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数学卷·2015届江苏省扬州中学高三8月开学考试(2014.08)


扬州中学 2015 届高三 8 月开学考试
【试卷综析】 试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、 两个意识考查的同时,注重对数学 思想与方法的考查,体现了数学的基础性、 应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系 的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、 多维度、 多层次地考查数 学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能. 一、填空题: (每小题 5 分,共 14 题,总分 70 分) 【题文】1. f ( x) ? 3 sin x, x ? [0,2? ] 的单调减区间为 【知识点】正弦函数的单调性.C3

p 3p p 3p ] 解析:∵ ] 上递减, y=sinx 在 [ , 2 2 2 2 p 3p ]. 故 y=3sinx 在[0,2π]的单调减区间为 [ , 2 2 p 3p ]. 故答案为: [ , 2 2
【答案解析】 [ ,

【思路点拨】直接代入正弦函数在[0,2π]的单调减区间即可得到结论. 【题文】2.若复数 z=1+ai(i 是虚数单位)的模不大于 2,则实数 a 的取值范围是 【知识点】复数的基本概念;复数代数形式的混合运算. L4
菁优

【答案解析】 [? 3 , 3 ] 解析:复数 z=1+ai(i 是虚数单位)的模不大于 2, 即:1+a ≤4 即 a ≤3 可得 a∈ [? 3 , 3 ] 故答案为: [? 3 , 3 ] 【思路点拨】由于复数的模不大于 2,可得不等式,然后求解即可. 【题文】3.若方程 ln x ? 2 x ? 10 ? 0 的解为 x 0 ,则大于 x 0 的最小整数是 【知识点】函数的零点与方程根的关系.B9 【答案解析】5 解析:由条件:lnx+2x﹣10=0 得 lnx=10﹣2x, 分别作出函数 y=lnx 和 y=10﹣2x 的图象:
2 2

观察交点在(4,5)内.则大于 x 0 的最小整数是 5.故答案为:5. 【思路点拨】由条件:lnx+2x﹣10=0 得 lnx=10﹣2x,欲求出方程的近似解,利用图解法,分 别作出函数 y=lnx 和 y=10﹣2x 的图象,观察交点在(4,5)内,从而得出结论. 【题文】4.设 A、B 是非空集合,定义 A ? B ? {x | x ? A ? B且x ? A ? B} . 已知 A ? x | y ?

?

2 x ? x 2 , B ? y | y ? 2 x , x ? 0 ,则 A ? B ?

?

?

?

【知识点】 元素与集合关系的判断; 函数的值域; 指数函数的定义、 解析式、 定义域和值域. A1 B1 B6 【答案解析】 [0,1] ? (2,??) 解析:∵ A? x| y ? 又∵ B={y|y>1}. B ? y | y ? 2 , x ? 0 ,∴
x

?

A={x|0≤x≤2}; 2 x ? x 2 ,∴

?

?

?

又∵ A×B={x|x∈A∪ B 且 x?A∩ B},∴ A×B={x|0≤x≤1 或 x>2}. 故答案为 [0,1] ? (2,??) . 【思路点拨】根据集合 A、B 中元素的特点先明确此两个集合中的元素,然后根据给出的定 义确定集合 A×B 的元素即可. 【题文】5.将函数 y ? sin( 2 x ? 有点的横坐标变为原来的

?
3

) 的图象上的所有点向右平移

?
6

个单位,再将图象上所

1 倍(纵坐标不变) ,则所得的图象的函数解析式为 2

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4 【答案解析】 y ? sin 4 x 解析:将函数 y ? sin( 2 x ? 位,得到函数 y = sin(2 x -

?
3

) 的图象上的所有点向右平移

p 个单 6

p p + ) =sin2x, 3 3 1 再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) , 2

则所得的图象的函数解析式为 y ? sin 4 x .故答案为: y ? sin 4 x . 【思路点拨】按照左加右减的原则,求出函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象上的所有点向右平移 1 倍时的解析式即可. 2

?
6

个单位的解析式,然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的

【题文】6.下列说法中,正确的有

. (写出所有正确命题的序号) .

①若 f?(x0)=0,则 f(x0)为 f(x)的极值点; ②在闭区间[a,b]上,极大值中最大的就是最大值; ③若 f(x)的极大值为 f(x1) ,f(x)的极小值为 f(x2) ,则 f(x1)>f(x2) ; ④有的函数有可能有两个最小值; ⑤ 已 知 函 数 f ( x) ? e , 对 于 f ( x) 定 义 域 内 的 任 意 一 个 x1 都 存 在 唯 一 个
x

x 2 , 使f ( x1 ) f ( x 2 ) ? 1 成立.
【知识点】命题的真假判断与应用. A2


【答案解析】⑤解析:① 若 f′ (x0)=0,f(x0)不一定为 f(x)的极值点, 3 例如函数 y=x ,当 x=0 时 y′ =0,但 x=0 不是它的极值点.故① 错误; ② 在闭区间[a,b]上,函数的最大值可能是极大值,也可能是端点函数值,故② 错误; ③ 函数的极大值不一定大于极小值,故③ 错误; ④ 在闭区间[a,b]上,函数的最小值有且仅有一个,故④ 错误; ⑤ 已知函数 f ( x) ? e ,对于 f ( x) 定义域内的任意一个 x1 都存在唯一个 x2 ,则
x

