万元),有以下的统计数据: 3 x y 2.5 (1)画出上表数据的散点图; 4 3 5 4 6 4.5

^ ^ (2)请根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=b x+a ; (3)估计使用年限为 10 年,维修费用是多少?

【分析】(1)根据对应值组成点的坐标,画出各点即可;(2)直接套用求回归直 ^ ^ 线系数的公式,求出b ,a ;(3)根据求出的回归直线方程,求 x=10 时对应的 y 值, 即使用年限为 10 年时,维修费用的估计值.

第19讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)散点图如图:

(2) ?xiyi=66.5, ?x2=32+42+52+62=86, x =4.5,-=3.5, y i
i= 1 i= 1

4

4

^=66.5-4×4.5×3.5=66.5-63=0.7; b 86-4×4.52 86-81 ^=--b x =3.5-0.7×4.5=0.35, a y ^ 所求的回归方程为 y=0.7x+0.35. (3)当 x=10 时,y=0.7×10+0.35=7.35. ∴当使用年限为 10 年时,维修费用估计值是 7.35 万元.

第19讲 │ 要点热点探究
例 5 有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的列联表. 优秀 非优秀 10 30 总计

甲班 乙班 合计

105

2 已知在全部 105 人中抽到随机 1 人为优秀的概率为 . 7 (1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有 关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生 从 2 到 11 进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取 人的序号.试求抽到 6 或 10 号的概率.

第19讲 │ 要点热点探究

2 【分析】 由已知知成绩优秀的频率是 ,成绩优秀的学生数是 30,成绩非优秀的 7 学生数是 75,据此即可以完成列联表,第二问按照独立性检验的原理基本判断, 第三问列举基本事件个数和随机事件含有的基本事件个数, 按照古典概型的概率公 式进行计算.

第19讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1) 优秀 非优秀 总计 45 55 甲班 10 30 50 乙班 20 75 105 合计 30 (2)根据列联表中的数据,得到 105×?10×30-20×45?2 2 K= ≈6.109>3.841, 55×50×30×75 因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. (3)设“抽到 6 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点 数为(x,y). 所有的基本事件有(1,1),(1,2),?,(6,6)共 36 个.事件 A 包含的基本事件有: 8 2 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共 8 个,故 P(A)= = . 36 9

第19讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.计算方差首先要计算平均数,然后再按照方差的计算公式进行计算,值得注意 的是三组数表中给出的数据均是有重复性的,要根据这个重复性简化计算.方差和标 准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数,标准差大说明波动大. 2.对于几何概型,当基本事件只受一个连续的变量控制时,这类几何概型是线型 的;当基本事件受两个连续的变量控制时,这类几何概型是面型的,一般是把两个变 量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即 可借助平面区域解决;当基本事件是受三个连续的变量控制时,这类几何概型是立体 型的,可以通过构造空间几何体加以解决. 3.注意确定性思维和统计思维的差异,确定性思维作出的是完全确定的、百分之 百的结论,但统计思维作出的是带有随机性的、不能完全确定的结论,在解题中忽视 了这两种思维方式作出结论的差异,就可能对统计计算的结果作出错误的解释.

第19讲 │ 教师备用例题
教师备用例题
备选理由:概率初步和统计中主要考查古典概型和几何概 型的概率计算,考查随机抽样、样本估计总体、线性回归分析 和独立性检验,考查统计知识的实际应用.例 1 是通过对立事 件概率之间的关系求解的一个古典概型,需要根据组合计数的 方法求解,这是理科的重点;例 2 是回归分析的起源的一个问 题,值得说明的是 2011 年江西文科也考查了类似的问题,值得 注意;例 3 虽然涉及随机变量的期望,但概率问题的核心是概 率计算,这个题目把随机变量的分布,样本均值和方差综合进 行考查,表现了概率统计解答题求变的一个思想.

第19讲 │ 教师备用例题

例 1 [2011· 湖北卷] 在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶饮料中 任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为________.(结果用最简分数表 示)

【答案】

28 145

C2 117 27 【解析】 所取 2 瓶全没有过保质期的概率为 2 = , 所以至少取到 1 瓶已 C30 145 117 28 过保质期的概率为 1- = . 145 145

第19讲 │ 教师备用例题
例 2 [2011· 广东卷]某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别 是 173 cm、170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回 归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.

