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【最新试题库含答案】高等代数(北大版第三版)习题答案I

高等代数(北大版第三版)习题答案 I : 篇一:高等代数(北大版)第 3 章习题参考答案 第三章 线性方程组 1. 用消元法解下列线性方程组: ?x1?x?1?1)?x1 ?x?1??x1 ?3x2?5x3?4x4?1?3x2?2x3?2x4??2x2?x3?x4?x5?4x2?x3?x4?x5?2x2?x 3?x4?x5 ?x1?2x2?3x4?2x5?1 x5??1? ?x1?x2?3x3?x4?3x5?2 ?3 2)? 2x?3x?4x?5x?2x?72345?1 ?3 ?9x?9x?6x?16x?2x?25 2345?1 ??1 x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44 ?? x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?34 3)?4)? 4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?1 ??7x?3x?x??3?7x?2x?x?3x??0 234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1? 3x1?2x2?x3?x4?1????3x1?2x2?2x3?3x4?2 5)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?1 ?2x?2x?2x?x?1?5x1?x2?x3?2x4??1 234 ?1?2x?x?x?3x?4 234?1 ??5x1?5x2?2x3?2 解 1)对方程组得增广矩阵作行初等变换,有 ?1 ?1??1??1??1?1?0???0??0??0 33?2?420000?1 521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?1101000 1??1 ???10??3???0??3??0 ??1???01??1???20??0???0??0??0 ?0???0 30?5?7?10000?1 5?3?4?4?400?200 ?42358?12000 01?1?1101000 1? ??2?2? ?2??2??1???2?0? ?0?0?? 因为 rank(A)?rank(B)?4?5, 所以方程组有无穷多解,其同解方程组为 ?x1?x4?1? ?2x1?x5??2 ,? ?2x?03? ??x?x?0?24 解得 ?x1?x?2??x3?x?4??x5 ?1?k?k?0?k??2?2k 其中 k 为任意常数。 2)对方程组德增广矩阵作行初等变换,有 ?1?1??2??9 ?1?0? ?? ?0???0 2?1?3?9 2 0?346 ?31?516 ?3 2?322 1??1 ??20??? ?07???25??0 2 ? ??????? 2?3?7?27 1 2 0?346 ?34111 0? 2?5?2?16 3 1? ?1? 5??16? ?1? ?3?34?51 ? 2529?8? 011?? 333 ? 033?2529??72?1 ? 0??334?51 ? 2529? 8 001?1? 333 ? 0000??01? 因为 rank(A)?4?rank(A)?3, 所以原方程无解。 3)对方程组德增广矩阵作行初等变换,有 ?1?0??1??0 ?213?7 3?103 ?4111 4??1???30??? ?01????3??0 ?215?7 3?1?33 ?4151 4? ??3? ?3???3? ?1?0???0??0 0100 1?12?4 ?2108 ?2??1 ???30 ??? ?012????24??0 0100 0020 0008 ?8? ?3 ?, 12??0? 因为 rank(A)?rank(A)?4, 所以方程组有惟一解,且其解为 ?x1??x2??x3?x?4 ??8?3?6?0 。 4)对方程组的增广矩阵作行初等变换,有 ?3?2??4??7?1?0???0??0 4?311?27?1717?34 ?53?131?819?1938 7??1???22??? ?416???3??79??1 ???200 ??? ?020????40??0 7?311?2 7?1700?83?131?819009? ??2? 16??3?9???20 ?, 0??0? 即原方程组德同解方程组为 ?x1?7x2?8x3?9x4?0 ,? ??17x2?19x3?20x4?0 由此可解得 ??x1???x2??x3?x?4 ?? 3171917 k1?k1? 13172017 k2k2, ?k1?k2 其中 k1,k2 是任意常数。 5)对方程组的增广矩阵作行初等变换, 有 ?2?3??5??2?2?7???10???10 1?21?11000?12?11?1000 1?32?31?100 1??2??27??? ?3?1???4??41??2??47??? ?102????3??0 10001000?1000?10001?11?21?1001? ?4? ?2??5?1??4? 2???1? 因为 rank(A)?4?rank(A)?3, 所以原方程组无解。 6)对方程组的增广矩阵作行初等变换,有 ?1?3? ?2 ??2??5 22325 3 11?11 1 1? ?1??1??1??2? ? ???????32245 55355 42132 0? ?0?1 ??0?0?? 2122 2?12 ??2?5?????1???1?0? 05000 22?15 00100 10 0??0??20?? ?1? ????05??0???1 ?00??? 05000 07?65 00100 10 0? ?2?1???, 5?0?0?? 即原方程组的同解方程组为 ?5x2?7x3?2 ? 1?6 , ?x?x???34 5?5 ???x1?x3?0 解之得 ?x1??x2???x3??x4? ?k?25?75k ?k?? 15?65k , 其中 k 是任意常数。 2.把向量?表成?1,?2,?3,?4 的线性组合.。 1)??(1,2,1,1) ?1?(1