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江西省新干二中高三数学下学期第一次夜模测试卷试题 理 新人教A版【会员独享】

新干二中高三年级第一次夜模考试 数 学(理)

2012.3.7 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分. 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡 上作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式: 1 锥体体积公式 V= Sh,其中 S 为底面积,h 为高. 3 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 z= 在复平面上对应的点位于 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.函数 y= x -1 的图像关于 x 轴对称的图像大致是
1 2

i

D.第四象限

3.函数 y=

1

x2-4

的定义域为 M,N={x|log2(x-1)<1},则如图所示阴影部分所表示

的集合是 A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} π 1 2 4.若 α ∈(0, ),且 sin α +cos 2α = ,则 tan α 的值等 2 4 于 2 3 A. B. C. 2 D. 3 2 3 5.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S3=10,则 S11 的值为 A.12 B.18 C.22 D.44

6.某项测试成绩满分为 10 分, 现随机抽取 30 名学生参加测试, 得分 如图所示, 假设得分值的中位数为 me, - 平均值为 x ,众数为 mo,则 - A.me=mo= x - B.me=mo< x - C.me<m0< x - D.mo<me< x 7.程序框图,如图所示,

已知曲线 E 的方程为 ax +by =ab(a,b∈R),若该程序输出的结果为 s,则 A.当 s=1 时,E 是椭圆 B.当 s=-1 时,E 是双曲线 C.当 s=0 时,E 是抛物线 D.当 s=0 时,E 是一个点 8.已知 a、b、c 是三条不同的直线,命题“a∥b 且 a⊥c? b⊥c”是正确的,如果把 a、 b、c 中的两个或三个换成平面,在所得的命题中,真命题有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 1 x 9.已知函数 f(x)=|lg(x-1)|-( ) 有两个零点 x1,x2,则有 3 A.x1x2<1 B.x1x2<x1+x2 C.x1x2=x1+x2 D.x1x2>x1+x2 14 3 10.已知△ABC 外接圆半径 R= ,且∠ABC=120°,BC=10,边 BC 在 x 轴上且 y 3 轴垂直平分 BC 边,则过点 A 且以 B,C 为焦点的双曲线方程为 A. - =1 16 9

2

2

x2

y2

B. - =1 9 16

x2

y2

C. - =1 100 75

x2

y2

D.

- =1 75 100

x2

y2

第Ⅱ卷 注意事项: 第Ⅱ卷共 2 页, 须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答, 若在试题上作答, 答案无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 2 11.若“x -2x-8>0”是“x<m”的必要不充分条件,则 m 最大值为________. x 2 n 2 2 12.设 n= 6sinxdx,则二项式(x- ) 的展开式中,x 项的系数为________.

?

0

x

13.已知关于 x 的方程 x +2px-(q -2)=0(p,q∈R)无实根,则 p+q 的取值范围是 ________. 2 14. 在区间[-6,6]内任取一个元素 x0, 抛物线 x =4y 在 x=x0 处的切线的倾斜角为 α , π 3π 则 α ∈[ , ]的概率为________. 4 4

2

2

三、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅计 分,本题共 5 分. 15.(1)(不等式选讲选做题)若关于 x 的不等式|x-1|+|x+m|>3 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是________. 2 ?x=8t ? (2)(坐标系与参数方程选做题)已知抛物线 C1 的参数方程为? (t 为参数),圆 ?y=8t ?

C2 的极坐标方程为 ρ =r(r>0),若斜率为 1 的直线经过抛物线 C1 的焦点,且与圆 C2 相切, 则 r=________.
四、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 p=(-cos 2x,a),q=(a,2- 3sin 2x),函数 f(x)=p·q-5(a∈R,a≠0) (1)求函数 f(x)(x∈R)的值域; (2)当 a=2 时,若对任意的 t∈R,函数 y=f(x),x∈(t,t+b]的图像与直线 y=-1 有且仅有两个不同的交点,试确定 b 的值(不必证明),并求函数 y=f(x)的在[0,b]上单调 递增区间.

17.(本小题满分 12 分) 已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和 S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 * (2)设 Tn 为数列{ }的前 n 项和,若 Tn≤λ an+1 对? n∈N 恒成立,求实数 λ 的最小

anan+1

值.