【答案】 185 【解析】 因为儿子身高与父亲身高有关,所以设儿子身高为 Y,父亲身高 为 X,根据数据列表: X 173 170 176 Y 170 176 182 ^ ^ 得回归系数:b =1,a =3, 于是儿子身高与父亲身高的关系式为:Y=X+3, 当 X=182 时,该老师的孙子身高为 185 cm.

第19讲 │ 教师备用例题
例 3 [2011· 辽宁卷] 某农场计划种植某种新作物, 为此对这种作物的两个品种(分 别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在 总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (1)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分 布列和数学期望; (2)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各 小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表: 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果, 你认为应该种植哪一品种? 1 附:样本数据 x1,x2,?,xn 的样本方差 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- n 思考 x )2],其中 x 为样本平均数.

第19讲 │ 教师备用例题
【解答】 (1)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且 1 1 P(X=0)= 4= , C8 70 C1C3 8 P(X=1)= 4 4 4= , C8 35 2 2 C4C4 18 P(X=2)= 4 = , C8 35 3 1 C4C4 8 P(X=3)= 4 = , C8 35 1 1 P(X=4)= 4= . C8 70 即 X 的分布列为 X P 0 1 70 1 8 35 2 18 35 3 8 35 4 1 70

X 的数学期望为 1 8 18 8 1 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× =2. 70 35 35 35 70

第19讲 │ 教师备用例题
(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: 1 x 甲= (403+397+390+404+388+400+412+406)=400. 8 1 s2 = [32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62]=57.25. 甲 8 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: 1 x 乙= (419+403+412+418+408+423+400+413)=412, 8 1 s2 = [72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12]=56. 乙 8 由以上结果可以看出, 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种 的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.

第20讲

离散型随机变量及其分布列

第20讲 离散型随机变量 及其分布列

第20讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.离散型随机变量的分布列 它具有两条基本性质: (1)pi≥0(i=1,2,?,n); (2)p1+p2+?+pn=1,即总概率为 1; (3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内 各个值的概率之和. 2.超几何分布列 3.条件概率和独立事件、二项分布 (1)条件概率;(2)事件的独立性; (3)独立重复实验和二项分布:此时称随机变量 X 服从二项分布,记 作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率.

第20讲│ 主干知识整合

4.离散型随机变量的均值和方差 (1)均值:性质 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.若 X 服从两点分布, 则 E(X)=p.若 X 服从二项分布,即 X~B(n,p),则 E(X)=np. (2)方差:性质 D(aX+b)=a2D(X).若 X 服从两点分布,则 D(X) =p(1-p).若 X~B(n,p),则 D(X)=np(1-p). 5.正态分布 (1)概念;(2)正态曲线的六个特点.

第20讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 相互独立事件与独立重复试验
例 1 一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数 A= a1 a2 a3 a4 1 a5 ,其中 A 的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现 0 的概率为 ,ak(k=2,3,4,5)出现 3 2 1 的概率为 ,记 X=a1+a2+a3+a4+a5(例如:A=10001,其中 a1=a5=1,a2=a3=a4 3 =0,且 X=2).当启动仪器一次时, (1)求 X=3 的概率; (2)求当 X 为何值时,其概率最大.

【分析】 (1)X=3 的含义是在 a2,a3,a4,a5 中出现 2 个 0,2 个 1,由于各个数字 1 出 现的概率相同,故是四次独立重复试验恰好成功两次的概率;(2)可以具体计算 X 取各 个值的概率,然后进行比较.

第20讲 │ 要点热点探究

? ? ? ? 8 2?1?2?2?2 【解答】 (1)由题意得:P(X=3)=C4?3? ?3? = . 27 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 8 0?1?4 1?2?1?1?3 (2)P(X=1)=C4?3? = ,P(X=2)=C4?3? ?3? = , 81 81 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 24 32 16 3?1??2?3 4?2?4 P(X=3)= ,P(X=4)=C4?3??3? = ,P(X=5)=C4?3? = , 81 81 81 ? ?? ? ? ?

