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2.1认识一元二次方程(一)PPT课件_图文

问题(1)要设计一座高2m的人体雕像,使雕像的上 部 ( 腰以上 ) 与下部 ( 腰以下 ) 的高度比 , 等于下部与 全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?
A C

?

分析:雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:

2-x

AC BC 2 ? 2 AC ? 即 BC BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
B

x

x ? 2(2 ? x) 整理得 x2 ? 2 x ? 4 ? 0
2

问题 (2) 有一块矩形铁皮 , 长 100㎝, 宽 50㎝, 在它的 四角各切去一个正方形 ,然后将四周突出部分折起 , 就能制作一个无盖方盒 , 如果要制作的方盒的底面 积为3600平方厘米 ,那么铁皮各角应切去多大的正 方形?
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽 x 为 (50-2x)cm . 根据方盒的底面积为3600cm2, 得 (100 ? 2 x)(50 ? 2 x) ? 3600 即

?

3600
100㎝

50㎝

x2 ? 75 x ? 350 ? 0

问题(3) 要组织一次排球邀请赛 ,参赛的每两队之 间都要比赛一场 ,根据场地和时间等条件 ,赛程计划 安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少 个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛

1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x( x ? 1) ? 28 场. 2


x ? x ? 56
2

方程① ② ③有什么特点?

x2+2x-4=0 x2-75x+350=0

x ? x ? 56
2

① ② ③

(1)这些方程的两边都是整式 (2)方程中只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.

一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 ? bx 的形式 ,我们把 ?c ?0 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0,b,c可以为零吗?

a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)

二次项系数

一次项系数

为什么要限制a≠0,b,c可以为零 吗?
当a=0时 当a≠0,b=0时 当a≠0,c=0时 当a≠0,b=0,c=0时 bx+c=0 ax2+c=0 ax2+bx=0 ax2=0

例题1
下列方程中哪些是一元二次方程?

(1) x ? 2 x ? 5 ? 0 (2)4 x ? 3 y ?1 ? 0
2
2

(3)ax ? bx ? c ? 0
2
2

(4) x( x ? 1) ? 2 ? 0

1 2 (6)(m ? 2) ? 1 (5)a ? ? 0 a (1) ( 4) (6) 是一元二次方程的有:

练习
把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式,并写出它的二次 项系数,一次项系数及常数项。 解 去括号,得 3x2-3x=2x-4-4 移项,合并同类项,得方程的一般形式: 3x2-5x+8=0 它的二次项系数是3, 一次项系数是-5, 常数项是8

完成P48随堂练习2、P49习题2

例题2

例题讲解

? 方程(2a—4)x2 —2bx+a=0, 在什么条 件下此方程为一元二次方程?在什么条 件下此方程为一元一次方程?

解:当a≠2时是一元二次方程;当a =2,b≠0时是一元一次方程;

判断:当未知数的值x=-1或x=0时,方程x?-2=x的两
边是否相等。 解:当x=-1时,左边=(-1)?-2=1-2=-1 因为:左边=右边 所以x=-1是方程的解。 当x=0时,左边=0?-2=-2 右边=0 右边=-1

因为:左边≠右边
所以x=0不是方程的解。 一元二次方程的解:能使一元二次方程两边相等 的未知数的值叫一元二次方程的解或根。

例3

已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+

3x-5m+4=0有一根为2,求m。 分析:一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

思考:
? ? ? ? 你能否说出下列方程的解 (根) ? 2 1) 3x ? 36 ? 0 2 2) x ? 36 ? 0 3) ( x ? 6)2 ? 0

随堂练习
1.当m=-----时,方程x2+(m+1)x+m+1 =0有解x=0

2.下面哪些数是方程 x ? x ? 6 ? 0 的根? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2

3.你能写出方程

x ?x?0
2

的根吗?

4)根据下表的对应值 , 试判断一元二次

? 方程 ax ? bx ? c ? 0的一解的范围是 ?C
2

x
ax2 ? bx ? c

3.23 -0.06

3.24 -0.02

3.25 0.03

3.26 0.07

A 3<x <3.23 C 3.24<x <3.25

B 3.23<x <3.24 D 3.25<x <3.26

本课小结: 1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的整式方程,叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为

ax ? bx ? c ? 0 (a≠0),
2

一元二次方程的项及系数 3.一元二次方程的解的概念

1)若a ? b ? c ? 0, 则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0必有一解为 1 . 2)若a ? b ? c ? 0, 则一元二次方程
2

ax ? bx ? c ? 0必有一解为 .
2

-1

3)若4a ? 2b ? c ? 0, 则一元二次方程
2 . ax ? bx ? c ? 0必有一解为
2

练一练
1.方程(m-1)x2+mx+1=0为关于x的一元二次方程

则m的值为___
A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1

2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是
A ax2+bx+c=0 B mx2+x-m2=0

C (m+1)x2=(m+1)2

D

(m2+1) x2-m2=0

3、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根:

(1)x2-3x+2=0

(x1=1 x2=2 x3=3)

练一练
4、构造一个一元二次方程,要求: (1)常数项为零;(2)有一根为2。 5、已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一

个根是3,求a的值。

综合提升

1.关于x的方程

(m ? 3) x ? nx ? m ? 0
2

在什么条件下是一元二次方程? 在什么条件下是一元一次方程? 2. 关于x的方程(2m2+m-3)xm+1+5x=13 可能 是一元二次方程吗? 3.若方程kx3-(x-1)2=3(k-2)x3+1是关于x的一元 二次方程,则k=___ 4.a为何值关于x的方程(3a+1)x2+6ax-3=0是一元 二次方程? 5.K为何值方程(k2-9)x2+(k-5)x+3=0不是关于x 的一元二次方程

1)已知关于x的一元二次方程

? 则a的值为? B

( a ? 1) x ? x ? a ? 1 ? 0,的一根是0
2 2

A.1 B.-1 C.1或-1 D.0
( 2)关于x的一元二次方程 ( m ? 2) x ? 3m x ? m ? 4 ? 0
2 2 2 2






有一根为 0, 则2m ? 4m ? 3
2



的值为多少? (3)已知m, n都是方程x 2 ? 2006x ? 2008? 0

的根, 试求(m ? 2006m ? 2007)(n ? 2006n
2 2

? 2007)的值.


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