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2.3.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线方程及性质的应用 课件


第2课时 双曲线方程及性质的应用

双 曲 线

性 质

图象

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? 0, b ? 0 ) y x ? 2 ?1 2 a b ( a ? 0, b ? 0 )
2 2

y

x?a
x

x ? ?a
y?a




b 关于 ( ? a , 0 ) y ? ? x a e? c 坐标
轴和 原点 都对 称

y x

y ? ?a

a c2 = a 2 + b2 ) (0,? a ) y ? ? x b

(其 中

a

1.了解双曲线的几何性质,并会应用于实际问
题之中.(重点)

2.会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质
及图形四者之间的内在联系,分析和解决实 际问题.(重点、难点)

探究点1

由双曲线的性质求双曲线方程

【例1】 双曲线型冷却塔的外形 , 是双曲线的一部分绕 其 虚轴旋转所成的曲面 (如图),它的最小半 径 为 12 m, 上 口半径为 13 m , 下口半径为25 m, 高为55 m.试选择适当的坐 标系 , 求出此双曲线的方程 (精确到 1 m ).

y

解 : 如图 , 建立冷却塔的轴截面所在 平面的直角坐标系 xOy, 使小圆的直 径 AA ?在 x轴上 ,圆心 与原点重合 .

C'
A' O

13
12

C
A

x

这时 , 上、下口的直径 CC?, BB ? 都平行 B' 25 B 于 x 轴 , 且 | CC? |? 13 ? 2,| BB ? |? 25 ? 2. x2 y 2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? , 令点 C的 a b 坐标为(13, y ),则点 B的坐标为(25, y ? 55) .

因 为 点 B, C 在 双 曲 线 上 , 所 以

? 252 ? y ? 55 ? 2 ? 2? ? 1, (1) 2 ? 12 b ? 2 2 ? 13 y ? 2 ?1. (2) 2 ? ? 12 b 5b 由方程 ? 2 ? , 得 y ? 负值舍去 ? , ? 12 代入方程(1),得 2 ? 5b ? ? 55 ? ? 2 25 ? 12 ? ? ? 1, 2 2 12 b 化简得19b 2 ? 275b ? 18150 ? 0.

y

C'

13
12

C
A

' O A
B'

x

25

B

(3)

用 计 算 器 解 方 程 ( 3) , 得 b ? 25 . x2 y2 所以, 所求双曲线的方程为 ? ? 1. 144 625 【提升总结】
已知双曲线的几何性质,求其标准方程的方法步骤: (1)确定焦点所在的位置,以确定双曲线方程的形式; (2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c; (3)写出标准方程.

【例2】点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定 16 5 直线 l : x ? 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹. 5 4 y l d 解: 设d是点M到直线l的距离,根 H .M

据题意,所求轨迹就是集合
? | MF | P ? ?M ? d ?
由此得

5? ?, 4?

.

O

.

F

x

9 x 2 ? 16 y ? 144 .

(x ? 5)2 ? y 2 5 ? . 将上式两边平方,并化简,得 16 4 | ?x| 2 2 5 x y 2



16

?

9

? 1.

所以点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8, 6的双曲线 .

【提升总结】 双曲线中应注意的几个问题: (1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线; (2) 双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特 有的; (3)双曲线只有两个顶点,离心率e>1;
(4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线,其离心率为 2,实轴长与虚轴长相等,两条渐近线互相垂直;

(5)注意双曲线中a,b,c,e的等量关系与椭圆中a, b,c,e的不同.

探究点2 直线与双曲线的位置关系
Y

O

X

种类: 相离; 相切; 相交(一个交点, 两个交点)

【提升总结】

直线与双曲线的位置关系: 通法 1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与双曲线的方程, 消元得到一元二次方程(当二次项系数不为0时) (1)△>0?直线与双曲线相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与双曲线相切?有且只有一个 公共点; (3)△<0 ?直线与双曲线相离?无公共点.

x2 y 2 【例3】如图,过双曲线 ? ? 1的右焦点F2 , 倾斜角 3 6 为30?的直线交双曲线于A, B两点,求 AB . y
解:由双曲线的方程得,两焦点

分别为F1(-3,0),F2(3,0).
且直线经过右焦点F2,所以,直 线AB的方程为

因为直线AB的倾斜角是30°, F1

·
A

O

B F2 x

·

3 y? (x ? 3). 3

(1)



? 3 y? (x ? 3), ? ? 3 ? 2 2 ? x ? y ? 1, ? 6 ? 3

消 去 y, 得

5 x 2 ? 6 x ? 27 ? 0 .

9 解这个方程,得 x1 ? ? 3, x 2 ? . 5 2 3 将 x1 , x 2的值代入(1),得 y 1 ? ? 2 3 , y 2 ? ? . 5 9 2 3 于是, A, B 两点的坐标分别为( ? 3, ? 2 3 ), ( , ? ). 5 5

所以, AB ? (x1 ? x 2 ) 2 ? (y 1 ? y 2 ) 2
9 2 2 3 2 ? ( ?3 ? ) ? ( ?2 3 ? ) 5 5 16 ? 3. 5

【提升总结】

算一算, 看结果一 样吗?

这里我们也可以利用弦长公式求解. 弦长公式:AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2

? 1 ? k ? (x1 ? x 2 ) ? 4x1x 2,
2 2

或 AB ?

1 1 ? 2 ? (y1 ? y 2 ) 2 ? 4y1 y 2 . k

【变式练习】

你 能 求 出 ? AF1B 的 周 长 吗 ?
解析:因为F1的坐标是(-3,0),所以
AF1 ? ( ?3 ? 3)2 ? ( ?2 3 ) 2 ? 2 3; 9 2 3 2 14 2 BF1 ? ( ? 3) ? ( ? ) ? 3. 5 5 5 16 又 AB ? 3 , 所以 5

? AF1B的周长是 AB ? AF1 ? BF1 ? 8 3 .

x2 y 2 ? ?1 1. (2013·陕西高考)双曲线 16 m 的离心
5 率为 4 , 则 m 等于

9

.

2.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,点
F1是另一个焦点,若∠PF1Q=90°,则双曲线的离

2 ?1 . 心率等于________

x2 y2 3.经过点 M(2 6,-2 6)且与双曲线 4 - 3 =1 有相同渐 近线的双曲线方程是 x2 y2 A. - =1 6 8 y x C. - =1 6 8
2 2

( C ) y2 x2 B. - =1 8 6 x y D. - =1 8 6
2 2

4 .求一条渐近线方程是 3x + 4y = 0 ,一个焦点是 (4,0) 的双曲线标准方程.

解析:因为双曲线的一条渐近线方程为3x+4y=0,
所以设双曲线的方程为 - =λ, 16 9

x2

y2

16 由题意知λ>0,所以 16λ+9λ=16,所以λ= . 25 所以所求的双曲线标准方程为

x

2

256 25



y

2

144 25

=1.

1.双曲线的简单几何性质,利用性质求方程, 解决与性质相关的综合性问题; 2.掌握直线与双曲线的位置关系及弦长公式.

泪水和汗水的化学成分相似,但前者 只能为你换来同情,后者却可以为你赢得 成功.


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