X=4 的概率最大,最大值为

32 . 81

第20讲│ 主干知识整合
【点评】 如果 x~B(n,p),其中 0<p<1,那么使 P(x=k)取得最大值时的 k 值满足 P?x=k? p(n+1)-1≤k≤p(n+1). 这是因为当 P(x=k)取得最大值时, 要同时满足 ≥1, P?x=k-1? P?x=k? Ck pk?1-p?n-k Ck pk?1-p?n-k n n ≥1 , 即 k-1 k-1 ≥1 , 即 n-k+1 ≥1 , k+1 k+1 P?x=k+1? Cn p ?1-p? Cn p ?1-p?n-k-1 n! n! p ?1-p? k!?n-k?! k!?n-k?! ?n-k+1?p ≥1 , ≥1 , 即 ≥1 , n! n! k?1-p? ?1-p? p ?k-1?!?n-k+1?! ?k+1?!?n-k-1?! ?k+1??1-p? ≥1,即 k≤p(n+1),k≥p(n+1)-1,即 p(n+1)-1≤k≤p(n+1),所以当 ?n-k?p 2 10 (n+1)p 为正整数时有两个 k 值.本题中的 k 值满足 ×5-1≤k≤ ,即 k=3,但 ξ=k 3 3 +1,故 ξ=4 时其概率最大.

第20讲│ 要点热点探究
(1)[2011· 湖南卷] 如图 20-1,EFGH 是以 O 为圆心、半径为 1 的圆的内接正 方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表 示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”,则 ①P(A)=________;②P(B|A)=________.

图 20-1 (2)[2011· 湖北卷] 如图 20-2,用 K、A1、A2 三类不同的元件联结成一个系统,当 K 正常工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知 K、A1、A2 正常工作的概 率依次为 0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为( )

A.0.960

B.0.864

C.0.720

图 20-2 D.0.576

第20讲│ 主干知识整合
1 (2)B 【解析】 (1)①S 圆=π,S 4 S正方形 2 求法有:P(A)= = ; π S圆 (1)① ② 2 π
正方形

=( 2)2=2,根据几何概型的

1 S△EOH 2 1 1 1 B|A)= ②由∠EOH=90° △EOH= S 正方形= ,故 P( ,S = = . 4 2 S正方形 2 4 (2) 解法 1:由题意知 K,A1,A2 正常工作时的概率分别为 P(K)=0.9,P(A1)= 0.8,P(A2)=0.8,又 K,A1,A2 相互独立,所以 A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 ? ? ? ? P? A1 A2?+P?A1 A2 ?+P(A1A2)=?1-0.8?×0.8+0.8×?1-0.8?+0.8×0.8=0.96,所以系统 ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? 正常工作的概率为 P(K)?P? A1 A2?+P?A1 A2 ?+P(A1A2)?=0.9×0.96=0.864. ? ? ? ? ? ? ? ? 解法 2:因为 A1 ,A2 至少有一个正常工作的概率为 1-P? A1 A2 ? =1- ?1-0.8? ? ? ? ? ?1-0.8? ? ?=0.96,所以系统正常工作的概率为 ? ? ?? P(K)?1-P? A1 A2 ??=0.9×0.96=0.864. ? ? ??

第20讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 随机变量的分布列、数字特征

例 2 甲、乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行 ? 1? ? 到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p?p> ?,且 2? ? ? 5 各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 . 9 (1)求 p 的值; (2)设 X 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 X 的分布列和数学期望 E(X).

【分析】 (1)已知说明甲连续胜两局或者乙连续胜两局,根据已知的概率列方程 即可求出 p 值;(2)比赛可以进行 2 局结束,题目已经给出这个概率值,根据比赛 要求比赛不能进行 3 局即结束,这时只能是一个得 2 分、一个得 1 分,不符合要 求,比赛可以 4 局结束,此时一个得 3 分、一个得 1 分,比赛不能 5 局结束,比 赛 5 局时,只能是一个得 3 分、一个得 2 分,这时不管第六局比赛结果如何,比 赛结束.

