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2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题二 考前基础回扣精准灵(共136张PPT)_图文

一、考前必记的 34 个概念、公式
1.四种命题的相互关系

2.熟记五种常考函数的定义域 (1)当 f(x)为整式时,函数的定义域为 R. (2)当 f(x)为分式时,函数的定义域是使分母不为 0 的实数集合. (3)当 f(x)为偶次方根时, 函数的定义域是使被开方数不小于 0 的 实数集合. (4)当 f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为大于 0 且不为 1 的实数集合. π (5)当 f(x)中有 tan x 时,则应考虑 x≠kπ+ (k∈Z). 2

3.指数函数与对数函数的对比区分表

解析式
定义域 值域

y=ax(a>0且a≠1)
R (0,+∞)

y=logax(a>0且a≠1)
(0,+∞) R

图像 关于直线y=x对称

解析式
奇偶性

y=ax(a>0且a≠1)
非奇非偶 0<a<1时,在R上是 减函数;

y=logax(a>0且a≠1)
非奇非偶 0<a<1时,在(0,+∞) 上是减函数; a>1 时,在(0,+∞)上

单调性 a>1时,在R上是增

函数

是增函数

4.方程的根与函数的零点 (1)方程的根与函数零点的关系: 由函数零点的定义,可知函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的 实数根,也就是函数 y=f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标.所以,方 程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图像与 x 轴有交点?函数 y=f(x) 有零点. (2)函数零点的存在性: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线, 并且 f(a)· f(b)<0,那么函数 f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即 存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的实数根.

5.导数公式及运算法则 (1)基本导数公式:C′=0(C 为常数); (xm)′=mxm 1(m∈Q);(sin x)′=cos x; (cos x)′=-sin x;(ex)′=ex; 1 (a )′=a ln a(a>0 且 a≠1);(ln x)′= ; x
x x


1 (logax)′ = (a>0 且 a≠1). xln a
?u? (2) 导 数 的 四 则 运 算 : (u± v)′ = u′± ; (uv)′ = u′v + uv′ ; ?v? ′ = v′ ? ?

u′v-uv′ (v≠0). v2 (3)复合函数的导数:[f(ax+b)]′=af′(ax+b),如 y=sin 2x 有 y′=2cos 2x.

6.导数与极值、最值 (1)函数 f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)=0 且 f′(x)在 x0 附近“左 正右负”?f(x)在 x0 处取极大值;函数 f(x)在 x0 处的导数 f′(x0) =0 且 f′(x)在 x0 附近“左负右正”?f(x)在 x0 处取极小值. (2)函数 f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极 值与其端点值中的“最大值”;函数 f(x)在一闭区间上的最小值 是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”.

7.同角三角函数的基本关系
? ? π sin α ? (1)商数关系: =tan α?α≠kπ+ 2,k∈Z?; ? cos α ? ?

(2)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R). 8.三角函数的诱导公式 (1)sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α,tan(2kπ+α)=tan α,k∈Z. (2)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α. (3)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan
? ?π ? π ? ? (4)sin 2 -α?=cos α,cos?2 -α?=sin α, ? ? ? ? ? ?π ? π ? ? sin 2 +α?=cos α,cos?2 +α?=-sin α. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

α.

9.三角函数图像的三种基本变换 y=sin x 的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位得到 y=sin(x+φ)的图像; y=sin x 图像上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来 1 的ω倍,得到 y=sin ωx 的图像; y=sin x 图像上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来 的 A 倍,得到 y=Asin x 的图像.

10.三角函数的对称中心与对称轴 (1)函数 y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),对称轴为 x= π kπ+ (k∈Z). 2 (2)函数 y=cos x x=kπ(k∈Z). (3)函数 y=tan x
?kπ ? 的对称中心为? 2 ,0?(k∈Z),没有对称轴. ? ? ? ? π 的对称中心为?kπ+2,0?(k∈Z),对称轴为 ? ?

11.三角恒等变换的主要公式 sin(α± β)=sin αcos β± αsin β; cos cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β; tan α± β tan tan(α± β)= ; 1?tan αtan β sin 2α=2sin αcos α;cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1= 2tan α 1-2sin α;tan 2α= . 1-tan2α
2

12.辅助角公式 asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ), b a 其中 sin φ= 2 ,cos φ= 2 . a +b2 a +b2 13.平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件:a∥b?a=λb. 两个非零向量垂直的充要条件:a⊥b?a· b=0?|a+b|=|a-b|. (2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线的 向量,那么对于该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2, 使 a=λ1e1+λ2e2.

? ???? ???? ??? ??? ??? ? ? (3)三个点 A,B,C 共线? AB , AC 共线;向量 PA 、 PB 、 PC ??? ? ??? ? ??? ? 中三终点 A,B,C 共线?存在实数 α,β,使得 PA =α PB +β PC ,

且 α+β=1. (4)向量的数量积: a=(x1, 1), 若 y b=(x2, 2), y 则|a|2=a2=a· a, x1x2+y1y2 a· b a· b=|a|· cos θ=x1x2+y1y2,cos θ=|a||b|= 2 2 2 2,a 在 |b|· x1+y1· x2+y2 a· x1x2+y1y2 b b 上的投影为|a|cos〈a,b〉= |b| = 2 2 . x2+y2

14.中点坐标和三角形重心坐标

???? ???? ???? (1)P1,P2 的坐标为(x1,y1),(x2,y2), MP 1+ MP 2=2 MP ?
P 为线段 P1P2 的中点,中点 P
?x1+x2 y1+y2? ? 的坐标为? . , ? 2 2 ? ? ?

(2)△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(x1, 1). 2, 2), 3, y B(x y C(x y3),则△ABC 的重心的坐标是
?x1+x2+x3 G? ? 3 ?

y1+y2+y3? ? , ?. 3 ?

15.an 与 Sn 的关系 (1)对于数列{an},Sn=a1+a2+?+an 为数列{an}的前 n 项和. (2)an 与
?S1,n=1, ? Sn 的关系式:an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

16.判断等差数列的常用方法 (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)?{an}是等差数列. (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列. (3)通项公式法:an=pn+q(p,q 为常数,n∈N*)?{an}是等 差数列. (4)前 n 项和公式法: n=An2+Bn(A, 为常数, S B n∈N*)?{an} 是等差数列.

17.判断等比数列的三种常用方法 an+1 (1)定义法: a =q(q 是不为 0 的常数,n∈N*)?{an}是等 n 比数列. (2)通项公式法:an=cqn(c,q 均是不为 0 的常数,n∈N*) ?{an}是等比数列. (3)中项公式法:a2 +1=an·n+2(an·n+1·n+2≠0,n∈N*)? a a a n {an}是等比数列.

