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四、三角函数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】11页

――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
三角函数
1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有 作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半 轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就 认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1)? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2 k ? ( k ? Z ) ,注意:相 等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 ? 的终边相同,且绝对值最 小的角的度数是___,合___弧度。 (答: ? 2 5 ? ; ?
5 36

? )

(2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k ? ( k ? Z ) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2 k ? ( k ? Z ) . (4) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2 k ? ( k ? Z ) . (5) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2 k ? ( k ? Z ) . (6) ? 终边在 x 轴上的角可表示为: ? ? k ? , k ? Z ; ? 终边在 y 轴上的角可表示为:
? ? k? ? ?
2 ,k ? Z

; ? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ?

k? 2

,k ? Z

.如 ? 的终边与
?
3

?
6

的终边

关于直线 y ? x 对称,则 ? =____________。 (答: 2 k ? ?
,k?Z



? ? 与 2 的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 ? 是第二象限角,则 4、
?
2

是第_____象限角 (答:一、三) 5.弧长公式: l
?| ? | R

,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R 2 ,1 弧度(1rad) ? 5 7 .3 ? . 如已
2 2

知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm 2 ) 6、任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角,P ( x , y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异 于原点) ,它与原点的距离是 r ?
co t ? ? x y
( y ? 0 ) , sec ? ?

x ? y
2

2

? 0 ,那么 sin ? ?
r y

y r

, cos? ?

x r

, tan ? ?

y x

,? x ? 0? ,

r x

?x

? 0 ? , csc ? ?

?y

? 0 ? 。三角函数值只与角的大小有关,而与

终边上点 P 的位置无关。如 (1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为__。 (答: ? (2)设 ? 是第三、四象限角, sin ? ?
2m ? 3 4?m 7 13

) ;

,则 m 的取值范围是_______

(答: (-1, ) ) ;
2

3

(3)若

| sin ? | sin ?

?

cos ? | cos ? |

? 0 ,试判断 cot(sin ? ) ? tan(cos ? ) 的符号

(答:负) 7.三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、余弦线 OM“躺在 x 轴 上(起点是原点)”正切线 AT 站在点 A (1, 0) 处(起点是 A )” 、 “ . 三角函 y T 数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 如 B S (1)若 ?
?
?? ? 0

,则 s in ? , c o s? , ta n? 的大小关系为
α O

P

_____
M A x

8

(答: tan ? ? sin ? ? cos ? ); ( 2 ) 若 ? 为 锐 角 , 则 ? , s i n? , t a ? 的 大 小 关 系 为 n (答: sin ? ? ? ? tan ? ) ; (3)函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg( 2 sin x ? 3 ) 的定义域是_______ (答: ( 2 k ? ? 8.特殊角的三角函数值: 30° 45° 60°
sin ?

_______

?
3

, 2k? ?

2? 3

]( k ? Z )



0° 0 1 0

90° 1 0

180° 0 -1

270° -1

15°
6 ? 4 2

75°
6 ? 4 2

1 2

2 2 2 2

3 2
1 2

cos ?

3 2

0

6 ? 4

2

6 ? 4

2

tan ?

3 3

1 1
3 3

3

0 0 0

2- 3 2+ 3

2+ 3 2- 3

co t ?

3

9. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec 2 ? ,1 ? cot 2 ? ? csc 2 ? (2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, (3)商数关系: tan ? ?
sin ? co s ? , co t ? ? co s ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三 角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩 角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式, 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对 值。如 (1)函数 y ?
sin ? ? tan ? co s ? ? co t ?

的值的符号为____ (答:大于 0) ;

(2)若 0 ? 2 x ? 2 ? ,则使 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 成立的 x 的取值范围是____
2

(答: [ 0 ,

?
4

]? [

3 4

? ,? ]) ;

(3)已知 sin ? ?

m?3 m?5

, cos ? ?

4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? m?5 2

=____ (答: ?
5 12

) ;

(4)已知

tan ? tan ? ? 1

? ? 1 ,则

sin ? ? 3 cos ? sin ? ? cos ?

