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高中数学北师大版选修1-2课时作业:3.4 反证法 含解析

选修 1-2 第三章 §4 课时作业 41 一、选择题 1.[2014· 山东高考]用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b =0 至少有一个实根”时,要做的假设是( A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程 x3+ax +b=0 没有实根”. 答案:A 2. 设 a, b, c 为正实数, P=a+b-c, Q=b+c-a, R=c+a-b, 则“PQR>0” 是“P,Q,R 同时大于零”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 首先若 P, Q, R 同时大于零, 则必有 PQR>0 成立. 其次, 若 PQR>0, 则 P,Q,R 同时大于零或其中两个负数一个正数,不妨假设 P<0,Q<0,∴a+ b-c<0,b+c-a<0,∴b<0 与 b 为正实数矛盾,故 P,Q,R 都大于 0.故选 C. ) ) 答案:C 3.已知 f(x)是 R 上的增函数,a,b∈R,下列四个命题: ①若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b); ②若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则 a+b≥0; ③若 a+b<0,则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b); ④若 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则 a+b<0. 其中真命题的个数为( A. 1 C. 3 ) B. 2 D. 4 解析: 易知①③正确. ②用反证法: 假设 a+b<0, 则 a<-b, b<-a, ∴f(a)<f(- b),f(b)<f(-a),∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)与条件矛盾,故 a+b≥0,从而②为 真命题,④类似于②用反证法.故选 D. 答案:D 4.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦 值,则( ) A. △A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B. △A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C. △A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D. △A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 解析:因为正弦值在(0° ,180° )内是正值,所以△A1B1C1 的三个内角的余弦 值均大于 0.因此△A1B1C1 是锐角三角形. 假设△A2B2C2 也是锐角三角形,并设 cosA1=sinA2,则 cosA1=cos(90° -∠ A2), 所以∠A1=90° -∠A2. 同理设 cosB1=sinB2,cosC1=sinC2,则有∠B1=90° -∠B2,∠C1=90° -∠ C2. 又∠A1+∠B1+∠C1=180° , ∴(90° -∠A2)+(90° -∠B2)+(90° -∠C2)=180° ,即∠A2+∠B2+∠C2=90° . 这与三角形内角和等于 180° 矛盾, 所以原假设不成立.故选 D. 答案:D 二、填空题 5.用反证法证明“f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一 1 个不小于 ”时的假设为________. 2 解析:“至少有一个”的反设词为“一个也没有”. 答案:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 1 2 6.用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C>180° ,这与三角形内角和为 180° 矛盾,故假设错误. ②所以一个三角形不能有两个钝角. ③假设△ABC 中有两个钝角,不妨设∠A>90° ,∠B>90° . 上述步骤的正确顺序为__________. 解析:根据反证法知,上述步骤的正确顺序应为③①②. 答案:③①② 7.若下列两个方程 x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 中至少有一个方 程有实根,则实数 a 的取值范围是__________. ? ?Δ1=?a-1?2-4a2<0, 解析: 假设两个一元二次方程均无实根, 则有? 2 ? ?Δ2=?2a? -4?-2a?<0, 即 ? ?3a2+2a-1>0, ? 2 ? ?a +2a<0, 解得{a|-2<a<-1},所以其补集{a|a≤-2 或 a≥-1}即为 所求的 a 的取值范围. 答案:{a|a≤-2 或 a≥-1} 三、解答题 8.设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn} 不是等比数列. 证明:假设数列{cn}是等比数列,利用{an},{bn}是公比不相等的等比数列的 条件推出矛盾,即知假设不成立. 假设数列{cn}是等比数列,则 (an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1). ① ∵{an}, {bn}是公比不相等的两个等比数列, 设公比分别为 p, q, ∴a2 n=an-1an +1,b2 n=bn-1bn+1. 代入①并整理,得 p q 2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn( + ), q p p q 即 2= + . q p ② p q 当 p,q 异号时, + <0,与②相矛盾; q p p q 当 p,q 同号时,由于 p≠q,∴ + >2,与②相矛盾. q p 故数列{cn}不是等比数列. 9.已知 a,b,c 是互不相等的实数,求证:由 y=ax2+2bx+c,y=bx2 +2cx+a 和 y=cx2+2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个不同的 交点. 证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两个不同的交点. 由 y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得 Δ1=(2b)2-4ac≤0, 且 Δ2=(2c)2-4ab≤0

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