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天津市2013届高三数学总复习之综合专题:利用导数研究函数零点或方程实数根(教师版)


导数在研究函数中的应用 5——利用导数研究函数零点或方程实数根 1、设函数 f ( x) ? x 3 ? 6 x ? 5, x ? R 。 (1)求 f (x) 的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围; (3)已知当 x ? (1,??)时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围。 解: (1) f ?( x) ? 3( x 2 ? 2),令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ? 2, x2 ? 2 ∴当 x ? ? 2或x ? 2时f ?( x) ? 0,当 ? 2 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0 , ∴ f (x) 的单调递增区间是 (??,? 2 )及( 2 ,??) ,单调递减区间是 (? 2 , 2 ) 当 x ? ? 2, f ( x)有极大值 ? 4 2 ;当 x ? 2, f ( x)有极小值 ? 4 2 ; 5 5 (2)由(1)的分析可知 y ? f (x) 图象的大致形状及走向(图略) ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时, 直线y ? a与y ? f ( x) 的图象有 3 个不同交点, 即方程 f (x) ? ? 有三解; (3) f ( x) ? k ( x ? 1)即( x ? 1)(x 2 ? x ? 5) ? k ( x ? 1) ∵ x ? 1,? k ? x 2 ? x ? 5在(1,??) 上恒成立 令 g ( x) ? x 2 ? x ? 5 ,由二次函数的性质, g ( x)在(1,??) 上是增函数, ∴ g ( x) ? g (1) ? ?3, ∴所求 k 的取值范围是 k ? ?3 。 2、已知函数 f ( x) ? x2 ? 8ln x , g ( x) ? ? x 2 ? 14 x 。 (1)求函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 与 g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,试求实数 m 的值。

8 解: (1)因为 f ?( x) ? 2 x ? ,所以切线的斜率 k ? f ?(1) ? ?6 x
又 f (1) ? 1 ,故所求切线方程为 y ? 1 ? ?6( x ? 1) ,即 y ? ?6 x ? 7 。 (2)因为 f ?( x) ?

2( x ? 2)( x ? 2) ,又 x ? 0 ,所以当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ; x
-1-

当 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 (2, ??) 上递增,在 (0,2) 上递减, 又 g ( x) ? ?( x ? 7)2 ? 49 ,所以 g ( x) 在 (??, 7) 上递增,在 (7, ??) 上递减

? a?2 欲 f ( x) 与 g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数,则 ? ,解得 2 ? a ? 6 ?a ? 1 ? 7
(3)原方程等价于 2 x 2 ? 8ln x ? 14 x ? m , 令 h( x) ? 2x2 ? 8ln x ?14x ,则原方程即为 h( x) ? m 。 因为当 x ? 0 时原方程有唯一解,所以函数 y ? h( x) 与 y ? m 的图象在 y 轴右侧有唯一的交点又
h?( x) ? 4 x ? 8 2( x ? 4)(2 x ? 1) ? 14 ? ,且 x ? 0 , x x

所以当 x ? 4 时, h?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 4 时, h?( x) ? 0 。 即 h( x) 在 (4, ??) 上递增,在 (0,4) 上递减。故 h( x) 在 x ? 4 处取得最小值,从而当 x ? 0 时原方 程有唯一解的充要条件是 m ? h(4) ? ?16ln 2 ? 24 。 3、已知函数 f ( x) ? x2 ? b sin x ? 2(b ? R), F ( x) ? f ( x) ? 2, 且对于任意实数 x , 恒有 F ( x) ? F (? x) ? 0. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)已知函数 g ( x) ? f ( x) ? 2( x ? 1) ? a ln x 在区间 (0,1) 上单调递减,求实数 a 的 取值范围; (3)函数 h( x) ? ln(1 ? x 2 ) ?
1 f ( x) ? k 有几个零点? 2

解: (1)? F ( x) ? f ( x) ? 2 ? x2 ? b sin x ? 2 ? 2 ? x2 ? b sin x , 依题意,对任意实数 x ,恒有 F ( x) ? F (? x) ? 0. 即 x2 ? b sin x ? (? x)2 ? b sin(? x) ? 0, 即 2b sin x ? 0 , b ? 0 ,所以 f ( x) ? x2 ? 2 ; (2)? g ( x) ? x2 ? 2 ? 2( x ? 1) ? a ln x, ? g ( x) ? x2 ? 2x ? a ln x, g ' ( x) ? 2 x ? 2 ?
? 函数 g ( x) 在 (0,1) 上单调递减,? 在区间 (0,1) , g ' ( x) ? 2 x ? 2 ?
a , x

a 2 x2 ? 2x ? a ? ? 0 恒成立, x x

? a ? ?(2 x2 ? 2 x) 在 (0,1) 上恒成立,? 而 ?(2 x2 ? 2 x) 在 (0,1) 上单调递减,? a ? ?4 为所求;
-2-

(3)? h( x) ? ln(1 ? x 2 ) ? 令 h' ( x) ?