=___; sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 =____ (答: ?
5 3



13 5

) ;

(5)已知 sin 200 ? ? a ,则 tan 160 ? 等于 A、 ?
a 1? a
2

B、

a 1? a
2

C、 ?

1? a a

2

D、

1? a a

2

(答:B) ; (6)已知 f (cos x ) ? cos 3 x ,则 f (sin 30 ) 的值为______
?

(答:-1) 。 10.三角函数诱导公式 ( ? ?? ) 的本质是: 奇变偶不变 (对 k 而言, k 取奇数或偶数) 指 ,
2 k

符号看象限 (看原函数, 同时可把 ? 看成是锐角) .诱导公式的应用是求任意角的三角函数值, 其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角三角函数。如 (1) co s
9? 4 ? tan ( ? 7? 6 ) ? sin 2 1?

的值为________ (答:
2 2 ? 3 3

) ;

( 2 ) 已 知 s i n (5 4 0? ? ? ) ? ?
[sin( 180
?

4 5

, 则 cos( ? ? 270 ? ) ? ______ , 若 ? 为 第 二 象 限 角 , 则

? ? ) ? cos( ? ? 360 )]
?

2

tan( 180

?

??)

?

________。 (答: ?
4 5

;?

3 100



11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
sin ? ? ? ?

? ? sin ?

cos ? ? cos ? sin ? ? ? ?? sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?
令? ?? 2 2

令? ??

co s ? ? ? ?

?? ??

co s ? co s ? ? sin ? sin ? ? ? ?? co s 2 ? ? co s ? ? sin ?
2 2

                                              2 co s ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ? ?   ?? ? ? tan tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?               co s ? = ?
2 2

1 + co s2 ? 2 1 ? co s2 ? 2

如 (1)

                                        ?= ? sin       2? ? tan 2 tan ? 1 ? tan ? 1
2

下列各式中,值为

的是

2

A、 sin 15 ? cos 15 ? C、
ta n 2 2 . 5
2 ? ?

B、 co s 2 D、

?
12

? sin
?

2

?
12

1 ? co s 3 0 2

1 ? ta n 2 2 . 5

(答:C) ; (2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 (答:C) ; (3)已知 sin ( ?
? ? ) co s ? ? co s( ? ? ? ) sin ? ? 3 5

,那么 co s 2 ? 的值为____ (答:
7 25

) ;

(4)

1 sin 1 0
?

?

3 sin 8 0
?

的值是______ (答:4) ;

(5)已知 tan 1 1 0 0 ? a ,求 tan 5 0 0 的值(用 a 表示)甲求得的结果是 果是
1? a 2a
2

a? 1?

3 3a

,乙求得的结

,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______

(答:甲、乙都对) 12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先 观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看 函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两 角与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,
2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?

? ??
2


)?

? ? ?
2

? ? ?

?

?
2

,如 ? ? ? ? ? 等)
? 2 ?

(1)已知 tan (? ? ? ) ?

2 5

, tan ( ? ?

?
4

1 4

,那么 tan (? ?

?
4

) 的值是_____

(答: (2)已知 0 ? ? ?
?
2 ?? ??

3 22

) ;

,且 co s( ? ?

?
2

)? ?

1 9

, sin (

?
2

?? )?

2 3

,求 cos( ? ? ? ) 的值 (答:
490 729

) ;

(3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x , cos ? ? y , co s(? ? ? ) ? ? ______

3 5

,则 y 与 x 的函数关系为
3 5 4 5 3 5

(答: y ? ? (2)三角函数名互化(切割化弦),如 (1)求值 sin 5 0 ? (1 ? 3 tan 1 0 ? )

1? x ?
2

x(

? x ? 1) )

(答:1) ; (2)已知
sin ? co s ? 1 ? co s 2 ? ? 1, tan (? ? ? ) ? ? 2 3

,求 tan ( ? ? 2? ) 的值 (答: )
8 1

(3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ? 。如

(1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B ) =_____ (答: ? (2)设 ? A B C 中, ta n A ? ta n B ? 3 ? 3 ta n A ta n B , sin A co s A ? 三角形 (答:等边) (4)三角函数次数的降升(降幂公式: co s 2 ? ?
1 ? cos 2? ? 2 cos ?
2

2 2

) ;

3 4

,则此三角形是____

1 ? co s 2 ? 2

, sin 2 ? ?

