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2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5课件:第四讲 二 用数学归纳法证明不等式_图文

二 用 数 学 归 纳 法 证 明 不 等 式 理解教 材新知 考点一 考点二 第 四 讲 把握热 点考向 应用创 新演练 二 用数学归纳法证明不等式 1.利用数学归纳法证明不等式 在不等关系的证明中,方法多种多样,其中数学归纳法是常 用的方法之一.在运用数学归纳法证明不等式时,由 n=k 成立, 推导 n=k+1 成立时, 常常要与其他方法, 如 比较法 、分析法 、 综合法 、 放缩法 等结合进行. _______ 2.归纳—猜想—证明的思想方法 数学归纳法作为一种重要的证明方法,常常体现在“归纳—猜 想—证明”这一基本思想方法中. 一方面可用数学归纳法证明已有 的与自然数有关的结论;更重要的是,要用不完全归纳法去发现某 些结论、规律并用 数学归纳法 证明其正确性,形成“观察—归纳 —猜想—证明”的思想方法. 利用数学归纳法证明不等式 [例 1] 证明:2n+2>n2,n∈N+. [思路点拨] 验证n=1,2,3 假设n=k成立, n=k+1成 ―→ ―→ 时,不等式成立 推证n=k+1 立,结论得证 [证明] (1)当 n=1 时,左边=21+2=4;右边=1, 左边>右边; 当 n=2 时,左=22+2=6,右=22=4,所以左边>右边; 当 n=3 时,左=23+2=10,右=32=9,所以左边>右边. 因此当 n=1,2,3 时,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥3 且 k∈N+)时,不等式成立. 当 n=k+1 时, 2k 1+2 + =2· 2k+2 =2(2k+2)-2>2k2-2 =k2+2k+1+k2-2k-3 =(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)(因 k≥3,则 k-3≥0, k+1>0)≥k2+2k+1=(k+1)2. 所以 2k 1+2>(k+1)2.故当 n=k+1 时,原不等式也成立. + 根据(1)(2),原不等式对于任何 n∈N 都成立. 数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时,由 n=k 到 n=k+1 时的推证过程与证 明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明 时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到 n=k 时的 假设,所以需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这 是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一. (2) 数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在 一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能 完成证明过程. 1 1 1 5 1. 用数学归纳法证明: + +…+ > (n≥2, n∈N+). 3n 6 n + 1 n+ 2 1 1 1 1 5 证明:(1)当 n=2 时,左边= + + + > ,不等式成立. 3 4 5 6 6 (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立.即 1 1 1 5 + +…+ > .当 n=k+1 时, 3k 6 k+1 k+2 1 1 1 1 1 1 5 + +…+ + + + > 3k 3k+1 3k+2 3?k+1? 6 ?k+1?+1 ?k+1?+2 ? 1 ? 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? 5 ? ? 5 +?3k+1+3k+2+3k+3-k+1?> +?3×3k+3-k+1?= . ? ? 6 ? ? 6 ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,原不等式对一切 n≥2,n∈N+均成立. 2.用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1+ 2+ 2+…+ 2<2-n(n≥2,n∈N+). 2 3 n 1 5 1 3 证明:(1)当 n=2 时,1+ 2= <2- = ,不等式成立. 2 4 2 2 1 1 (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时不等式成立,即 1+ 2+ 2 2 3 1 1 +…+ 2<2-k, k 1 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时,1+ 2+ 2+…+ 2+ <2-k+ 2 3 k ?k+1?2 ?k+1?2 1 1 1 1 1 1 <2-k+ =2-k+k- = 2- ,不等式成立. k?k+1? k+1 k+ 1 由(1)(2)知原不等式在 n≥2,n∈N+时均成立. n?n-1? 2 3.设 Pn=(1+x) ,Qn=1+nx+ x ,n∈N+,x∈(-1,+∞), 2 n 试比较 Pn 与 Qn 的大小,并加以证明. 解:(1)当 n=1,2 时,Pn=Qn. (2)当 n≥3 时,(以下再对 x 进行分类). ①若 x∈(0,+∞),显然有 Pn>Qn. ②若 x=0,则 Pn=Qn. ③若 x∈(-1,0), 则 P3-Q3=x3<0,所以 P3<Q3. P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以 P4<Q4. 假设 Pk<Qk(k≥3), 则 Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk 3 k?k-1?x2 k ? k - 1 ? x =1+kx+ +x+kx2+ 2 2 k?k+1? 2 k?k-1? 3 =1+(k+1)x+ x+ x 2 2 k?k-1? 3 =Qk+1+ x <Qk+1, 2 即当 n=k+1 时,不等式成立. 所以当 n≥3,且 x∈(-1,0)时,Pn<Qn. 归纳—猜想—证明 [例 2] 设 f(n)>0(n∈N+),对任意自然数 n1 和 n2 总有 f(n1+ n2)=f(n1)f(n2),又 f(2)=4. (1)求 f(1),f(3)的值. (2)猜想 f(n)的表达式,并证明你的猜想. [思路点拨] 利用 f(n1+n2)=f(n1)f(n2)可求出 f(1),f(3)再猜 想 f(n),利用数学归纳法给出证明. [解] (1)由于对任意自然数 n1 和 n2, 总有 f(n1+n2)=f(n1)· f(n2). 取 n1=n2=1,得 f(2)=f(1)· f(1),即 f2(1)=4. ∵f(n)>0(n∈N+), ∴f(1)=2. 取 n1=

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