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高中数学人教A版选修2-2教学设计:1.7-定积分的简单应用教案

1.7 定积分的简单应用 一、教学目标 知识与技能:进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法;让学生深 刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理;初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法; 体会定积分在物理中应用(变速直线运动的路程、变力沿直线做功) 。 过程与方法:通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感、态度与价值观:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养 学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二、教学重点与难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三、教学过程 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么?2、定积分的几何意义是什么? 3、微积分基本定理是什么? 2、定积分的应用 (一)利用定积分求平面图形的面积 例 1.计算由两条抛物线 y 2 ? x 和 y ? x2 所围成的图形的面积. 分析:两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解: ? ?y ? x ? ? ?y ? x 2 ? x ? 0及x ? 1 ,所以两曲线的交点为(0,0) 、 y y? x (1,1) ,面积 S= ? 1 2 ? 1 0 xdx ? ? x dx ,所以 2 0 1 1 y=x2 ? 2 3 x3 ? 1 S = ? ( x - x )dx ? ? x 2 ? ? = 0 3 ?0 3 ?3 巩固练习 计算由曲线 y ? x3 ? 6x 和 y ? x2 所围成的图形的面积. O x 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤: 1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4.微积分基本定理求定积分。 例 2.计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2 x 以及 x 轴所围图形的面积 S. 分析:首先画出草图(图 1.7 一 2 ) , 形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问 的是,还需把所求图形的面积分成两部分 S1 出被积函数和积分的上、下限,需要求出直 线 y ? 2x 的 交 点 的 横 坐 标 , 直 线 轴的交点. 解: 作出直线 y ? x ? 4 , 曲线 y ? 积为图 1. 7 一 2 阴影部分的面积. 解方程 组 ? 并设法把所求图 题.与例 1 不同 和 S2.为了确定 线 y ? x ? 4 与曲 y ? x?4 与 x 2x 的草图,所求面 ? y ? 2x , ? 得直线 y ? x ? 4 与 ? ?y ? x ? 4 曲线 y ? 2x 的 交点的坐标为(8,4) . 直线 y ? x ? 4 与 x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为 S=S1+S2 ? ? 4 0 2 xdx ? [? 8 4 2 xdx ? ? ( x ? 4)dx] 4 8 -1- ? 2 2 3 2 2 3 1 40 4 x 2 |0 ? x 2 |8 ( x ? 4)2 |8 4 ? 4? 3 3 2 3 由上面的例题可以发现,在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观 确定出被积函数以及积分的上、下限. 2? 2? 例 3.求曲线 y ? sin x  x ?[0, ] 与直线 x ? 0, x ? 3 3 y 轴所围成的图形面积。 x 2? 2? 3 答案: S=? 3 sin xdx ? ? cos x |o3 ? 0 2 o x 2? 练习 1、求直线 y ? 2 x ? 3 与抛物线 y ? x 2 所围成的图形面积。 2 x+3 -x 2 )dx ? (x 2 ? 3x ? 答案: S=??( 1 3 3 x3 3 32 ) |?1 ? 3 3 y 2、求由抛物线 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 及其在点 M(0,-3) 和 N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积。 略解:? y / ? ?2 x ? 4 ,切线方程分别为 y ? 4 x ? 3 、 y ? ?2 x ? 6 ,则所求图形的面积为 o y=-x2+4x-3 9 4 x S= ? 3 2 [(4 x 0 ? 3) ? (? x 2 ? 4 x ? 3)]dx ? ? 3 [( ?2 x 2 3 ? 6) ? ( ? x 2 ? 4 x ? 3)]dx= 3、求曲线 y ? log 2 x 与曲线 y ? log2 (4 ? x) 以及 x 轴所围成的图形面积。 略解:所求图形的面积为 S= 【g( y) ? f ( y)dy ? 0 ? 1 ? (4 ? 2 ? 2 0 1 y )dy ? ( 4 y ? 2 ? 2 y log2 e) |1 0 ? 4 ? 2 log2 e 4、在曲线 y ? x ( x ? 0) 上的某点 A 处作一切线使之与曲 2 x y=x2 A O 方程. 1 线以及 x 轴所围成的面积为 .试求: 切点 A 的坐标以及切线 12 略解:如图由题可设切点坐标为 (x 0 , x 0 ) ,则切线方程 为 y ? 2 x 0 x ? x 0 ,切线与 x 轴的交点坐标为 2 2 BC x x 3 x0 x ,0) ,则由题可知有 S ? ?02 x2dx ? ?x ( x2 ? 2 x0 x ? x02 )dx ? x0 ? 1 12 12 2 2 ? x 0 ? 1 ,所以切点坐标与切线方程分别为 A(1,1), y ? 2 x ? 1 [a, b]上的曲线y ? f ( x)与直线x ? a 、 x ? b以及x 轴所围成的图形 总结:1、定积分的几何意义是: 在区间 ( 0 0 0 的面积的代数和,即 ? f ( x)dx ? S a b x轴上方-S x轴下方 . 因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基