18.不等式的性质 (1)a>b,b>c?a>c. (2)a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc. (3)a>b?a+c>b+c. (4)a>b,c>d?a+c>b+d. (5)a>b>0,c>d>0?ac>bd. (6)a>b>0,n∈N,n≥1?an>bn. (7)a>b>0,n∈N,n≥2? a> b. n n

19.一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax
2

?a>0, ? +bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0. ?

?a<0, ? 2 (2)ax +bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0. ?

20.简单分式不等式的解法 f?x? f?x? (1) >0?f(x)g(x)>0, <0?f(x)g(x)<0. g?x? g?x?
?f?x?g?x?≥0, ?f?x?g?x?≤0, ? ? f?x? f?x? ? (2) ≥0? ≤0?? g?x? ?g?x?≠0, g?x? ?g?x?≠0. ? ?

f?x? (3)对形如 >a(x≥a)的分式不等式要采取:移项—通分 g?x? —化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解. 21.简单几何体的表面积和体积 (1)S 直棱柱侧=ch(c 为底面的周长,h 为高). 1 (2)S 正棱锥侧= ch′(c 为底面周长,h′为斜高). 2 1 (3)S 正棱台侧= (c′+c)h′(c 与 c′分别为上、下底面周长, 2 h′为斜高).

(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式: S圆柱侧=2πrl(r为底面半径,l为母线), S圆锥侧=πrl(同上), S圆台侧=π(r′+r)l(r′,r分别为上、下底的半径,l为母线). (5)体积公式: V柱=Sh(S为底面面积,h为高), 1 V锥=3Sh(S为底面面积,h为高), 1 V台=3(S+ SS′+S′)h(S,S′为上、下底面面积,h为高). (6)球的表面积和体积公式: 4 S球=4πR2,V球=3πR3.

22.空间向量与空间角 (1)夹角公式:设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 cos a1b1+a2b2+a3b3 ? a,b ? = 2 2 2 2 2 2 . a1+a2+a3· b1+b2+b3
2 2 推论:(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a2+a2+a3)(b1+b2+b2). 1 2 2 3

(2)异面直线所成的角: |a· b| cos θ=|cos ? a,b ? |= ,其中 θ(0° <θ≤90° )为异面直 |a||b| 线 a,b 所成的角,a,b 分别表示异面直线 a,b 的方向向量.

??? ? (3)直线 AB 与平面 α 所成的角 β 满足:sin β=|cos ? ,m ? | AB

??? ? |??? · AB m| = ? (m 是平面 α 的法向量). | AB ||m|
|m· n| (4)二面角 α- β 的平面角 θ 满足: l|cos θ|=|cos ? n ? m, |= |m||n| (m,n 分别是平面 α,β 的法向量). 23.直线的方程 (1)点斜式:已知直线过点(x0,y0),其斜率为 k,则直线方程为 y-y0=k(x-x0),它不包括垂直于 x 轴的直线.

(2)斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b,斜率为 k,则直线 方程为 y=kx+b,它不包括垂直于 x 轴的直线. (3)两点式:已知直线经过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则直线 y-y1 x-x1 方程为 = ,它不包括垂直于坐标轴的直线. y2-y1 x2-x1 (4)截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a,b,则直线 x y 方程为a+b=1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. (5)一般式:任何直线均可写成 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)的形式.

24.点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为 d= |Ax0+By0+C| ; 2 2 A +B (2)两平行线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 |C1-C2| 间的距离为 d= 2 2 . A +B

25.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 的位置关系 (1)平行?A1B2-A2B1=0(斜率相等)且 B1C2-B2C1≠0(在 y 轴 上截距不相等); (2)相交?A1B2-A2B1≠0; (3)重合?A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1=0; (4)垂直?A1A2+B1B2=0.

26.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),只 有当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 才表示圆心为
? D E? 1 ?- ,- ?,半径为 2? 2 ? 2

D2+E2-4F的圆.

27.椭圆及其性质 (1)定义:|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c=|F1F2|). x2 y2 (2)标准方程:焦点在 x 轴上, 2+ 2=1(a>b>0); a b y2 x2 焦点在 y 轴上, 2+ 2=1(a>b>0). a b (3)性质:①范围;②顶点;③对称性;④离心率.

28.双曲线及其性质 (1)定义:||MF1|-|MF2||=2a(2a<2c=|F1F2|). x2 y2 (2)标准方程:焦点在 x 轴上, 2- 2=1(a>0,b>0);焦点 a b y2 x2 在 y 轴上, 2- 2=1(a>0,b>0). a b (3)性质:①范围;②顶点;③对称性;④离心率;⑤渐近线. x2 y2 x2 y2 (4)与双曲线 2- 2=1 具有共同渐近线的双曲线系为 2- 2= a b a b λ(λ≠0).

29.抛物线及其性质 (1)定义:|MF|=d. (2)标准方程:y2=2px;y2=-2px;x2=2py;x2=-2py.(p>0) (3)性质:①范围;②顶点;③对称性;④离心率. 30.排列、组合数公式及其相关性质 (1)排列数公式: Am=n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= n n! (m≤n,m,n∈N*), ?n-m?!

An=n!=n×(n-1)×(n-2)×?×2×1(n∈N*). n

(2)组合数公式: n! Am n?n-1???n-m+1? n m Cn = Am = = (m≤n,n, m! m!?n-m?! m m∈N*). (3)组合数性质: Cm=Cn-m(m≤n,n,m∈N*);Cm+1=Cm-1+Cm(m≤n, n n n n n n,m∈N*);
2 C0 +C1 +Cn+?+Cr +?+Cn=2n; n n n n 5 C1 +C3 +Cn+?=C0 +C2 +C4 +?=2n-1. n n n n n

31.抽样方法 简单随机抽样、分层抽样、系统抽样. (1)从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本, 则每个个体被 n 抽到的概率都为N; (2)分层抽样实际上就是按比例抽样,即总体与样本中各层在 总体中所占的比例都相等; (3)简单随机抽样的特征是逐个抽取; (4)系统抽样的特征是“等距”抽取.

32.复数的四则运算法则 (a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i. (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. ac+bd bc-ad (a+bi)÷ (c+di)= 2 2 + 2 2 i(a, c, b, d∈R, c+di≠0). c +d c +d

33.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构:如图(1)所示.

(2)条件结构:如图(2)和图(3)所示. (3)循环结构:如图(4)和图(5)所示.

34.用数学归纳法证明问题的一般步骤 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: (1)证明当 n 取第一个值 n0 时,结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确.由(1)(2),可知命题对于从 n0 开始的 所有正整数都正确.