18.(本小题满分 12 分) 南昌市教育局组织中学生足球比赛,共有实力相当的 8 支代表队(含有一中代表队,二 中代表队)参加比赛,比赛规则如下: 第一轮:抽签分成四组,每组两队进行比赛,胜队进入第二轮,第二轮:将四队分成两 组,每组两队进行比赛,胜队进入第三轮,第三轮:两队进行决赛,胜队获得冠军。 现记 ξ =0 表示整个比赛中一中代表队与二中代表队没有相遇,ξ =i 表示恰好在第 i 轮比赛时一中代表队,二中代表队相遇(i=1,2,3). (1)求 ξ 的分布列; (2)求 Eξ .

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 边 BC、CD 的中点,EF 与 AC 交于点 O,PA,NC 都 垂直于平面 ABCD,且 PA=AB=4,NC=2,M 是线段 PA 上的一动点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 NEF; (2)若 PC∥ 平面 MEF,试求 PM∶MA 的值; (3)当 M 的是 PA 中点时,求二面角 M-EF-N 的余弦值.

20.(本小题满分 13 分) 1 3 椭圆 E 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 .点 P(1, )、A、B 在椭圆 E 上, 2 2 → → → 且PA+PB=mOP(m∈R). (1)求椭圆 E 的方程及直线 AB 的斜率; (2)求证:当△PAB 的面积取得最大值时,原点 O 是△PAB 的重心.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=

mx
2

x +n

(m,n∈R)在 x=1 处取到极值 2.

(1)求 f(x)的解析式; 1 1 (2)设函数 g(x)=ax-lnx.若对任意的 x1∈[ ,2],总存在唯一的 ...x2∈[e2,e](e 为自 2 然对数的底),使得 g(x2)=f(x1),求实数 a 的取值范围. 高三第一次夜模测试卷数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案

1 A

2 B

3 C 13. ? ?2, 2 ?

4 D

5 C

6 D

7 B

8 C

9 B

10 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)三、选做题(本题共 5 分) 11. ?2 12.60 14.

2 3

15.① (??, ?4)

(2, ??) ; ② 2

四、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. 解:(1) f ( x) ? p ? q ? 5 ? ?a cos 2x ? 3a sin 2x ? 2a ? 5

? ?2a sin(2 x ? ) ? 2a ? 5. ………………………………………………………2 分 6
因为 x ? R ,所以 ?1 ? sin(2 x ?

?

) ?1 6 当 a ? 0 时, ?2a ?1 ? 2a ? 5 ? f ( x) ? ?2a ? (?1) ? 2a ? 5. 所以 f ( x ) 的值域为 [?5, 4a ? 5]. ………………………………………………………4 分 同理,当 a ? 0 时, f ( x ) 的值域为 [4a ? 5, ?5]. ……………………………………6 分
(2)当 a ? 2 时, y ? f ( x) ? ?4sin(2 x ?

?

?
6

) ? 1,

由题设及函数y ? f ( x) 的最小正周期为 ? 可知, b 的值为 ? .…………………8 分 ? ? 3? ? 2? ? 2k? , k ? Z ,得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z. ……10 分 由 ? 2k? ? 2 x ? ? 2 6 2 6 3
因为 x ? [0, ? ] ,所以 k ? 0 , 函数 y ? f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递增区间为 [ 17. 解: (1)设公差为 d 。由已知得 ?

? 2 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a 1 ? 6d ) 解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍去) 所以 a1 ? 2 ,故 an ? n ? 1 ………………………………6 分 1 1 1 1 (2)因为 ? ? ? an an?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? 所以 Tn ? ? ? ? L ? ………………………9 分 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2) n * ? ? (n ? 2) ,对 ?n ? N * 恒成立。 因为 Tn ? ?an?1 对 ?n ? N 恒成立。即, 2(n ? 2) n 1 1 1 又 ? ? ? 2 4 2(n ? 2) 2(n ? ? 4) 2(4 ? 4) 16 n 1 所以实数 ? 的最小值为 ………………………………………………………………12 分 16 C 2C 2C 2 / 3! 1 18. 解:(1) P(? ? 1) ? 2 6 2 4 2 2 2 ? ……………………………………….2 分 C8 C6 C4 C2 / 4! 7
2 C2 6 1 6 1 1 1 P(? ? 2) ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ……………………………………4 分 7 4 C4 C2 / 2! 7 4 3 14

, ]. ………………………………12 分 6 3 4a1 ? 6d ? 14 ………………………3 分

? 2?