第20讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛停止,故 p2 5 2 1 1 2 +(1-p)2= ,解得 p= 或 p= .又 p> ,故 p= . 9 3 3 2 3 (2)由题意知 X 的所有可能取值为 2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛 5 停止的概率为 ,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时, 9 该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有 ? ? 5? 5 20 5? ? 5? 5 16 ? ? ? P(X=2)= ,P(X=4)=?1-9?× = ,P(X=6)=?1-9?×?1-9?×1= ,则随机 ? ? ? 9 9 81 81 ? ? ? ? ? ? 变量 X 的分布列为 2 4 5 20 P 9 81 5 20 16 266 故 E(X)=2× +4× +6× = . 9 81 81 81 X 6 16 81

第20讲 │ 要点热点探究
在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂, 准备进行某种 实验,过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平 面把培养房分成两个实验区,其中小锥体叫第一实验区,圆台 体叫第二实验区,且两个实验区是互通的.假设蜜蜂落入培养 房内任何位置是等可能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不 受影响的. (1)求蜜蜂甲落入第二实验区的概率; (2)若其中有 10 只蜜蜂被染上了红色,求恰有一只红色蜜 蜂落入第二实验区的概率; (3)记 X 为落入第一实验区的蜜蜂数, 求随机变量 X 的数学 期望 E(X)和方差 D(X).

第20讲 │ 要点热点探究

第20讲 │ 要点热点探究

第20讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 正态分布

例 3 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ2),函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点的 1 概率是 ,则 μ=( ) 2 A.1 B.4 C.2 D.不能确定

【分析】 根据函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点,得到 ξ 的范围,再根据正态密度曲线 的对称性求解.

B 【解析】 根据题意函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点时,Δ=16-4ξ<0,即 1 ξ>4, 根据正态密度曲线的对称性, 当函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点的概率是 时, 2 μ=4.

第20讲 │ 要点热点探究

已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2, 2), σ P(ξ≤4) =0.84,则 P(ξ≤0)=( ) A.0.68 B.0.32 C.0.16 D.0.84
C 【解析】 正态密度曲线关于直线 x=2 对称,故 P(ξ≤0)=P(ξ>4)=1-P(ξ≤4)=0.16.

第20讲 │ 要点热点探究
? 创新链接 10 概率计算技巧 在概率中,事件之间有两种最基本的关系,一种是事件之间的 互斥(含两个事件之间的对立),一种是事件之间的相互独立的,互 斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和, 相互 独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积, 在概 率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在. 把随机事件分拆成若干个互斥事件的和、 把随机事件分拆成若 干个相互独立事件的乘积是比较单纯的, 在概率计算中一个极为重 要的技巧就是把一个随机事件首先分拆成若干个互斥事件的和, 再 把其中的每个小事件分拆成若干个相互独立事件的乘积, 在这个过 程中还可以根据对立事件的关系进行转化, 这是概率计算的关键技 巧.

第20讲 │ 要点热点探究
例 4 [2011· 山东卷] 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛, 甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘,已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6, 0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ.

【分析】 (1)“至少”包含两名及两名以上,处理“至少”问题正面不易解决时可以 从反面考虑;(2)问关键是分布列求出后核实其数据的正确性. 【解答】 (1)设甲胜 A 为事件 D,乙胜 B 为事件 E,丙胜 C 为事件 F, 则 D , E , F 分别表示事件甲不胜 A、事件乙不胜 B、事件丙不胜 C. 因为 P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由对立事件的概率公式知 P( D )=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5.

红队至少两人获胜的事件有:DE F ,D E F, D EF,DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为 P=P(DE F )+P(D E F)+P( D EF)+P(DEF) =0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.

第20讲│ 要点热点探究
(2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3. 又由(1)知 D E F、 D E F 、D E F 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立. 因此 P(ξ=0)=P( D E F )=0.4×0.5×0.5=0.1. P(ξ=1)=P( D E F)+P( D E F )+P(D E F ) =0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5 =0.35. P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15. 由对立事件的概率公式得 P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4. 所以 ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此 Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.

第20讲│ 要点热点探究

【点评】 概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类 似本题的分拆,这中间有三个概念,事件的互斥,事件的对立和事 件的相互独立,在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念,根据实 际情况对事件进行合理的分拆, 就能把复杂事件的概率计算转化为 一个个简单事件的概率计算,达到解决问题的目的.

第20讲│ 要点热点探究
某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成 5 4 活率分别为 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 6 5 (1)至少有 1 株成活的概率; (2)两种大树各成活 1 株的概率.