二、考前必会的 27 个规律、推论
1.集合问题必须牢记的重要结论 (1)a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一 个元素a的集合. (2)易混淆0,?,{0}:0是一个实数,?是一个集合,它含有0 个元素,{0}是以0为元素的单元素集合,但是0??,而??{0}. (3)?是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子 集.所以当两个集合之间存在子集关系时,不要忘记对空集的讨 论,即若A?B,则应分A=?和A≠?两种情况进行分析.

(4)若集合是不等式的解集,则在两个集合的交集与并集以及 集合的补集的求解过程中要注意端点值的取与舍,不能遗漏,在 利用数轴表示集合时,注意端点值的标注,区分实点和虚点. (5)求解集合的补集时,要先求出集合,然后再写其补集,不
? ?1 ? 要直接转化条件导致出错,如A=?x?x ? ? ? ? ?1 ? 不是?x?x ? ? ? ? ? ≤0?. ? ? ? ? >0?的补集是{x|x≤0},而 ? ?

(6)交集的补集等于补集的并集,即?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB); 并集的补集等于补集的交集,即?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB). (7)对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子 集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2. (8)如图所示的Venn图中区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ依次表示集合 ?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),A∩(?UB),A∩B,B∩(?UA).

2.常用逻辑用语的常用规律 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. (3)在判断一些命题的真假时,如果不容易直接判断,可转化为 判断其逆否命题的真假. 3.有关函数单调性和奇偶性的重要结论 (1)f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (2)当k>0时,函数f(x)与kf(x)的单调性相同;当k<0时,函数f(x) 与kf(x)的单调性相反.

(3)当f(x),g(x)同为增(减)函数时,f(x)+g(x)则为增(减)函数. (4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称 的两个区间上有相反的单调性. (5)f(x)为奇函数?f(x)的图像关于原点对称;f(x)为偶函数?f(x) 的图像关于y轴对称. (6)偶函数的和、差、积、商是偶函数,奇函数的和、差是奇函 数,积、商是偶函数,奇函数与偶函数的积、商是奇函数. 1 (7)函数f(x)与kf(x), (f(x)≠0)的奇偶性相同(其中k为非零常 f?x? 数).

(8)定义在(-∞,+∞)上的奇函数的图像必过原点,即有 f(0)=0.存在既是奇函数,又是偶函数的函数:f(x)=0. (9)f(x)+f(-x)=0?f(x)为奇函数;f(x)-f(-x)=0?f(x)为 偶函数. 4.判断函数周期的几个重要结论 (1)若满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)是周期函数,T=2a. (2)若满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,T=2a. 1 (3)若满足f(x+a)= ,则f(x)是周期函数,T=2a. f?x?

(4)若满足f(x+a)=

1 ,则f(x)是周期函数,T=2a. -f?x?

(5)若函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,且关于直线x=b对称,则f(x) 是周期函数,T=2|b-a|(b≠a). 5.函数图像对称变换的相关结论 (1)y=f(x)的图像关于y轴对称的图像是函数y=f(-x)的图像. (2)y=f(x)的图像关于x轴对称的图像是函数y=-f(x)的图像. (3)y=f(x)的图像关于原点对称的图像是函数y=-f(-x)的图像. (4)y=f(x)的图像关于直线y=x对称的图像是函数y=f-1(x)的图像. (5)y=f(x)的图像关于直线x=m对称的图像是函数y=f(2m-x)的图像.

(6)y=f(x)的图像关于直线y=n对称的图像是函数y=2n- f(x)的图像. (7)y=f(x)的图像关于点(a,b)对称的图像是函数y=2b- f(2a-x)的图像. 6.函数图像平移变换的相关结论 (1)把y=f(x)的图像沿x轴左右平移|c|个单位(c>0时向左 移,c<0时向右移)得到函数y=f(x+c)的图像(c为常数). (2)把y=f(x)的图像沿y轴上下平移|b|个单位(b>0时向上 移,b<0时向下移)得到函数y=f(x)+b的图像(b为常数).

7.函数图像伸缩变换的相关结论 (1)把 y=f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短 (0<a<1)到原来的 a 倍,而横坐标不变,得到函数 y=af(x) (a>0)的图像. (2)把 y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长(0<b<1)或缩 1 短(b>1)到原来的b倍,而纵坐标不变,得到函数 y=f(bx) (b>0)的图像.

8.正余弦定理及其推论 (1)正弦定理: a b c sin A=sin B=sin C=2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

(2)余弦定理: a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= 2bc ;cos B= 2ac ; a2+b2-c2 cos C= 2ab . 变形:b2+c2-a2=2bccos A;a2+c2-b2=2accos B; a2+b2-c2=2abcos C.

9.三角形四心的向量形式 设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b, c,则

??? ? ??? ? (1)O是三边中垂线的交点?O是△ABC的外心?| OA |=| OB |=

???? a | OC |=2sin A;

??? ??? ???? ? ? (2)O是三条中线的交点?O是△ABC的重心? OA + OB + OC =0; ??? ??? ??? ???? ? ? ? (3)O是三条高线的交点?O是△ABC的垂心? OA · = OB · OB OC ???? ??? ? = OC · ; OA ??? ? (4)O是三个内角角平分线的交点?O是△ABC的内心?a OA + ??? ? ???? b OB +c OC =0.

10.等差数列{an}的常用性质 (1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d;p+q=m+n?ap+aq= am+an. (2){kan}也成等差数列. (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m?,仍成等差数列. n?a1+an? n?n-1? d? d 2 ? (4)Sn= ,Sn=na1+ 2 d=2n +?a1-2?n. 2 ? ? (5)ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0,Sm+n=Sm+Sn+mnd.

11.等比数列{an}的常用性质 (1)an=a1qn 1=amqn
- -m

;p+q=m+n?ap·q=am·n. a a

(2){an},{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列. (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m?,成等比数列(q≠-1). ?na1,q=1, ? (4)Sn=?a1-anq a1?1-qn? ? 1-q = 1-q ,q≠1 ? ?na1,q=1, ? a1 n a1 =? q ?-1-q· +1-q,q≠1. ?

12.等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列{an}成等差数列, 那么数列{ Aan }( Aan 总有意义) 必成等比数列. (2)如果数列{an}成等比数列,且 an>0,那么数列{logaan} (a>0,a≠1)必成等差数列. (3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列, 那么数列{an} 是非零常数数列.数列{an}是常数数列仅是数列既成等差数列 又成等比数列的必要非充分条件.