1 ? co s 2 ? 2

与升幂公式:

, 1 ? cos 2? ? 2 sin 2 ? )。如
1 2 ? 1 2 1 2 ? 1 2 co s 2 ?

(1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简
2

3

为_____ (答: sin
?
2

) ;

(2)函数 f ( x ) ? 5 sin x co s x ? 5 3 co s 2 x ?

5 2

3 ( x ? R ) 的单调递增区间为____

(答: [ k ? ? (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 (1) tan ? (co s ? ? sin ? ) ?
sin ? ? tan ? co t ? ? csc ?

?
12

,k? ?

5? 12

]( k ? Z ) )

(答: sin ? ) ; (2)求证:
1 ? sin ? 1 ? 2 sin
4 2

1 ? ta n

? ?
2

?
2

? 1 ? ta n
2



2

2 co s x ? 2 co s x ?

1 2

(3)化简:
2 tan (

?
4

? x ) sin (
2

?
4

? x)

(答: co s 2 x )
2

1

(6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x
2 2 2 2

? tan ? ? sin ? ? ? 4 2

等) ,如已知 tan ? ? 2 ,求 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 3 cos 2 ? (答: ).
5

3

(7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、sin x cos x (1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x co s x ?

”的内存联系――“知一求二” ,如 __
t ?1
2

(答: ?
2

),特别提醒:这里 t ? [ ? 2 , 2 ] ;

2

(2)若 ? ? (0, ? ), sin ? ? co s ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 (答: ? (3)已知
sin 2 ? ? 2 sin ?
2

4? 3

7

) ;

1 ? tan ?

? k (

?
4

?? ?

?
2

)

,试用 k 表示 sin ? ? co s ? 的值

(答: 1 ? k ) 。 13、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b co s x ? 限由 a, b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?
b a

a ? b sin ? x ? ?
2 2

? (其中 ? 角所在的象

确定)在求最值、化简时起着重要作用。如

(1)若方程 sin x ? 3 co s x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. (答:[-2,2]) ; (2)当函数 y ? 2 co s x ? 3 sin x 取得最大值时, ta n x 的值是______ (答: ? (3)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2 co s( x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? = (答:-2); (4)求值:
sin 3
2

3 2

);

20 ?

? cos

1
2

20 ?

? 64 sin

2

20 ? ?

________

(答:32) 14、 正弦函数和余弦函数的图象: 正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法: 五点法:先取横坐标分别为 0,
?
2 ,? , 3? 2 , 2?

的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就

得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 15、正弦函数 y ? sin x ( x ? R ) 、余弦函数 y ? cos x ( x ? R ) 的性质: (1)定义域:都是 R。 ( 2) 值域:都是 ? ? 1 , 1? ,对 y ? s i n x ,当 x ? 2 k? ?
x ? 2 k? ? 3? 2

?
2

?

k ? Z?

时, y 取最大值 1;当

?

k ? Z? 时, y

取最小值-1;对 y ? cos x ,当 x ? 2 k ? ? k ? Z ? 时, y 取最大值 1,
?
6

当 x ? 2 k ? ? ? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1。如 (1)若函数 y ? a ? b sin (3 x ?
) 的最大值为 3 2

,最小值为 ?

1 2

,则 a ? __, b ? _
1 2 , b ? 1 或 b ? ?1 ) ;

(答: a ? (2)函数 f ( x ) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [ ?
?
2 ,

?
2

] )的值域是____

(答:[-1, 2]) ; (3)若 2? ? ? ? ? ,则 y ? cos ? ? 6 sin ? 的最大值和最小值分别是____ 、_____ (答:7;-5) ; ( 4 ) 函 数 f ( x ) ? 2 c o sx s i nx(? __________ (答:2; k ? ? (5)己知 sin ? cos ? ?
1 2

?
3

?)