6 1 2 1 1 P(? ? 3) ? ? ? ? ? 1 ? …………………………………………………….6 分 7 4 3 4 28 3 P(? ? 0) ? 1 ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? ……………………………….9 分 4 3 1 1 1 11 ? 3? ? (2) E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ………………………………………….12 分 4 7 14 28 28
19. 解:法 1: (1)连结 BD , ∵ PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , ∴ PA ? BD ,……………………… 1 分 又∵ BD ? AC , AC PA ? A , ∴ BD ? 平面 PAC ,…………………. 2 分 又∵ E , F 分别是 BC 、 CD 的中点, ∴ EF // BD ,………………………….3 分 ∴ EF ? 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF , ∴平面 PAC ? 平面 NEF ;……………4 分 (2)连结 OM , ∵ PC // 平面 MEF ,平面 PAC 平面 MEF ? OM , ∴ PC // OM ,

PM OC 1 ? ? ,故 PM : MA ? 1: 3 ………………………………………8 分 PA AC 4 (3)∵ EF ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC ,∴ EF ? OM , 在等腰三角形 NEF 中,点 O 为 EF 的中点,∴ NO ? EF , ∴ ?MON 为所求二面角 M ? EF ? N 的平面角, ……………………………9 分 ∵点 M 是 PA 的中点,∴ AM ? NC ? 2 , 所以在矩形 MNCA 中, 可求得 MN ? AC ? 4 2 , NO ? 6 , MO ? 22 ,………………………10 分
∴ 在 ?MON 中,由余弦定理可求得 cos ?MON ? ∴二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?

MO 2 ? ON 2 ? MN 2 33 , ?? 2 ? MO ? ON 33

33 .……………………………………12 分 33

法 2: (1)同法 1; (2)建立如图所示的直角坐标系,则 P(0, 0, 4) , C (4, 4,0) , E (4, 2,0) , F (2, 4,0) , ∴ PC ? (4, 4, ?4) , EF ? (?2, 2,0) , 设点 M 的坐标为 (0,0, m) ,平面 MEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ME ? (4, 2, ?m) , 所以 ?

? ?n ? ME ? 0

? ?n ? EF ? 0 6 故 n ? (1,1, ) , m

,即 ?

?4 x ? 2 y ? mz ? 0 6 ,令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? , m ??2 x ? 2 y ? 0

∵ PC // 平面 MEF ,∴ PC ? n ? 0 ,即 4 ? 4 ?

故 AM ? 3 ,即点 M 为线段 PA 上靠近 P 的四等分点; 故 PM : MA ? 1: 3 …………………………………………………………………8 分 (3) N (4, 4, 2) ,则 EN ? (0, 2, 2) ,设平面 NEF 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,

24 ? 0 ,解得 m ? 3 , m

则?

? ?m ? EN ? 0

? ?m ? EF ? 0 令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? ?1 ,

,即 ?