(4)如果两个等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺 次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是两个 原等差数列公差的最小公倍数. (5)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组 成新数列,那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论, 且以等比数列的项为主,探求等比数列中哪些项是它们的公 共项,构成什么样的新数列.

13.常用常考的不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R). (2)a,b∈R?a2+b2≥2 ab(当且仅当a=b时取等号). a+b (3)a>0,b>0? 2 ≥ ab(当且仅当a=b时取等号). (4)a3+b3+c3≥3abc(a>0,b>0,c>0),a2+b2+ c2≥ab+bc+ac,当且仅当a=b=c时取等号.

(5)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. a+b 2ab (6) ≤ ab≤ 2 ≤ a+b 且a>0,b>0). 14.给定区间上,含参数的不等式恒成立或有解的条件依据 (1)在给定区间(-∞,+∞)的子区间L(形如[α,β],(-∞, β],[α,+∞)等)上,含参数的不等式f(x)≥t(t为参数)恒成立的 充要条件是f(x)min≥t(x∈L). a2+b2 2 (当且仅当a=b时取等号,

(2)在给定区间(-∞,+∞)的子区间L上,含参数的不 等式f(x)≤t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)max≤t(x∈L). (3)在给定区间(-∞,+∞)的子区间L上,含参数的不 等式f(x)≥t(t为参数)有解的充要条件是f(x)max≥t(x∈L). (4)在给定区间(-∞,+∞)的子区间L上,含参数的不 等式f(x)≤t(t为参数)有解的充要条件是f(x)min≤t(x∈L).

15.直观图 (1)空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法.对斜二测画 法的规则可以记忆为:“平行要保持,横长不变,纵长减半”. (2)由直观图的画法规则可知:任何一个平面图形的面积S与 2 它的斜二测画法得到的直观图的面积S′之间具有关系S′= 4 S. 用这个公式可以方便地解决相关的计算问题.

16.三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正 前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的 基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正 视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽 度与俯视图一样. (3)一般地,若俯视图中出现圆,则该几何体可能是球或旋 转体;若俯视图是多边形,则该几何体一般是多面体;若正视 图和侧视图中出现三角形,则该几何体可能为锥体.

17.两直线的位置关系的应用 (1)讨论两条直线的位置关系应注意斜率不存在或斜率为0 的情况,当两条直线中的一条直线斜率不存在,另一条直线斜 率为0时,它们也垂直. (2)已知直线l:Ax+By+C=0,则与直线l平行的直线方程 可设为Ax+By+m=0(m≠C);与直线l垂直的直线方程可设为 Bx-Ay+n=0.

18.点与圆的位置关系 已知点M(x0,y0)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), (1)点M在圆C外?|CM|>r ?(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (2)点M在圆C内?|CM|<r ?(x0-a)2+(y0-b)2<r2; (3)点M在圆C上?|CM|=r ?(x0-a)2+(y0-b)2=r2.

19.直线与圆的位置关系 直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)有 相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断: (1)代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情 况):Δ>0?相交;Δ<0?相离;Δ=0?相切; (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心 到直线的距离为d,则d<r?相交;d>r?相离;d=r?相切 .

20.圆与圆的位置关系 已知两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,则 (1)当|O1O2|>r1+r2时,两圆外离; (2)当|O1O2|=r1+r2时,两圆外切; (3)当|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2时,两圆相交; (4)当|O1O2|=|r1-r2|时,两圆内切; (5)当0≤|O1O2|<|r1-r2|时,两圆内含.

21.圆锥曲线的对称问题 曲线 F(x,y)=0 关于原点 O 成中心对称的曲线是 F(-x, -y)=0;曲线 F(x,y)=0 关于 x 轴对称的曲线是 F(x,-y)= 0;曲线 F(x,y)=0 关于 y 轴对称的曲线是 F(-x,y)=0;曲 线 F(x,y)=0 关于直线 y=x 对称的曲线是 F(y,x)=0;曲线 F(x,y)=0 关于直线 y=-x 对称的曲线是 F(-y,-x)=0.

22.二项式定理及其相关推论 (1)二项式定理:
0 (a+b)n=Cnan+C1 an-1b+?+Cr an-rbr+?+Cnbn(n∈N*), 展 n n n

开式共有 n+1 项,其中第 r+1 项为 Tr+1=Cr an-rbr,组合数 Cr 叫 n n 做第 r+1 项的二项式系数. (2)二项展开式中二项式系数(组合数)的性质:对称性、增减性
0 与最大值,二项式系数和 Cn+C1 +?+Cr +?+Cn=2n. n n n

(3)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和, 都等于 2n 1,即 C0 +C2 +C4 +?=C1 +C3 +C5 +?=2n 1. n n n n n n
- -

23.有关事件关系的重要结论 (1)事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,则事件 B 一定发生, 记作 A?B. (2)事件 A 与事件 B 相等:若 A?B,B?A,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B. (3)并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,记作 A∪B(或 A+B). (4)交(积)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,记作 A∩B(或 AB).

(5)事件 A 与事件 B 互斥: A∩B 为不可能事件(A∩B=?), 若 则事件 A 与事件 B 互斥. (6)对立事件:A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件.

24.概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式: 事件A包含的基本事件数m P(A)= ; 基本事件总数n (2)互斥事件的概率计算公式: P(A∪B)=P(A)+P(B); (3)对立事件的概率计算公式:P( A )=1-P(A);

25.概率与统计 (1)离散型随机变量的分布列的两个性质: ①pi≥0(i=1,2,?,n);②p1+p2+?+pn=1. (2)数学期望公式:E(X)=x1p1+x2p2+?+xnpn. (3)数学期望的性质:①E(aX+b)=aE(X)+b;②若 X~ B(n,p),则 E(X)=np. (4)方差公式: D(X)=[x1-E(X)]2·1+[x2-E(X)]2·2+?+ p p [xn-E(X)]2·n,标准差: D?X?. p

(5)方差的性质:①D[a(X)+b]=a2D(X); ②若 X~B(n,p),则 D(X)=np(1-p). (6)方差与期望的关系:D(X)=E[X-E(X)]2. (7)①独立事件同时发生的概率计算公式是: P(AB)=P(A)P(B); ②独立重复试验的概率计算公式是: Pn(k)=Ck pk(1-p)n-k; n P?AB? ③条件概率公式:P(B|A)= . P?A?