1 2x 1 ?x f ( x) ? k = ln(1 ? x 2 ) ? x 2 ? 1 ? k ? h ' ( x) ? 2 1 ? x2 2 ,

2x ? x ? 0,,解得 x ? 0, ?1,1 , ?1,1 1 ? x2

? 当 x ? ?1 时, h' ( x) ? 0, 当 ?1 ? x ? 0 时, h' ( x) ? 0,

当 0 ? x ? 1 时, h' ( x) ? 0, 当 x ? 1 时, h' ( x) ? 0,
? h( x) 极大值 ? h(?1) ? ln 2 ? 1 ? k ?h( x)极小值 ? h(0) ? 1 ? k 2 ,

所以,①当 k ? ln 2 ? 或 k ? ln 2 ?

1 1 时,函数没有零点;②当 1 ? k ? ln 2 ? 时,函数有四个零点;③当 k ? 1 2 2

1 时,函数有两个零点;④当 k ? 1 时,函数有三个零点。 2 1 4、设函数 f ? x ? ? ? x3 ? x 2 ? ? m 2 ? 1? x ? x ? R ? ,其中 m ? 0 。 3

(1)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线的斜率;1 (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值; (3) 已知函数 f ? x ? 有三个互不相同的零点 0, x1 , x2 , x1 ? x2 , 且 若对任意的 x ?? x1, x2 ? , f ? x ? ? f ?1? 恒成立,求 m 的取值范围。
1 解: (1)当 m ? 1 时, f ? x ? ? ? x3 ? x 2 , f ? ? x ? ? ? x 2 ? 2 x ,故 f ? ?1? ? 1 。 3

所以,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线的斜率为 1。 (2) f ? ? x ? ? ?x2 ? 2x ? m2 ?1 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 1 ? m或x ? 1 ? m 。 因为 m ? 0 ,所以, 1 ? m ? 1 ? m 。 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

所以 f ? x ? 在区间 ? ??,1 ? m? , ?1 ? m, ??? 内是减函数,在 ?1 ? m,1 ? m? 内是增函数;
-3-

2 1 函数 f ? x ? 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f ?1 ? m ? ? ? m3 ? m 2 ? ; 3 3 2 3 1 函数 f ? x ? 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f ?1 ? m ? ? m ? m2 ? 。 3 3

1 ? 1 ? (3)由题设, f ? x ? ? x ? ? x 2 ? x ? m2 ? 1? ? ? x ? x ? x1 ?? x ? x2 ? , 3 ? 3 ?
1 所以,方程 ? x 2 ? x ? m 2 ? 1 ? 0 ,有两个相异实根 x1 , x2 ,故 x1 ? x2 ? 3 , 3 1 4 ? ? 1 ? ? m 2 ? 1? ? 0 ,由 m ? 0 解得 m ? 。 2 3 3 因为 x1 ? x2 ,所以 2 x2 ? x1 ? x2 ? 3 ,故 x2 ? ? 1 。 2 1 如果 x1 ? 1 ? x2 ,则 f ?1? ? ? ?1 ? x1 ??1 ? x2 ? ? 0 ,而 f ? x1 ? ? 0 ,不合题意; 3

如果 1 ? x1 ? x2 ,对任意的 x ?? x1 , x2 ? ,有 x ? 0, x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0 ,
1 则 f ? x ? ? ? x ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? 0 ,又 f ? x1 ? ? 0 , 3

所以, f ? x ? 在 ? x1 , x2 ? 上的最小值为 0 ,于是对任意的 x ?? x1 , x2 ? , f ? x ? ? f ?1? 恒成立的充要
1 3 3 ?m? 条件是 f ? x ?min ? f ?1? ,即 f ?1? ? m 2 ? ? 0 ,解得 ? 。 3 3 3

注意到 m ?

?1 3? 1 ,于是 m 的取值范围是 ? , ? 2 3 ?。 ? 2 ? ?

5、已知函数 f ( x) ? 4x3 ? 3tx2 ? 6t 2 x ? t ?1, x ? R ,其中 t ? R 。 (1)当 t ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 t ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (3)证明:对任意 t ? (0,??) , f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点。

-4-

-5-

6、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ax2 , x ? 0. ( f ( x) 的图像连续不断) (1)求 f ( x) 的单调区间;
1 3 (2)当 a ? 时,证明:存在 x0 ? (2, ??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) ; 8 2

(3)若存在均属于区间 ?1,3? 的 ? , ? ,且 ? ? ? ? 1,使 f (? ) ? f (? ) ,证明

ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? 。 5 3

-6-


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