【解答】 设 Ak 表示第 k 株甲种大树成活,k=1,2;设 Bl 表示第 l 株乙种大树成 活,l=1,2, 5 4 则 A1,A2,B1,B2 独立,且 P(A1)=P(A2)= ,P(B1)=P(B2)= . 6 5 (1)至少有 1 株成活的概率为 ?1 ? ?1 ? 899 1-P( A1 · 2 · 1 · 2 )=1-P( A1 )· A2 )· B1 )· B2 )=1-? ?2? ?2= . A B B P( P( P( ?6 ? ?5 ? 900 ? ? ? ? (2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1 株的概率为 ? ?? 4 1 ? 10 8 4 ? 1 5 1? ? 1 P=?C2× × ?· 2× × ?= × = . C 6 6? ? 5 5 ? 36 25 45 ? ? ?

第20讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.在解含有相互独立事件的概率题时,首先把所求的随机事件 分拆成若干个互斥事件的和,其次将分拆后的每个事件分拆为若干 个相互独立事件的乘积,这两个事情做好了,问题的思路就清晰了, 接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了,如果某些相互独 立事件符合独立重复试验概型,就把这部分归结为用独立重复试验 概型,用独立重复试验概型的概率计算公式解答.

第20讲 │ 规律技巧提炼
2.相当一类概率应用题都是比如掷硬币、掷骰子、摸球等概率 模型赋予实际背景后得出来的,我们在解题时就要把实际问题再还 原为我们常见的一些概率模型, 这就要根据问题的具体情况去分析, 对照常见的概率模型,把不影响问题本质的因素去除,抓住问题的 本质. 3.求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是:先根据随 机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根据随机变量取 这些值的意义求出取这些值的概率,列出分布列,根据数学期望和 方差的公式计算.

第20讲 │ 教师备用例题
教师备用例题

备选理由:概率统计解答题的考查有综合概率和统 计于一体的趋势,这与前几年概率统计解答题以考查独 立事件概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期 望有所变化.下面选用的两个例题目的就是如此,这两 个例题和提升训练的第 7、 两题可以给学生在这个方面 8 一个强化.

第20讲 │ 教师备用例题
例 1 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行 铅球测试,成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频 率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第 6 小组的频数是 7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名,记 X 表示两人中成绩不合格的人数,求 X 的分布列及数学期望; ... (3)经过多次测试后,甲成绩在 8~10 米之间,乙成绩在 9.5~10.5 米之间,现甲、乙各投掷 一次,求甲比乙投掷远的概率.

第20讲 │ 教师备用例题
【解答】 (1)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, 7 ∴此次测试总人数为 =50(人). 0.14 ∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人). ? 14 7 7? ? (2)X=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为 = ,∴X~B?2, ?. 50 25 25 ? ? ? ?18 ? 324 P(X=0)=? ?2= , ?25 ? 625 ? ? ? ?? ? 252 1 ? 7 ??18 ? P(X=1)=C2? ?? ?= , ?25 ??25 ? 625 ?7 ? 49 P(X=2)=? ?2= . ?25 ? 625 ? ? 所求分布列为 1 252 P 625 324 252 49 14 E(X)=0× +1× +2× = . 625 625 625 25 X 0 324 625 2 49 625

第20讲 │ 教师备用例题
(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 x、y 米,则基本事件满足的区域为 ?8≤x≤10, ? 事件 A“甲比乙投掷远的概率”满足 ?9.5≤y≤10.5, 的区域为 x>y,如图所示. 1 1 1 × × 2 2 2 1 由几何概型得 P(A)= = . 16 1×2

第20讲 │ 教师备用例题
例 2 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培 训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次.记录如下: 甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85 (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中 位数; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均状况和方差的角 度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由; (3)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩 进行预测,记这三次成绩中高于 80 分的次数为 X,求 X 的分布列 及数学期望 E(X).