26.复数的运算 (1)复数的乘法满足交换律、 结合律以及乘法对加法的分配 律, 即对任意 z1, 2, 3∈C, z1·2=z2·1; 1·2)·3=z1· 2·3); z z 有: z z (z z z (z z z1· 2+z3)=z1z2+z1z3. (z (2)两个共轭复数 z, z 的积是一个实数,这个实数等于每 一个复数的模的平方,即 z· =|z|2=| z |2. z

27.复数的几个常见结论 (1)(1± 2=± i) 2i; 1+i 1-i (2) =i, =-i; 1-i 1+i (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i, i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈Z); 1 3 (4)ω=-2± 2 i,且 ω0=1,ω2= ω ,ω3=1,1+ω+ω2=0.

三、考前必懂的 26 个解题方法
1.解决集合问题要“四看” (1)看代表元素:代表元素反映了集合中元素的特征,解题时 需分清是点集、数集还是其他集合. (2)看元素组成:集合是由元素组成的,从研究集合的元素入 手是解集合问题的常用方法. (3)看能否化简:有些集合是可以化简的,如果先化简再研究 其关系,可使问题变得简捷. (4)看能否数形结合:常用的数形结合的形式有数轴、坐标系 和Venn图.

2.充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法:正、反方向推理,若p?q,则p是q的充分条件 (或q是p的必要条件);若p?q,且q p,则p是q的充分不必要条 件(或q是p的必要不充分条件). (2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若A?B,则A是 B的充分条件(B是A的必要条件);若A=B,则A是B的充要条件. (3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.

3.利用导数研究函数单调性的步骤 第一步:确定函数f(x)的定义域; 第二步:求f′(x); 第三步:解方程f′(x)=0在定义域内的所有实数根; 第四步:将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和 各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间; 第五步:确定f′(x)在各小区间内的符号,由此确定每个区 间的单调性.

4.求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤 第一步:求导数f′(x); 第二步:求方程f′(x)=0的根x0; 第三步:检查f′(x)在x=x0左右的符号: ①左正右负?f(x)在x=x0处取极大值; ②左负右正?f(x)在x=x0处取极小值. 5.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤 第一步:求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值); 第二步:将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.

6.求解恒成立问题的主要方法 (1)分离参数法:当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够 与其他变量完全分离开来,且分离后不等式另一边的函数(或代数 式)的最值可求出时,应用分离参数法. (2)最值法:当不等式一边的函数(或代数式)的最值能够较容易 地求出时,可直接求出这个最值(最值中可能需用参数表示),然后 建立关于参数的不等式求解.

(3)数形结合法:如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图 像、图形较易画出时,可通过图像、图形的位置关系建立不等式求 得参数范围. (4)更换主元法:在问题所涉及的几个变量中,选择一个最有 利于问题解决的变量作为主元进行求解.

7.判断函数f(ωx+φ)的奇偶性的方法 π (1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ+ 2 (k∈Z); 若为奇函数,则φ=kπ(k∈Z). (2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ(k∈Z);若为 π 奇函数,则φ=kπ+2(k∈Z). kπ (3)若y=tan(ωx+φ)为奇函数,则有φ= 2 (k∈Z).

8.确定函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)解析式的方法 最大值-最小值 最大值+最小值 2π A= ,B= ,ω= T ,求φ时,常 2 2 根据“五点法”中的五个点求解,可以根据图像的升降找准第一个 零点的位置,把第一个零点作为突破口. 9.三角函数恒等变换的基本策略 (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45° 等. (2)项的分拆与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+ α+β α-β α π 2 cos α;α=(α-β)+β;β= 2 - 2 ;α可视为 2 的倍角; 4 ± α可视 ?π ? 2α 为?2± ?的半角等. ? ?

(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦. 1-cos 2α (5)公式的变形应用,如sin α=cos αtan α,sin α= , 2
2

1+cos 2α cos α= ,tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),1± α sin 2
2

? α α?2 cos =?sin2± 2? 等. ? ?

(6)化简三角函数式: asin α+bcos α= a +b
2 2

? sin(α+φ)?tan ?

b? φ=a?. ?

10.数列求和的常用方法 (1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公 1 式;③常用公式:1+2+3+?+n= 2 n(n+1);12+22+32 1 +?+n =6n(n+1)(2n+1);1+3+5+?+(2n-1)=n2.
2

(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将 “和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.

(3)倒序相加法:在数列求和中,若和式中到首尾距离相 等的两项和有其共性,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共 性的作用求和. (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通 项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法, 将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解. (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的 形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求 和.常用的裂项形式有:

1 1 1 ① = - ; n?n+1? n n+1 1 ? 1 1?1 ?; ② = ? - n?n+k? k?n n+k? 1 ? 1 1 1? 1 ③k2< 2 =2?k-1-k+1?; k -1 ? ? 1 1 1 1 1 1 1 - = <k2< = -k; k k+1 ?k+1?k ?k-1?k k-1
? 1 1 1? 1 ④ =2?n?n+1?-?n+1??n+2??; n?n+1??n+2? ? ?

n 1 1 ⑤ = - ; ?n+1?! n! ?n+1?! ⑥an=Sn-Sn-1(n≥2).

11.数列的通项的求法 (1)公式法:①等差数列的通项公式;②等比数列的通项公式. (2)已知Sn(即a1+a2+?+an=Sn)求an,用作差法:
?S1,n=1, ? an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

(3)已知a1·2· an=f(n),求an,用作商法: a ?·

?f?1?,n=1, ? an=? f?n? ?f?n-1?,n≥2. ?

(4)若an+1-an=f(n),求an,用累加法:an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+?+f(1)+ a1(n≥2). an+1 (5)若 a =f(n),求an,用累乘法: n an an-1 a2 an= · · a ·1 ?· a an-1 an-2 1 =f(n-1)· f(n-2)· f(1)·1(n≥2). ?· a

(6)an=kan-1+b,an=kan-1+bn(k,b为常数)的递推数列 都可以用待定系数法,先将问题转化为公比为k的等比数列 后,再求an. an-1 (7)形如an= 的递推数列可以用倒数法求通项. kan-1+b

12.已知定值求极值的常考形式及应试方法 (1)已知x>0,y>0,若积xy是定值p,则当x=y时,和x+ y有最小值2 p. (2)已知x>0,y>0,若和x+y是定值s,则当x=y时,积xy 12 有最大值4s . (3)已知a,b,x,y>0,若ax+by=1,则有
?1 1 ? 1 1 by ax ? + ? =a+b+ x + y =(ax+by) ?x y ? x + y ≥a+b+2 ab = ( a+ b)2.