3 s i n? s i nx c o s x x
2

的 最 小 值 是 _____ , 此 时 x =
?
12

(k ? Z ) ) ;

,求 t ? sin ? cos ? 的变化范围 (答: [0 , ] ) ;
2 1

(6)若 sin ? ? 2 sin ? ? 2 cos ? ,求 y ? sin ? ? sin ? 的最大、最小值
2 2 2 2

(答: y max ? 1 , y min ? 2 2 ? 2 ) 。特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗? (3)周期性:① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ;② f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) 和
f ( x ) ? A co s(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ?

2? |? |

。如

(1)若 f ( x ) ? sin

?x
3

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2003) =___ (答:0) ;
4
4

(2) 函数 f ( x ) ? cos x ? 2 sin x cos x ? sin x 的最小正周期为____ (答: ? ) ; (3) 设 函 数 f ( x ) ? 2 s i n ( x ?
2

?

?
5

)

, 若 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x1 ) ? f ( x ) ? f ( x 2 ) 成 立 , 则

| x 1 ? x 2 | 的最小值为____

(答:2) (4)奇偶性与对称性:正弦函数 y ? sin x ( x ? R ) 是奇函数,对称中心是 ? k ? , 0 ? ? k ? Z ? ,
? ) 对 称 轴 是 直 线 x ? k? ? ? k ? Z ; 余 弦 函 数 y ? c o sx (x R 是 偶 函 数 , 对 称 中 心 是 ?

?

2

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z 2 ? ?

? ,对称轴是直线 x
? 5?

? k? ? k ? Z

? (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最

低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点) 。如 (1)函数 y ? sin ?
? ? 2 x ? 的奇偶性是______、 ? 2 ?
3

(答:偶函数) ; (2)已知函数 f ( x ) ? a x ? b sin x ? 1( a ,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ? 5 ) ? ______ (答:-5) ; (3)函数 y ? 2 cos x (sin x ? cos x ) 的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______ (答: (
k? 2 ?

?
8

,1 )( k ? Z ) 、 x ?

k? 2

?

?
8

(k ? Z )) ;

(4)已知 f ( x ) ? sin ( x ? ? ) ? 3 co s( x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。 (答: ? ? k ? ? ( 5 ) 单 调 性 : y ? sin x 在 ? 2 k ? ?
? ?

?
6

(k ? Z ))

?
2

, 2 k? ?

? ?

? 2? ?

k?Z

? 上 单 调 递 增 , 在

? ? 2 k? ? ? 2 ?

, k ?2 ?

3? ? ?k ? Z 2 ? ?

? 单调递减;

y ? cos x

在 ? 2 k? , 2 k? ? ? ? ? k ? Z ? 上 单 调 递 减 , 在

? 2 k?

? ? , 2 k ? ? 2?

? ? k ? Z ? 上单调递增。特别提醒,别忘了 k ? Z !
1 T

16、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: (1)几个物理量:A―振幅; f ?
? x ? ? ―相位; ? ―初相;

―频率(周期的
Y 2 3 2? 9 X -2 23题 图

倒 数 );
? 定; 由周期

(2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确 确 定 ; ? 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 , 如

f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0

, | ? |?

?
2

)

的 图 象 如 图 所 示 , 则 f ( x ) = _____ ( 答 :

f ( x ) ? 2 sin (

15 2

x?

(3)函数
?
2 ,? , 3? 2 , 2?

)) ; 3 y ? A s in (? x ? ? )

?

图象的画法:①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =0,

求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是

作函数简图常用方法。 (4)函数 y ? A s in (? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? s in x 图象间的关系:①函数 y ? s in x 的图象 纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;② 函数 y ? s in ? x ? ? ? 图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的
1

?

,得到函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 的图

象 ; ③ 函 数 y ? s i n? ? x ? ? ? 图 象 的 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍 , 得 到 函 数
y ? A s i n ? x? ? ) ( 的图象;④函数 y ? A sin (? x ? ? )

图象的横坐标不变,纵坐标向上( k ? 0 )
? ?

或向下( k ? 0 ) ,得到 y ? A sin ? ? x ? ? ? ? k 的图象。要 特别注意,若由 y ? sin ? ? x ? 得 到
y ? s i n? ? x ? ? ?

的图象,则向左或向右平移应平移 |
?
4

| 个单位,如

(1)函数 y ? 2 sin ( 2 x ? (答: y ? 2 sin ( 2 x ?
?
4 1

) ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x

的图象?
?
8

) ? 1 向上平移

1 个单位得 y ? 2 sin ( 2 x ?