第20讲 │ 教师备用例题
【解答】 (1)茎叶图如下:

学生乙成绩的中位数为 84. (2)派甲参加比较合适,理由如下: -甲=1(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85, x 8 -乙=1(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85, x 8 1 s2 = [(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+ 甲 8 2 (95-85) ]=35.5. 1 s2 = [(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+ 乙 8 2 (95-85) ]=41. ∴ x 甲= x 乙,s2 <s2 ,∴甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适. 甲 乙

第20讲 │ 教师备用例题
(3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A, 6 3 则 P(A)= = , 8 4 随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3, ? 3? ? 3, ?, 且 X 服从 B? 4? ? ? ?3? ? 3? ? 1- ? ∴P(X=k)=Ck?4?k· 4?3-k,k=0,1,2,3, 3? ? ? ? ? ? ? X 的分布列为: 0 1 2 3 1 9 27 27 P 64 64 64 64 1 9 27 27 9 3 9 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = 或 E(X)=np=3× = . 64 64 64 64 4 4 4 X

第21讲

算法与复数

第21讲 算法与复数

第21讲 │ 主干知识整合
主干知识整合 1.算法 (1)算法的三种基本逻辑结构是:顺序结构,条件结构和 循环结构.程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线 及文字说明来表示算法的图形. (2)基本算法语句:赋值语句、条件语句和循环语句. 2.复数 (1)概念;(2)复数的相等;(3)共轭复数; (4)运算:(a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i, (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i, ac+bd bc-da (a+bi)÷ (c+di)= 2 + i(c+di≠0); c +d2 c2+d2 (5)复数 z=a+bi(a,b∈R)的几何意义.

第21讲 │ 要点热点探究
要点热点探究

?

探究点一

算法流程图

例 1 [2011· 陕西卷] 图 21-1 中,x1,x2,x3 为某次考试三个评阅人对同一道 题的独立评分,p 为该题的最终得分.当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于( )

图 21-1 A.11 B.10 C.8 D.7

第21讲│ 要点热点探究
C 【解析】 由题目中所给的数据 p=8.5,x1=6,x2=9,则若满足条件|x3-x1| x2+x3 <|x3-x2|时,不成立,故应不满足条件|x3-x1|<|x3-x2|,此时满足 =8.5,则 2 x3=8,并且代入也符合题意,故选 C.

【点评】 这个算法流程图的基本结构是顺序结构和条件结构,顺序结构保证了算法 从开始到结束的一条完整路线, 保证了算法的可执行性以及运算结果的确定性, 其中 含有两个条件结构, 实现了运算可以按照不同的条件选择计算路径, 实现了算法的完 整功能.

第21讲 │ 要点热点探究
(1)如果执行图 21-2 所示的程序框图, 那么输出的 t =( )

A.96 B.120

图 21-2 C.144 D.300

第21讲 │ 要点热点探究
(2)已知图象不间断的函数 f(x) 是区间[a,b]上的单调函数,且在区 间(a,b)上存在零点.图 21-3 是用 二分法求方程 f(x)=0 近似解的程序 框图,判断框内可以填写的内容有 如下四个选择: ①f(a)f(m)<0;②f(a)f(m)>0; ③f(b)f(m)<0;④f(b)f(m)>0. 其中能够正确求出近似解的是 ( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

第21讲│ 要点热点探究

第21讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 基本算法语句

例 2 [2011· 福建卷] 运行如下所示的程序,输出的结果是________. a=1 b=2 a=a+b PRINT a END

3 【解析】 由已知,输入 a=1,b=2,把 a+b 的值赋给 a,输出 a=3.

第21讲 │ 要点热点探究
算法 IF x<0 THEN y=-x ELSE y=x END IF 图 21-5 若输入的 x=5,则输出的 y 值是( A.5 B.-5 C.10 D.-10

)

第21讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 复数的概念及运算

1+ai 例 3 [2011· 安徽卷] 设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 2-i 为( ) 1 1 A.2 B.-2 C.- D. 2 2
A ?2-a=0, ? 解得 a=2. ?2a+1≠0, 1+ai i?a-i? 法二: = 为纯虚数,所以 a=2.答案为 A. 2-i 2-i

1+ai ?1+ai?· ?2+i? 2-a+?2a+1?i 【解析】 法一: = = 为纯虚数,所以 5 2-i ?2-i??2+i?

【点评】 复数系涉及的概念有虚数、纯虚数、共轭复数等,要注意这些概念满足 的条件.