13.求解线性规划问题 (1)二元一次不等式表示的平面区域:设点P(x1,y1), Q(x2,y2),l:Ax+By+C=0,若Ax1+By1+C与Ax2+By2+C 同号,则P,Q在直线l的同侧;异号则在直线l的异侧. (2)求解线性规划问题的步骤:①根据实际问题的约束条 件列出不等式;②作出可行域,写出目标函数;③确定目标函 数的最优位置,从而获得最优解. (3)可行域的确定:“线定界,点定域”,即先画出与不 等式对应的方程所表示的直线,然后代入特殊点的坐标,根据 其符号确定不等式所表示的平面区域.

(4)目标函数的几何意义:z=ax+by的几何意义是直线ax+ by-z=0在x轴上的截距的a倍,是直线ax+by-z=0在y轴上的 y-b 截距的b倍;z= 表示的是可行域内的点P(x,y)与点Q(a,b) x-a 连线的斜率;z=(x-a)2+(y-b)2表示的是可行域内的点P(x,y) 与点Q(a,b)的距离的平方. (5)线性目标函数在线性可行域内的最优解(非整点解)一般在 可行域的边界或顶点处取得.

14.证明位置关系的方法 a∥b ? ? α∥β? ? ??a∥α, b?α??a∥α, ? a?β ? ? a?α ? α⊥β? ? a⊥β ??a∥α. a?α ? ? α∥β ? ? α∩γ=a? ? β∩γ=b ? ?

(1)线面平行:

(2)线线平行:

a∥α ? ? a⊥α? ? ? ?a∥b, a?β ? ?a∥b, b⊥α? ? ? α∩β=b?

a∥b? ? ??b∥c. a∥b, a∥c ? ?

(3)面面平行:

a?α,b?α? ? a∩b=O ? ?α∥β, a∥β,b∥β ? ?

a⊥α? ? ? ?α∥β, a⊥β ? ?

α∥β? ? ??α∥γ. γ∥β ? ? a⊥α? ? ??a⊥b. (4)线线垂直: b?α? ?

(5)线面垂直:

a?α,b?α? ? a∩b=O ??l⊥α, l⊥a,l⊥b ? ?

α⊥β ? ? α∩β=l ?? a?α,a⊥l? ?

α∥β? a∥b ? ? ? ??a⊥β, ??b⊥α. a⊥β, a⊥α? a⊥α? ? ? a?β ? a∥β ? ? ? ??α⊥β, ??α⊥β. (6)面面垂直: a⊥α? a⊥α? ? ?
15.空间位置关系的转化

16.平面法向量的求法 求平面法向量的步骤为: (1)设平面的法向量为 n=(x,y,z); (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a=(a1,1, b c1),b=(a2,b2,c2); (3)根据法向量的定义建立关于 x,y,z
?n· ? a=0, 的方程组? ?n· ? b=0;

(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量的坐标.

17.用空间向量求空间角 (1)若异面直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,它们所成 的角为 θ,则 cos θ=|cos〈v1,v2〉|. (2)利用空间向量方法求直线与平面所成的角, 可以有两种办 法:一是分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为 求两个方向向量的夹角(或其补角); 二是通过平面的法向量来求, 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角, 取其余角就 是斜线和平面所成的角.

(3)利用空间向量方法求二面角,也可以有两种办法:一是分 别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向 量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二 是通过平面的法向量来求,设二面角的两个面的法向量分别为 n1 和 n2,则二面角的大小等于〈n1,n2〉(或 π-〈n1,n2〉). 注意:利用空间向量方法求二面角时,注意结合图形判断二 面角是锐角还是钝角.

18.直线与圆锥曲线的位置关系 可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一 元二次方程解的情况来判断. 设直线 l 的方程为 Ax+By+C=0, 圆锥曲线方程为 f(x,y)=0.
?Ax+By+C=0, ? 由? ?f?x,y?=0, ?

消元,

如消去 y 后得 ax2+bx+c=0.

(1)若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐 近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的 对称轴平行(或重合). (2)若a≠0,设Δ=b2-4ac. ①Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点; ②Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点; ③Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.

19.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2),则所得弦长 |P1P2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 或|P1P2|=
? 1? ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2]. k? ?

20.解答排列组合问题的角度 解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分 步”的角度入手. (1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”, 哪些是“位置”. (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有 无限制等. (3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相 排斥的几类,然后逐类解决.

(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一 步都是简单的排列组合问题,然后逐步解决. 21.解答关于二项式定理问题的五种方法 (1)常规问题通项分析法. (2)系数和差型赋值法. (3)近似问题截项法. (4)整除(或余数)问题展开法. (5)最值问题不等式法.

22.用样本估计总体 (1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横 坐标. (2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直 线与横轴交点的横坐标. (3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以 小矩形底边中点的横坐标之和.

23.方差与标准差的计算 标准差的平方就是方差,方差的计算 1 (1)基本公式 s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2].
2

1 2 (2)简化计算公式①s =n[(x1+x2+?+x2 )-n· 2],或写 x 2 n
2

1 2 成 s =n(x1+x2+?+x2 )- x 2, 即方差等于原数据平方和的平 2 n
2

均数减去平均数的平方.

1 (3)简化计算公式②s =n(x′2+x′2+?+x′2 )- x ′2 1 2 n
2

当一组数据中的数据较大时,可依照简化平均数的计算 方法,将每个数同时减去一个与它们的平均数接近的常数 a, 得到一组新数据 x1′=x1-a,x2′=x2-a,?,xn′=xn- a,即得上述公式. 24.复数的基本概念与运算问题的解题思路 (1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题,一 般是确定复数的实部和虚部,然后再根据实部、虚部所满足 的条件,列方程(组)求解.

(2)与复数 z 的模|z|和共轭复数 z 有关的问题,一般都要先 设出复数 z 的代数形式 z=a+bi(a,b∈R),代入条件,用待定 系数法解决. 25.用程序框图描述算法应注意的问题 (1)读懂程序框图,弄清程序框图的基本结构. (2)含有循环结构的程序,要执行完每一次循环,直至循环 结束.

26.应用合情推理应注意的问题 (1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适 当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论. (2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过 程,然后类比推导类比对象的性质.

四、考前必纠的 37 个易错点
易错点1 遗忘空集致误

由于空集是任何非空集合的真子集,因此B=?时也满足B?A. 解含有参数的集合问题时,要特别注意当参数在某个范围内取值 时所给的集合可能是空集这种情况. 易错点2 忽视集合元素的三性致误

集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,集合元素的三 性中互异性对解题的影响最大,特别是带有字母参数的集合,实 际上就隐含着对字母参数的一些要求.

