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高中数学 第三章三角恒等变换§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案 新人教A版必修4

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒 等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? .
这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢? 提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这对我们解决今天 的问题有帮助吗? 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? ?? ? ? ?? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ? ?? 2 ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ? .
sin ?? ? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生动手)

tan ?? ? ? ? ?

sin ?? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . ? cos ?? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢?(分式分子、分母 同时除以 cos ? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?
? k? (k ? z )

注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

用心

爱心

专心

-1-

tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ?? ??
注意: ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z ) .

(二)例题讲解 例 1、已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin ?

3 5

?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ,cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 4? ?4 ? ?4 ? ?
2

解:因为 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,得 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ?

3 5

? 3? ? 5?

2

4 , 5

3 sin ? 3 tan ? ? ? 5 ?? , 4 cos ? 4 5 ?
于是有 sin ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? ? ?? ? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? cos ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?
两结果一样,我们能否用第一章知识证明?

? 3 ? ?1 ? ? tan ? ? tan 4 ? 4 tan ? ? ? ? ? ? ? ?7 ? 3? 4 ? ? ? 1 ? tan ? tan 1? ? ? ? 4 ? 4?
例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)、 sin 72 cos 42 ? cos72 sin 42 ;(2)、 cos 20 cos70 ?sin 20 sin 70 ;(3)、

1 ? tan15 . 1 ? tan15
解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、 余弦和正切公式中哪个相象. (1)、 sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ?sin 72 ?42 (2)、 cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70 ?cos 20 ?70

?

? ?sin 30
? ?cos 90

?

1 ; 2

?

?0 ;

用心

爱心

专心

-2-

(3)、

1 ? tan15 tan 45 ? tan15 ? ? tan ? 45 ?15 ? ? tan 60 ? 3 . 1 ? tan15 1 ? tan 45 tan15

例 3、化简 2 cos x ? 6 sin x 解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢?

?1 ? 3 2 cos x ? 6 sin x ? 2 2 ? ? 2 cos x ? 2 sin x ? ? ? 2 2 ? sin 30 cos x ? cos 30 sin x ? ? 2 2 sin ? 30 ? x ? ? ?
思考: 2 2 是怎么得到的? 2 2 ?

? 2? ?? 6?
2

2

,我们是构造一个叫使它的正、余弦分

别等于

1 3 和 的. 2 2

小结:本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中 要善于发现规律,学会灵活运用. 作业: 1、 已知 tan ?? ? ? ? ?

3 2 ?? 1 ?? ? ? , tan ? ? ? ? ? , 求 tan ? ? ? ? 的值.( ) 22 5 4? 4 4? ? ?

2、 已知 0 ? ? ? 值.

?
4

?? ?

??

3? ?? ? 3 ? 3? ? 5 , cos? ?? ? ? , sin? ? ? ? ? ,求 sin ?? ? ? ? 的 4 ?4 ? 5 ? 4 ? 13

用心

爱心

专心

-3-