第21讲│ 要点热点探究
(1)若(a-2i)i=b-i,其中 a,b∈R,i 是虚数单位,则 a+ b=________. (2)已知复数 z1=cos23° +isin23° 和复数 z2=cos37° +isin37° 则 z1·2 , z 为( ) 1 3 3 1 1 3 3 1 A. + i B. + i C. - i D. - i 2 2 2 2 2 2 2 2

(1)1 (2)A 【解析】 (1)由(a-2i)i=b-i,得 2+ai=b-i,根 据复数相等的充要条件得 a=-1,b=2,故 a+b=1. (2)z·2=(cos23° z +isin23° )(cos37° +isin37° ) =cos23° cos37° -sin23° sin37° +(sin23° cos37° +cos23° sin37° )i 1 3 =cos60° +isin60° + i. = 2 2

第21讲 │ 要点热点探究
? 探究点四 复数的几何意义

2-i 例 4 [2011· 山东卷] 复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应的点 2+i 所在象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
?3 2-i ?2-i?2 3-4i 3 4 4? ? ,- ?在第四象 D 【解析】 z= = = = - i,又点 5 5? 2+i ?2+i??2-i? 4+1 5 5 ? 限,所以该复数在复平面内对应的点也在第四象限.

【点评】 复数 z=x+yi(x,y∈R)的几何表示就是点 Z(x,y),向量 → OZ,这三者之间是一一对应的.

第21讲 │ 要点热点探究

如果复数(a+2i)(1+i)的模为 4,则实数 a 的值为( A.2 B.2 2 C.± D.± 2 2 2

)

C 【解析】 (a+2i)(1+i)=a-2+(2+a)i,根据已知 ?a-2?2+?a+2?2=4,解得 a=± 2.

第21讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼

1.在算法的三种逻辑结构中,顺序结构是算法都离 不开的,在循环结构的循环体中一定含有一个条件结构, 这个条件决定循环何时终止,以确保算法能够在有限步内 完成计算,条件结构的功能就是确定算法的不同流向.理 解算法的三种基本逻辑结构,是我们分析算法框图,编写 简单程序的基础.

第21讲│ 规律技巧提炼
2.算法是离不开具体的数学问题的,算法试题往往要 依托其他数学问题来实现, 算法可以和函数求值、 方程求解、 不等式求解、数列求和、统计量计算等问题相互交汇. 3.复数部分的考点就是复数的概念、复数相等的充要 条件、复数代数形式的四则运算,其考查带有综合性.要注 意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的 代数形式”.

第21讲 │ 教师备用例题
教师备用例题

备选理由:算法和复数的试题都很简单,选用下面的 几个 2011 的高考试题,可以作为要点热点探究的补充.

第21讲 │ 教师备用例题
例 1 [2011· 天津卷] 阅读下面的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( A.3 B.4 C.5 D.6 )

【解析】 B i=1 时,a=1×1+1=2; i=2 时,a=2×2+1=5; i=3 时,a=3×5+1=16; i=4 时,a=4×16+1=65>50,∴输出 i=4,故选 B.

第21讲 │ 教师备用例题
例 2 [2011· 山东卷] 执行如图所示的程序框图,输入 l=2,m=3,n=5,则输出 的 y 的值是________.

【答案】 68 【解析】 把 l=2,m=3,n=5 代入 y=70l+21m+15n 得 y=278,此时 y =278>105,第一次循环 y=278-105=173,此时 y=173>105,再循环,y=173 -105=68,输出 68,结束循环.

第21讲 │ 教师备用例题
例3 [2011· 辽宁卷] a 为正实数,i
?a+i? ? ? 为虚数单位,? =2, i ? ? ?

则 a=( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1

【解析】 B

?a+i? ? ? ? i ?=|1-ai|= ? ?

1+a2=2,由于 a 为

正实数,所以 a= 3,故选 B.

第21讲 │ 教师备用例题
?1+i? ?2011 为虚数单位,则? =( ?1-i? ? ?

例4

[2011· 湖北卷] i

)

A.-i B.-1 C.i D.1

【解析】 A i502
×4+3

? ? ?1+i? ?1+i?2 1+i ? ? ? 2011 因为 = ?? =i,所以 ? = ?? ? ?1-i? ??1+i? 1-i ?1-i?? ? ? ?

=i3=-i.


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