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2010学年度第二学期高二数学期中考试试卷及答案


2010 学年度第二学期高二数学期中考试试卷
一、填空题(每题 3 分,共 36 分) : 1.化简
2 ? 4i (1 ? i )
2

(其中 i 是虚数单位)的结果是 2 ? i 1

2.已知 2 ? ai , b ? i ( a , b ? R ) 是某实系数一元二次方程的两个根,则 a ? b ? 3.设 O 是正方体 ABCD 位置关系是 相交 4.以直线 2 x ? 3 ? 0 为准线的抛物线的标准方程是 y 5.双曲线 x ? y
2 2 2

? A 1 B 1 C 1 D 1 底面 ABCD 的中心,则直线 B 1 O 和 D 1 D 的

? 6x

? 2 的焦点坐标是 ( ? 2 , 0 )

6.已知椭圆

x

2

10 ? m

?

y

2

m ? 2

? 1 的长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m ?

8

7.若直线 a 和平面 ? 相交,则直线 a 和平面 ? 所成角的范围是 ( 0 , 8.设复数 z 满足 z ? 2 ? i ? 1 ,则 z 的最小值为 5 ? 1 9.设 P 是双曲线 x ?
2

?
2

]

y

2

12
PF
1

? 1 上一点, F 1 , F 2 是该双曲线的两个焦点,若

: PF

2

? 3 :2
2

,则 ? PF 1 F 2 的面积是 12 的最大

10.设抛物线 y 值是 3

? 8 x 内一点 P(2,3) ,Q 是抛物线上一点,则 PQ ? QF
2

11.已知复数 z ? a ? bi ( a , b ? R 且 b ? 0 ) ,若 z ? 4 bz 是实数,则有序实数对
( a , b ) 可以是 ( 2 ,1 ) (符合 a ? 2 b 且 b ? 0 即可)

12.对于非零实数 a , b ,以下四个命题都成立:① a ?

1 a

? 0;

2 2 2 2 ② ( a ? b ) ? a ? 2 ab ? b ;③若 a ? b ,则 a ? ? b ;④若 a ? ab ,则 a ? b

那么,对于非零复数 a , b ,仍然成立的命题的序号是 ②④ 二、选择题(每题 4 分,共 16 分) : 13.若复数 z ? ( x ? 1 ) ? ( x ? 1 ) i 为纯虚数,则实数 x 的值为( B
2



高二数学

1

(A) ? 1 (B) ? 1 (C)1 (D)0 14.设 l , m , n 均为直线,其中 m , n 在平面 ? 内,则“ l ? ? ”是“ l ? m 且 l ? n ” 的( A ) (B) 必要非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件
2 2

(A)充分非必要条件 (C)充要条件 15.已知双曲线
x a ? y b
2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,以双曲线的右焦点为圆心,且与双曲

线的渐近线相切的圆的半径是( B ) (A) a (B) b (C) ab (D) a 2 ? b 2

16.如图,过正方体 AC 1 的顶点 A 作平面 A 1 BD 的垂线。垂足为 H,则以下命题 中错误的命题是( D ) B A H C D

(A)点 H 是 ? A 1 BD 的垂心 (B)AH 垂直平面 CB 1 D 1 (C)AH 的延长线经过点 C 1 (D)直线 AH 和 BB 1 所成的角为 45 ?

A1 B1 C1

D1

三、 解答题 (第 17,18 题每题 8 分, 19,20 题每题 10 分, 21 题 12 分, 48 分) 第 第 共 : 17.已知 ? ABC 中的两个顶点是 B ( ? 2 , 0 ), C ( 2 , 0 ) ,AB 与 AC 边所在直线的斜率之 积是
1 2

,求顶点 A 的轨迹。

解:设 A ( x , y )( x ? ? 2 , y ? 0 ) 由题意:
y x ? 2 ? y x ? 2 ?
2

1 2

,? x
2

2

? 2y

2

? 4

所以, 的轨迹方程是 x ? 2 y A 但不包括双曲线的两个顶点。

? 4( x ? ? 2) , 它表示焦点在 x 轴上的双曲线,

高二数学

2

18.已知复数 z 满足 z ?
?b ? a ?a
2

2 ,又 ( 1 ? i ) u ? ( 1 ? i ) z ,而 u 的实部和虚部相等,求 u 。

解:设 z ? a ? bi ( a , b ? R ) ,则 u ? b ? ai 由题意: ?
? b
2

? 2

∴a=b=1 或 a=b=-1

∴ u ? 1 ? i或 u ? ? 1 ? i

19.已知 P 是等边三角形 ABC 所在平面外一点,PA=PB=PC=2, ? ABC 的边长是 3,求 PC 和平面 ABC 所成角的大小。 解:过 P 作平面 ABC 的垂线,设垂足为 O,则 O 是等边 ? ABC 的中心,连接 OC, 则 OC 是 PC 在平面 ABC 上的射影, ? PCO 是 PC 和平面 ABC 所成的角, 在 Rt ? POC 中, CO ?
3 , cos ? PCO ? 3 2 , ? ? PCO ?

?
6

所以,PC 和平面 ABC 所成角大小为

?
6



高二数学

3

20. 已知椭圆 C 以 F1 ? ? 2 , 0 ? , F 2 ? 2 , 0 ? 为焦点且经过点 P ( ?

5 3 , ), 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若斜率为 1 的直线 l 和椭圆 C 相交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆恰好过椭圆 C 的中心,求直线 l 的方程。 解: (1)椭圆 C 的方程为
x
2

?

y 6

2

? 1

10
? y ? x ? t ? 2 2 ? 8x y ? x ? ? 1 ? 10 6 ?

(2)设直线 l 的方程为 y ? x ? t
2

? 10 tx ? 5 t

2

? 30 ? 0

当 ? ? 0 即 ? 4 ? t ? 4 时,直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 A、B, 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?
5t 4 , x1 x2 ? 5t
2

? 30 8

,? y 1 y 2 ?

3t

2

? 30 8

因为以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的中心 O,? AO ? BO
? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,? t ? ? 30 2

所以直线 l 的方程为 x ? y ?

30 2

? 0

21.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点为 F, 是抛物线上横坐标为 4, A 且位于 x 轴 上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 中 点为 M (1)求抛物线的方程; (2)过 M 作 MN ? FA ,垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 T ( t , 0 ) 是 x 轴上的动点时,讨论直线 AT 与 圆 M 的位置关系。
2

解: (1)抛物线方程为 y

2

? 4x

(2) A ( 4 , 4 ), B ( 0 , 4 ), M ( 0 , 2 ) ,直线 AF 方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,直线 MN 方程为
3x ? 4y ? 8 ? 0? N (
2

8 5

,
2

4 5

)

(3)圆 M 方程为 x ? ( y ? 2 ) ? 4 ,直线 AT 方程为 4 x ? ( t ? 4 ) y ? 4 t ? 0 圆心到直线距离为
2t ? 8 16 ? ( t ? 4 )
2

,当 t ? 1 时,直线 AT 与圆 M 相离;当 t ? 1 时,

直线 AT 与圆 M 相切;当 t ? 1 时;直线 AT 与圆 M 相交。
高二数学 4


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