易错点3

混淆命题的否定与否命题

命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念,命题 p的否定是否定命题所作的判断,而“否命题”是对“若p,则q” 形式的命题而言,既要否定条件也要否定结论. 易错点4 充分条件、必要条件颠倒致误

对于两个条件A,B,如果A?B成立,则A是B的充分条件,B 是A的必要条件;如果B?A成立,则A是B的必要条件,B是A的充 分条件;如果A?B,则A,B互为充分必要条件.解题时最容易出 错的就是颠倒了充分性与必要性,所以在解决这类问题时一定要根 据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.

易错点 5 “或”“且”“非”理解不准致误 命题 p∨q 真?p 真或 q 真,命题 p∨q 假?p 假且 q 假(概括为 一真即真); 命题 p∧q 真?p 真且 q 真, 命题 p∧q 假?p 假或 q 假(概 括为一假即假);綈 p 真?p 假,綈 p 假?p 真(概括为一真一假).
求参数取值范围的题目,也可以把“或”“且”“非”与集合的 “并”“交”“补”对应起来进行理解,通过集合的运算求解.

易错点 6 函数的单调区间理解不准致误 在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”, 学会从函 数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法.对于函数的几个不同 的单调递增(减)区间,切忌使用并集,只要指明这几个区间是该函 数的单调递增(减)区间即可.

易错点 7 判断函数的奇偶性忽略定义域致误 判断函数的奇偶性,首先要考虑函数的定义域,一个函数具备奇偶 性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称, 如果不具备这个条件, 函数一定是非奇非偶函数. 易错点 8 函数零点定理使用不当致误 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续的曲线,并且有 f(a)f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,但 f(a)f(b)>0 时, 不能否定函数 y=f(x)在(a, b)内有零点. 函数的零点有“变号零点” 和“不变号零点”,对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为 力”的,在解决函数的零点问题时要注意这个问题.

易错点 9 导数的几何意义不明致误 函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜 率.但在许多问题中,往往是要解决过函数图像外的一点向函数 图像上引切线的问题,解决这类问题的基本思想是设出切点坐 标,根据导数的几何意义写出切线方程.然后根据题目中给出的 其他条件列方程(组)求解.因此解题中要分清是“在某点处的切 线”,还是“过某点的切线”.

易错点 10

导数与极值关系不清致误

f′(x0)=0 只是可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的必要条件, 即必须有这个条件,但只有这个条件还不够,还要考虑是否满足 f′(x)在 x0 两侧异号.另外,已知极值点求参数时要进行检验.

易错点 11

三角函数的单调性判断致误

对于函数 y=Asin(ωx+φ)的单调性,当 ω>0 时,由于内 层函数 u=ωx+φ 是单调递增的,所以该函数的单调性和 y= sin x 的单调性相同, 故可完全按照函数 y=sin x 的单调区间解 决;但当 ω<0 时,内层函数 u=ωx+φ 是单调递减的,此时 该函数的单调性和函数 y=sin x 的单调性相反,就不能再按照 函数 y=sin x 的单调性解决,一般是根据三角函数的奇偶性将 内层函数的系数变为正数后再加以解决.对于带有绝对值的三 角函数应该根据图像,从直观上进行判断.

易错点 12 图像变换方向把握不准致误 函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,x∈R)的图像可 看作由下面的方法得到: (1)把正弦曲线上的所有点向左(当 φ>0 时)或向右(当 φ< 0 时)平行移动|φ|个单位长度; (2)再把所得各点横坐标缩短(当 ω>1 时)或伸长(当 0<ω 1 <1 时)到原来的ω倍(纵坐标不变); (3)再把所得各点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0< A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变).

即先作相位变换,再作周期变换,最后作振幅变换.若先 |φ| 作周期变换,再作相位变换,应左(右)平移 ω 个单位.另外注意 根据 φ 的符号判定平移的方向. 易错点 13 忽视零向量致误

零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为 0,其 方向是任意的,零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置 正如实数中 0 的位置一样,但有了它容易引起一些混淆,稍微 考虑不到就会出错,考生应给予足够的重视.

易错点 14 向量夹角范围不清致误 解题时要全面考虑问题. 数学试题中往往隐含着一些容易 被考生所忽视的因素, 能不能在解题时把这些因素考虑到, 是 解题成功的关键, 如当 a· b<0 时, 与 b 的夹角不一定为钝角, a 要注意 θ=π 的情况.

易错点 15

an 与 Sn 关系不清致误

在数列问题中,数列的通项 an 与其前 n 项和 Sn 之间存在下
?S ,n=1, ? 1 列关系: n=? a ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

这个关系对任意数列都是成立的,

但要注意的是这个关系式是分段的,在 n=1 和 n≥2 时这个关系 式具有完全不同的表现形式,这也是解题中经常出错的一个地 方,在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.

易错点 16 对等差、等比数列的定义、性质理解错误 等差数列的前 n 项和在公差不为 0 时是关于 n 的常数项为 0 的二次函数;一般地,有结论“若数列{an}的前 n 项和 Sn= an2+bn+c(a,b,c∈R),则数列{an}为等差数列的充要条件是 c=0”;在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)是等 差数列.

易错点 17

数列中的最值错误

数列问题中其通项公式、 n 项和公式都是关于正整数 n 前 的函数, 要善于从函数的观点认识和理解数列问题. 数列的通 项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是高考的命题重点,解题时要注意 把 n=1 和 n≥2 分开讨论, 再看能不能统一. 在关于正整数 n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对 称轴的远近而定.

易错点 18

错位相减求和时项数处理不当致误

错位相减求和法的适用条件:数列是由一个等差数列和一 个等比数列对应项的乘积所组成的,求其前 n 项和.基本方法 是设这个和式为 Sn,在这个和式两端同时乘以等比数列的公比 得到另一个和式,这两个和式错一位相减,就把问题转化为以 求一个等比数列的前 n 项和或前 n-1 项和为主的求和问题. 这 里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理.

易错点 19 不等式性质应用不当致误 在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要准确, 特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数式、两个不等 式相乘、一个不等式两端同时 n 次方时,一定要注意使其能 够这样做的条件,如果忽视了不等式性质成立的前提条件就 会出现错误.

易错点 20 忽视基本不等式应用条件致误 利用基本不等式 a+b≥2
?a+b? ? ?2 ab以及变式 ab≤? 等求函 2 ? ? ?

数的最值时,务必注意 a,b 为正数(或 a,b 非负),ab 或 a+ b 其中之一应是定值,特别要注意等号成立的条件.对形如 y b =ax+x(a,b>0)的函数,在应用基本不等式求函数最值时, b 一定要注意 ax,x的符号,必要时要进行分类讨论,另外要注 意自变量 x 的取值范围,在此范围内等号能否取到.

