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7.2.2加减消元法[野渡横舟】精编


7.2.2解二元一次方程组

—加减消元法

复习
1、解二元一次方程组的基本思路是什么?

一元 基本思路: 消元: 二元 2、用代入法解方程的步骤是什么?
1、将方程组里的一个方程变形,用含有一个未知数的一次式表示 另一个未知数(变形) 2、用这个一次式代替另一个方程中的相应未知数,得到一个一元 一次方程,求得一个未知数的值(代入求解)

3、把这个未知数的值代入一次式,求得另一个未知数的 值(再代求解)
4、写出方程组的解(写解)

例3:解方程组

?3x ? 5 y ? 5 ? ?3x ? 4 y ? 23
还有其他的方法吗?

解方程组: ?3x ? 5 y ? 5 ? ?3x ? 4 y ? 23

① ②

如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?

分析:

?3x ? 5 y ? ? ?3x ? 4 y ? = 5 ? 23
①左边

?

②左边

= ①右边 ? ②右边

解方程组: ?3x ? 5 y ? 5 ? ?3x ? 4 y ? 23 分析:
①左边

① ②

?

②左边 = ①右边

? ②右边

?3x ? 5 y ? ? ?3x ? 4 y ? = 5 ? 23
3x ? 5 y ? 3x ? 4 y ? ?18 9 y ? ?18 y ? ?2
x?5

将y=-2代入①,得 3x ? 5 ? ?? 2? ? 5

解方程组: ?3x ? 5 y ? 5 ? ?3x ? 4 y ? 23

① ②

解:由①-②得: (3x ? 5 y) ? (3x ? 4 y) ? 5 ? 23

将y=-2代入①,得: 3x ? 5 ? ?? 2? ? 5

3x ? 5 y ? 3x ? 4 y ? ?18 9 y ? ?18 y ? ?2 即

3 x ? 10 ? 5 3 x ? 5 ? 10 3x ? 15


x?5

?x ? 5 所以方程组的解是 ? ? y ? ?2

?3x ? 7 y ? 9 例4:解方程组: ?4 x ? 7 y ? 5 ?
用什么方法可以消去一 个未知数?先消去哪一个 比较方便?

分析:可以发现7y与-7y互为 相反数,若把两个方程的左 边与左边相加,右边与右边相 加,就可以消去未知数y

解方程组:

?3x ? 7 y ? 9 ? ?4 x ? 7 y ? 5
3x ? 7 y ? 4 x ? 7 y ? 9 ? 5
7 x ? 14 x?2

① ②

解:由①+②得: ?3x ? 7 y ? ? ?4x ? 7 y ? ? 9 ? 5

将x=2代入①,得: 3 ? 2 ? 7 y ? 9

?x ? 2 所以方程组的解是 ? 3 ? ?y ? 7 ?

6 ? 7y ? 9 7y ? 9?6 7y ? 3 3 y? 7

1:总结:当两个二元一次方程中 同一个未知数的系数相反或相等 时,把两个方程的两边分别相加 或相减,就能消去这个未知数, 得到一个一元一次方程。这种方 法叫做加减消元法,简称加减法。

同减异加

一.填空题:
5x+y=7 1.已知方程组 3x-y=1 两个方程

练 习

分别相加 就可以消去未知数 y 只要两边 4x-3y=5 两个方程 2.已知方程组 4x+6y=14 只要两边 分别相减 就可以消去未知数 x

做一做
二:用加减法解二元一次方程组。 6x+7y=5 ⑴ x=2

6x-7y=19 0.5x-3y=-1

y=-1
x=4 y=1



1 - x+5y=3 2

例5: ?3x ? 4 y ? 10 ? ?5 x ? 6 y ? 42

问题1.这两个方程直接相加减能 消去未知数吗?为什么?
问题2.那么怎样使方程组中某一 未知数系数的绝对值相等呢?

例3:

?3x ? 4 y ? 10 ? ?5 x ? 6 y ? 42
③ ④

步骤:
1、变形

解:①×3,得:9x-12y=30
②×2,得:10x+12y=84 ③十④,得:19x= 114, 所以 x=6 把x=6代入②得: 30+6y=42, y=2

2、加减
3、求解

所以

?x ? 6 ? ?y ? 2

4、写解

用加减消元法来解
练习: ? 3x ? 2 y ? 6

? ?2 x ? 3 y ? 17
?x ? 4 ? ?y ? 3

?4 x - 2 y ? 14 ? ? 5x ? y ? 7
?x ? 2 ? ? y ? -3

通过对比,总结出应选择方程组 中同一未知数系数绝对值的最小 公倍数较小的未知数消元.

你能把我们今天内容小结一下吗? 1、 本节课我们知道了用加减消元法解 二元一次方程组的基本思路仍是“消 元”。主要步骤是:通过两式相加(减) 消去其中一个未知数。 步骤:1、变形,2、加减、 3、求解,4、写解。 2、 把求出的解代入原方程组,可以检 验解题过程是否正确。

上面这些方程组的特点是什么? 解这类方程组基本思路是什么?
1.同一未知数系数相同或互为相反数时 2.同一未知数系数不同时

今有鸡兔同笼,
上有三十五头,

鸡兔同笼

下有九十四足,
问鸡兔各几何?
设笼内有鸡 x 只,兔子 y 只,
? x+y=35, ? ? 2 x+4 y=94 ?

你能解此方程吗?


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