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直线方程几种形式的选择

例谈直线方程几种形式的选择
在求直线方程时,最后结果要用一般式表示。但在开始设直线方程时选用四种形式(点 斜式、斜截式、两点式、截距式)中的哪一种好呢,则要根据题设和结论的关系进行选择。 本文准备通过事例来说明。 1。已知斜率时,可设斜截式 。已知斜率时, 例 1 求斜率为 3 ,且与坐标轴围成的三角形周长是 12 的直线 L 的方程。 4 解:设直线 L 的方程为 y =
3 4

x+b

令 x=0 得 y=b;令 y=0 得 x = ? 4 b 。 3 ∴|b|+ | ? 4 b | + | 5 b |= 12 ,∴b=±4,∴直线 L 的方程为 y = 3 3
3 4

x ± 4。

点评:在斜率已知的情况下,直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式,其中的 b 表示直线在 y 轴上的截距。 2。已知直线过一点时,可设点斜式 。已知直线过一点时, ,且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点。当|PA|?|PB| 例 2 直线 L 过点 P(2,3) 最小时,求直线 L 的方程。
3 思路 1:引进斜率,设 L 方程为 y-3=k(x-2) (k<0),则 A ( 2 ? k ,0) ,B(0,3-2k) 。因此

|PA|?|PB|= ( k92 + 9)( 4 + 4k ) ≥ 12 ,所以当 k= -1 时|PA|?|PB|取最小值 12, 此时直线 L 的方
2

程为 x+y-5=0。
3 思路 2:设 L 倾斜角为 α(α 为钝角) ,将其补角记为 θ(θ 为锐角) 。则|PA|= sin θ , 2 |PB|= cos θ ,∴|PA|?|PB|= sin θ6cos θ = 12 sin 2θ

≥ 12 ,因此当 θ=450,即斜率 k= -1 时|PA|?|PB|取最

小值 12,此时直线 L 的方程为 x+y-5=0。 点评:设了点斜式后,常常需要求出直线在 x 轴和 y 轴上的截距,然后解题。 3。与截距相关问题,可设截距式 。与截距相关问题, ,且在 x 轴、y 轴上的截距之比为 1:2,求直线 L 的方程。 例 3 直线 L 过点 P(4,3)
x 解:设直线 L 方程为: a + y 2a

= 1,
11 2

将点 P(4,3)代入直线方程得, a =



∴直线 L 的方程为:2x+y-11=0。 点评:截距式与直线在 x 轴和 y 轴上的截距相关,结合不等式知识解题。像上面的例 2 也可以考虑利用设直线的截距式来解,请大家试试看。 4。适时应用“两点确定一条直线” 。适时应用“两点确定一条直线” B(x 例 4 若 2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则经过两点 A(x1,y1)、 2,y2)的直线方程为_____________。 分析:由条件知,点 A、B 都在直线 2x-3y=4 上,而两点确定一条直线,故可得直线 AB 的方程即为 2x-3y-4=0。本题可看作直线方程“两点式”的变式。 例 5 过点 M(0,1)作直线 L,使它被两条已知直线 L1:x-3y+10=0 和 L2:2x+y-8=0 所截

1

得的线段 AB 被点 M 平分。求直线 L 的方程。 解:设点 A(a,b)在 L1 上,由题设知,点 B(-a,2-b)必在 L2 上, ∴?

a ? 3b + 10 = 0 ?a = ?4 ∴? 即 A(-4,2) 、B(4,0) ?? 2 a + ( 2 ? b ) ? 8 = 0 ? b = 2 ?

根据两点式可得,直线 AB 方程为:x+4y-4=0。 点评:以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解。 5。用直线方程几种形式,应注意弥补其缺陷 。用直线方程几种形式, 例 6 过点(3,-2)且在两坐标轴上截距相等的直线共有几条?
x 错解:设直线截距式方程为: a + y a

= 1 ,将(3,-2)代入得 a=1,

∴直线方程为:x+y-1=0。 剖析:以上错解忽略了截距式使用的条件——截距不为 0,因而出现了少解。事实上, 当直线过原点时,其在两轴上截距均为 0,也相等,这时设直线方程为 y=kx,易得 k = ? 3 , 2 此时直线方程是 3x+2y=0 。因此共有两条直线符合要求。 例 7 经过点 P(1,2)作直线 L,使它到点 A(-1,-1)的距离为 2。求 L 的方程。 错解:设 L 的方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y+(2-k)=0
5 利用点到直线距离公式解得 k= 12 ,故 L 的方程为 5x-12y+19=0。

剖析:由作图可得有两条直线符合要求。为什么会少解呢?原来直线方程的“点斜式” 只有在直线斜率存在时才适用,还有一条斜率不存在时的直线 x=1 它也符合条件:到 A 点 的距离为 2。因此 L 的方程有两解:5x-12y+19=0 和 x=1。 点评:在直线方程的几种形式中,点斜式和斜截式必须在斜率存在的情况下使用,截 距式必须在截距不为 0 且不与坐标轴平行时使用,两点式表示的直线必须不与坐标轴 平行。

直线形式 点斜式

直线方程

局限性 不能表示与 x 轴垂 直的直线 不能表示与 x 轴垂 直的直线 不能表示与 x 轴、 y 轴垂直的直线 不能表示与x轴垂 直、与y 轴垂直、 过原点的的直线 能表示所有的直线

斜截式

两点式 截距式

一般式

选择条件 已知一个定点和斜率 k 已知一点,可设点斜 式方程 已知在 y 轴上的截距 已知斜率,可设斜截 式方程 已知两个定点 已知两个截距 已知两个截距 已知直线与坐标轴围 成三角形的面积问题 可设截距式方程 求直线方程的最后结 果均可以化为一般式 方程

2


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