易错点 21 解含参数的不等式时分类讨论不当致误 解形如 ax2+bx+c>0 的不等式时, 首先要考虑对 x2 的系 数进行分类讨论.当 a=0 时,这个不等式是一次不等式,解 的时候还要对 b,c 进一步分类讨论;当 a≠0 且 Δ>0 时,不 等式可化为 a(x-x1)(x-x2)>0,其中 x1,x2(x1<x2)是方程 ax2 +bx+c=0 的两个根,如果 a>0,则不等式的解集是(-∞, x1)∪(x2,+∞),如果 a<0,则不等式的解集是(x1,x2).

易错点 22

不等式恒成立问题处理不当致误

解决不等式恒成立问题的常规求法是:借助相应函数的 单调性求解,其中的主要方法有数形结合法、变量分离法、 主元法.通过最值产生结论.应注意恒成立与存在性问题的 区别, 如对任意 x∈[a, b]都有 f(x)≤g(x)成立, f(x)-g(x)≤0 即 的恒成立问题,但对存在 x∈[a,b],使 f(x)≤g(x)成立,则 为存在性问题,即 f(x)min≤g(x)max,应特别注意两函数中的 最大值与最小值的关系.

易错点 23

忽视三视图中的实、虚线致误

三视图是根据正投影原理进行绘制,严格按照“长对 正,高平齐,宽相等”的规则去画,若相邻两物体的表面相 交,表面的交线是它们的原分界线,且分界线和可视轮廓线 都用实线画出,不可见的轮廓线用虚线画出,这一点很容易 疏忽.

易错点 24 面积、体积的计算转化不灵活致误 面积、体积的计算既需要学生有扎实的基础知识,又要用 到一些重要的思想方法,是高考考查的重要题型.因此要熟练 掌握以下几种常用的思想方法. (1)还台为锥的思想:这是处理台体时常用的思想方法. (2)割补法:求不规则图形面积或几何体体积时常用. (3)等积变换法:充分利用三棱锥的任意一个面都可作为底 面的特点,灵活求解三棱锥的体积.

(4)截面法:尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合问题, 常画出轴截面进行分析求解. 易错点 25 随意推广平面几何中的结论致误

平面几何中有些概念和性质,推广到空间中不一定成立. 例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直 于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立. 易错点 26 对折叠与展开问题认识不清致误

折叠与展开是立体几何中的常用思想方法, 此类问题注意折 叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量, 不仅要 注意哪些变了,哪些没变,还要注意位置关系的变化.

易错点 27

空间点、线、面位置关系不清致误

关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是高考全面 考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握程度的理想题型,历 来受到命题者的青睐,解决这类问题的基本思路有两个:一是逐 个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判 断;二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判 断,但要注意定理应用准确、考虑问题全面细致.

易错点 28 忽视斜率不存在致误 在解决两直线平行的相关问题时,若利用 l1∥l2?k1=k2 来求解, 则要注意其前提条件是两直线不重合且斜率存在.如果忽略 k1,k2 不 存在的情况,就会导致错解.这类问题也可以利用如下的结论求解, 即直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 平行的必要条件 是 A1B2-A2B1=0,在求出具体数值后代入检验,看看两条直线是不 是重合从而确定问题的答案.对于解决两直线垂直的相关问题时也有 类似的情况.利用 l1⊥l2?k1·2=-1 时,要注意其前提条件是 k1 与 k2 k 必须同时存在.利用直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2= 0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0,就可以避免讨论.

易错点 29 忽视零截距致误 解决有关直线的截距问题时应注意两点:一是求解时一定 不要忽略截距为 0 这种特殊情况;二是要明确截距为 0 的直线 不能写成截距式.因此解决这类问题时要进行分类讨论,不要 漏掉截距为 0 时的情况.

易错点 30

忽视圆锥曲线定义中的条件致误

利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定 义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中,有两点是缺一 不可的:其一,绝对值;其二,2a<|F1F2|.如果不满足第一个 条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值 为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.

易错点 31 忽视特殊性、误判直线与圆锥曲线位置关系 过定点的直线与双曲线的位置关系问题,基本的解决思路 有两个:一是利用一元二次方程的判别式来确定,但一定要注 意,利用判别式的前提是二次项系数不为零,当二次项系数为 零时,直线与双曲线的渐近线平行(或重合),也就是直线与双 曲线最多只有一个交点;二是利用数形结合的思想,画出图形, 根据图形判断直线和双曲线各种位置关系.在直线与圆锥曲线 的位置关系中,抛物线和双曲线都有特殊情况,在解题时要注 意,不要忘记其特殊性.

易错点 32 两个计数原理不清致误 分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题 最基本的原理,故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合 问题的前提,在解题时,要分析计数对象的本质特征与形成过程, 按照事件的结果来分类,按照事件的发生过程来分步,然后应用 两个基本原理解决.对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原 理,又要用到分步乘法计数原理,一般是先分类,每一类中再分 步,注意分类、分步时要不重复、不遗漏,对于“至少、至多” 型问题除了可以用分类方法处理外,还可以用间接法处理.

易错点 33

排列、组合不分致误

为了简化问题和表达方便, 解题时应将具有实际意义的排 列组合问题符号化、数学化,建立适当的模型,再应用相关知 识解决. 建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是组合 问题, 其依据主要是看元素的组成有没有顺序性, 有顺序性的 是排列问题,无顺序性的是组合问题.

易错点 34 混淆项的系数与二项式系数致误
r 在二项式(a+b)n 的展开式中, 其通项 Tr+1=Cnan-rbr 是指展

开式的第 r+1 项,因此展开式中第 1,2,3,?,n 项的二项式系
1 n 数分别是 C0 ,Cn,C2 ,?,Cn-1,而不是 C1 ,C2 ,C3 ,?, n n n n n

Cn.而项的系数是二项式系数与其他数字因数的积. n

易错点 35

循环结束的条件判断不准致误

控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循 环结束的条件. 在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变 化规律,其次要看清楚循环结束的条件,这个条件由输出要求所 决定,看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束. 易错点 36 条件结构对条件的判断不准致误

条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的, 其 中没有遗漏也没有重复,在解题时对判断条件要仔细辨别,看清 楚条件和函数的对应关系, 对条件中的数值不要漏掉也不要重复 了端点值.

易错点 37 复数的概念不清致误 对于复数 a+bi(a,b∈R),a 叫做实部,b 叫做虚部;当且 仅当 b=0 时,复数 a+bi(a,b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数.解 决复数概念类试题要仔细区分以上概念差别,防止出错.另外, i2=-1 是实现实数与虚数互化的桥梁,要适时进行转化,解题 时极易丢掉“-”而出错.

五、考前必做的4套保温训练卷 保温训练卷(一~四)