?2 y ? 2 z ? 0 ,………9 分 ??2 x ? 2 y ? 0

即 m ? (1,1, ?1) ,……………………………10 分 当 M 是 PA 中点时, m ? 2 , 则 n ? (1,1,3) ,

1?1? 3 33 , ?? 33 3 ? 11 33 ∴二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ? .……12 分 33 1 9 b2 1 2 ? 1 解得 a2=4,b2=3, 20. 解: (1)由 e ? 1 ? 2 = 及 2 ? 4b 2 a 4 a x2 y2 ? ? 1 ;…………………………………………………………2 分 椭圆方程为 4 3 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 由 PA ? PB ? mOP 得 ? x1 ? x2 ? 2 ? m 3 ? (x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1, ) ,即 ? 3 2 y1 ? y 2 ? 3 ? m ? 2 ? 2 2 2 2 x y x y 又 1 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,两式相减得 4 3 4 3 y 2 ? y1 3 x1 ? x 2 3 2?m 1 k AB ? ?? ? ?? ? ? ? ; ………………………6 分 3 x 2 ? x1 4 y1 ? y 2 4 2 3? m 2 1 2 2 (2)设 AB 的方程为 y= ? x ? t ,代入椭圆方程得:x -tx+t -3=0, 2 1 15 2 2 △=3(4-t ),|AB|= 1 ? ? 3(4 ? t ) ? ? 4 ?t2 , 4 2 | 4 ? 2t | 点 P 到直线 AB 的距离为 d= , 5 1 3 3(2 - t) 3 (2 ? t) (-2<t<2). ……………….10 分 S△PAB = | 2 ?t | 4 ?t2 = 2 2
∴ cos ? m, n ?? 令 f(t) =3(2-t) (2+t),则 f’(t)=-12(2-t) (t+1),由 f’(t)=0 得 t=-1 或 2(舍) , 当-2<t<-1 时,f’(t)>0,当-1<t<2 时 f’(t)<0,所以当 t=-1 时,f(t)有最大值 81, 即△PAB 的面积的最大值是
3 2

9 ; 2

根据韦达定理得 x1+x2=t=-1,而 x1+x2=2+m,所以 2+m=-1,得 m=-3, 于是 x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+

3 3m 3 =3+ + =0, 2 2 2

因此△PAB 的重心坐标为(0,0).……………………………………………………13 分 21. 解: (1) f ?( x) ?

m( x 2 ? n) ? 2mx 2 ?mx 2 ? mn …………………………2 分 ? ( x 2 ? n) 2 ( x 2 ? n) 2

? mn ? m ?0 ? ? (1 ? n) 2 ' 由 f ( x ) 在 x ? 1 处取到极值 2,故 f (1) ? 0 , f (1) ? 2 即 ? , ? m ?2 ? ? 1? n
解得 m ? 4, n ? 1 ,经检验,此时 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值.故 f ( x) ?

4x ……5 分 x ?1
2

4(1 ? x)(1 ? x) 1 ,故 f ( x ) 在 ( ,1) 上单调递增,在 (1,2) 上单调递 2 2 2 ( x ? 1) 1 8 8 减,由 f (1) ? 2, f (2) ? f ( ) ? ,故 f ( x ) 的值域为 [ , 2] …………………………7 分 2 5 5
(2)由(1)知 f ?( x) ? 依题意 g ?( x) ? a ?

1 1 1 ?1 ? 2 ,记 M ? ? 2 , e ? , ? x ? M ? ? ? e x e x ?e ?

1 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x) 在 M 上单调递减, e 1 ? ?a?e ? 1 8 ? 依题意由 ? g (e) ? ,得 0 ? a ? ,……………………………………………………8 分 e 5 ? ? 1 g( ) ? 2 ? ? e2 1 1 1 1 1 1 2 ' (ⅱ)当 ? a ? e 时, e ? ? 2 当 x ? ( 2 , ) 时, g ( x) ? 0 ,当 x ? ( , e) 时, e a e a a e ' g ( x) ? 0 ?1 ?1 2 2 ?e ? a ? e ?e ? a ? e ? ? 8 1 13 ? ? 依题意得: ? g (e) ? 或 ? g (e) ? 2 ,解得 ? a ? ,…………………………10 分 5 e 5 e ? ? 8 ? 1 ? 1 ? g ( e2 ) ? 2 ? g ( e2 ) ? 5 ? ?
(ⅰ)当 a ? (ⅲ)当 a ? e 时,
2

1 1 ' ? ,此时 g ( x) ? 0 , g ( x) 在 M 上单调递增依题意得 a e2

? 2 ?a ? e ? ? ? g (e) ? 2 ? 8 ? 1 ? g ( e2 ) ? 5 ?

? 2 ? a?e ? ? 即 ? ea ? 1 ? 2 此不等式组无解 ……………………………………11 分. ? 8 ?a ? e2 ? 2 ? 5 ?

综上,所求 a 取值范围为 0 ? a ?

13 ………………………………………………14 分 5e


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