?
4

) 的图象,再向左平移



单位得 y ? 2 sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原来的 2 倍得 y ? 2 sin x 的图象,最后将纵坐标缩小 到原来的 即得 y ? sin x 的图象) ;
2

(2) 要得到函数 y ? co s( ?
2

x

?
4

)

的图象,只需把函数 y ? s in

x 2

的图象向___平移____个单
?
2

位 (答:左; (3)将函数 y
? 2 sin ( 2 x ? 7? 3
? ) ? 1 图像,按向量 a

) ;

平移后得到的函数图像关于原点对称,这
?

? 样的向量是否唯一?若唯一,求出 a

;若不唯一,求出模最小的向量 (答:存在但不唯一,模最小的向量 a ? ( ?
?
6 , ? 1)

) ;

(4)若函数 f ? x ? ? co s x ? sin x ? x ? ? 0, 2 ? ? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的交 点,则 k 的取值范围是 (答: [1, 2 ) )
( ( 5 ) 研 究 函 数 y ? A s i n ? x ? ? )性 质 的 方 法 : 类 比 于 研 究 y ? sin x 的 性 质 , 只 需 将

看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间时,要 特别注意 A 和 ? 的符号,通过诱导公式先将 ? 化正。如
y ? A s i n ? x? ? ) ( 中的 ? x ? ?

(1)函数 y ? sin ( ? 2 x ?

?
3

)

的递减区间是______ (答: [ k ? ?
5 12

? ,k? ?

?
12

]( k ? Z ) ) ;

(2) y ? lo g 1 co s(
2

x 3

?

?
4

) 的递减区间是_______

(答: [ 6 k ? ? ? , 6 k ? ?
4

3

3? 4

]( k ? Z ) ) ;

(3) 设函数 f ( x ) ? 期是 ? ,则

A sin( ? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , ?

?
2

?? ?

?
2

) 的图象关于直线 x ?

2? 3

对称, 它的周

A、 f ( x )的图象过点 ( 0 , ) B、 f ( x ) 在区间 [
5? 12 ,

1

2 2?
3

] 上是减函数
是( 5? 12 ,0 )

C、 f ( x )的图象的一个对称中心 D、 f ( x ) 的最大值是 A

(答:C) ; (4)对于函数 f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ?
? ?

? ?

? 给出下列结论: 3 ?

①图象关于原点成中心对称; ②图象关于直线 x ?
?
12

成轴对称;
?
3

③图象可由函数 y ? 2 sin 2 x 的图像向左平移 ;④图像向左平移
?
12

个单位得到

个单位,即得到函数 y ? 2 co s 2 x 的图像。

其中正确结论是_______ (答:②④) ; (5)已知函数 f ( x ) ? 2 sin (? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中,距离最近两点间的距 离为
?
3

,那么此函数的周期是_______ (答: ? )

17、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: (1)定义域:{ x | x ?
?
2 ? k ? , k ? Z } 。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定

义域了吗? (2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 ? ,它与直线 y ? a 的两个相邻交点之间的距离是一 个周期 ? 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对 值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值, 其周期性不变,其它不定。 如 y ? sin 2 x , y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x
? co s x

的周期为

?
2

,而 y ? | 2 sin (3 x ?

?
6

)?

1 2

|, y ? | 2 sin (3 x ?

?
6

) ? 2 | , y ? | tan x | 的周期不变;

(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ?

? k?

? ,0 ? ?k ? Z ? 2 ?

? ,特别提醒:正(余)切型

函数的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但无对 称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。

(5)单调性:正切函数在开区间 ? ?
?

?

?
2

? k? ,

?

? ? k? ? ? k ? Z 2 ?

? 内都是增函数。但要注意在整

个定义域上不具有单调性。如下图:

y ? A sin(? x ? y=Asin(ωx+φ)? )
O

三角函数图象几何性质
y x

三角函数图象几何性质
y=Atan(ωx+φ) ) y ? A tan(? x ? ?
O y x

x3

x4
邻中心轴相距

x3
x=x1 T
4

x4 x=x1 x=x2

x=x2
邻中心|x3-x4|= T/2 无穷对称中心: 由y=0或 y无意义确定

邻中心|x3-x4|=T/2
无穷对称中心: 由y=0确定

邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称轴: 由y=A或-A确定

邻渐近线|x1-x2|=T 无对称轴 任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交,且相邻两 交点的距离为一个周期!

18. 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能 忘记! 任意两角和与第三个角总互补, 任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于 第三边的平方. (2)正弦定理: a
sin A ? b ? c ? 2R sin B sin C

(R 为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定理
a 2R , sin B ? b 2R , sin C

的一些变式: ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ?
? c 2R

; ? iii ? a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , b ? 2 R sin C ;②已知三角形两边一对角,求解三角形时,

若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.
2 2 2 (3)余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 b c co s A , co s A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定三角形

2bc

的形状. (4)面积公式: S ? 1 a h a ? 1 a b sin C ? 1 r ( a ? b ? c ) (其中 r 为三角形内切圆半径).如
2 2 2
? ABC

中,若 sin 2 A cos 2 B ? cos 2 A sin 2 B ? sin 2 C ,判断 ? ABC 的形状(答:直角三角形) 。 特别提醒: 1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A ? B ? C ? ? 这个特殊性: (
A?B 2 ? co s C 2

A ? B ? ? ? C , sin ( A ? B ) ? sin C , sin

; (2) 求解三角形中含有边角混合关系的问题

时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如 ? (1)? A B C 中, B 的对边分别是 a、 b , A 6 ? ,a 6 ,b4 ? , A、 且 =0 那么满足条件的 ? A B C A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 (答:C) ; (2)在 ? A B C 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件 (答:充要) ; (3)在 ? A B C 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 lo g 2 sin C =_____ (答: ?
1 2

) ;

, (4) 在 ? A B C 中 , a , b 分 c别 是 角 A 、 B 、 C ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sin C ) ? 3 a sin B ,则 ? C =____

所 对 的 边 , 若 (答: 6 0 ? ) ;

(5)在 ? A B C 中,若其面积 S ?

a ?b ?c
2 2

2

,则 ? C =____

4 3

(答: 30 ? ) ; ? (6)在 ? A B C 中, A ? 6 0 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ? A B C 外接圆的直径是 _______ (答: (7)在△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, a ? 3 , co s A ?
b ?c
2 2

2 39

) ; ,

1 3

, 则 co s

2

3 B?C
2

=

的最大值为 (答: ; ) ;
3 2 1 9

(8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 (答: 0 ? C ?
?
6

) ;

(9)设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ? C ? 7 5 ? ,且 ? A O B , ? B O C , ? C O A 的面积满足 关系式 S ? A O B ? S ? B O C ? 3 S ? C O A ,求 ? A ( 答: 4 5 ? ) . 19.反三角函数: (1)反三角函数的定义(以反正弦函数为例) arcsin a 表示一个角,这 : 个角的正弦值为 a ,且这个角在 ? ?
? ? ? ? , ? ? 2 2?
,

内 ( ? 1 ? a ? 1) 。(2)反正弦 arcsin x 、反余弦 arccos x 、
], [ 0 , ? ], ( ?

反正切 arctan x 的取值范围分别是 [ ? ?
2

?
2

? ?
, 2 2

).

在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的 倾斜角、 l1 到 l 2 的角、 l1 与 l 2 的夹角以及两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围?
(0,

?
2

], [0,

?
2

], [0, ? ] , ?0 , ?

?,

[0, ? ), [0,

?
2

), [0, ? ] .

20、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择, 其标准有二: 一是此三角函数在角的范围内具有单调性; 二是根据条件易求出此三角函数值) 。 如 (1) ? , ? ? (0, ? ) , tan ? 、tan ? 是方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根, 若 且 则求 ? ? ? 的值______ (答: (2) ? A B C 中, 3 sin A ? 4 cos B ? 6, 4 sin B ? 3 cos A ? 1 ,则 ? C =_______ (答: 值 (答:
2? 3 3? 4

) ;

?
3

) ;

(3)若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ? 的 ).


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