e e =1?x1+x2=0,故⑤ 正确. 故答案为:⑤ 【思路点拨】根据极值和最值的概念逐一判断,函数的极值是与它附近的点比较,比附近其 他点的函数值都小的叫极小值,比附近其它点都大的叫极大值,所以,而且极大值左侧导数 大于 0,右侧导数小于 0,极小值左侧导数小于 0,右侧导数大于 0.函数在区间[a,b]上有 且仅有一个最大值,在极大值处或端点处取得,区间[a,b]上有且仅有一个最小值,在极小 x1 x2 值处或端点处取得.即可判断① 错,② 错,③ 错,④ 错.对于⑤ ,e e =1?x1+x2=0,即可判断. 【题文】7.设向量 a,b 的夹角为 θ,a=(2,1) ,a+3b=(5,4) ,则 sinθ= 【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.F3 【答案解析】 可得, b =

x1 x2

10 解析:根据题意,由 a = ( 2,, 1) a +3b = ( 5, 4) , 10

1轾 a + 3b - a = ( 1,1) ,则 a = 5, b = 2 , 臌 3犏

(

)

cosq =

2? 1 1 1 3 10 2 = ,则 sin q = 1 - cos q = . 10 2? 5 10

【思路点拨】根据题意,易得 b 的坐标,进而由向量模的计算可得 a 、 b 的模,再根据向量 的数量积的计算,可得 cos q ,最后由同角三角函数基本关系式,计算可得答案. 【题文】8.若一次函数 f ( x) 满足 f [ f ( x)] ? x ? 1 ,则 g ( x) ? 【知识点】函数的值域.B3 【答案解析】 [2, ??) 解析:设 f ( x) = kx +b k

f 2 ( x) ( x ? 0) 的值域为 x

(

0)

∴f [ f ( x)] = k kx + b + b = k2 x + kb + b = k 2x + k +1 b …① 依题意: f [ f ( x)] ? x ? 1 …② ∴ 比较① 和② 的系数可得:

(

)

(

)

k 2 = 1 …③ ; ( k +1) b =1 …④ ,由③ ④ 得:k=1,b=

1 ,k=﹣1(舍去) 2

骣 1 x+ 琪 琪 1 2 桫 ∴ f(x)=x+ ,则 g ( x) = 2 x

2

=x+

1 1 +1 匙 2 x +1 = 2 . 4x 4x

1 f 2 ( x) 当且仅当 x= 时取等号,∴ g ( x) ? ( x ? 0) 的值域为 [2, ??) . 2 x
故答案为: [2, ??) . 【 思 路 点 拨 】 函 数 f ( x ) 的 形 式 是 一 次 函 数 , 利 用 待定 系 数 先 设 出 f ( x ) , 代 入 等 式

f [ f ( x)] ? x ? 1 ,解方程求出 f ( x) 得到 g ( x) 的解析式,然后利用基本不等式可求出函数

g ( x) 的值域.
2 【题文】9.设函数 f ( x) ? 1 ? x sin x 在 x ? x 0 处取极值,则 (1 ? x 0 )(1 ? cos 2 x0 ) =

【知识点】函数在某点取得极值的条件.B12 【答案解析】2 解析: f ( x) ? 1 ? x sin x 则 f′ (x)=﹣sinx﹣xcosx, 令﹣sinx﹣xcosx=0,化得 tanx=﹣x,∴ x0 =tan x0,
2 ∴ (cos2x0+1)= (1 ? x0 )(1 ? cos 2 x0 ) =(tan x0+1)

2

2

2

cos2 x0 + sin 2 x0 ? 2cos2 x0 2 cos x0
2

2.

故答案为 2 【思路点拨】先根据函数 f ( x) ? 1 ? x sin x 在 x=x0 处取得极值可得出 x0 =tan x0 ,代入
2

2 (1 ? x0 )(1 ? cos 2 x0 ) 化简求值即可得到所求答案.

【题文】10.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知

sin A sin B ? sin B sin C ? cos 2 B ? 1 。若 C ?
【知识点】正弦定理的应用. C8


2? a ,则 ? 3 b

3 解析:在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 5 ∵ 已知 sin A sin B ? sin B sin C ? cos 2 B ? 1 ,
【答案解析】

sinAsinB + sinBsinC = 2sin B . ∴
再由正弦定理可得 ab+bc=2b ,即 a+c=2b,故 a,b,c 成等差数列.
2

2

C=

2p ,由 a,b,c 成等差数列可得 c=2b﹣a, 3

由余弦定理可得 2b﹣a
2

(

)

2

= a 2 + b2 ﹣ 2abcosC = a 2 + b 2 + ab .

化简可得 5ab=3b ,∴ =

a b

3 3 .故答案为: . 5 5
2

【思路点拨】由条件利用二倍角公式可得 sinAsinB + sinBsinC = 2sin B ,再由正弦定理可 得 ab+bc=2b ,即 a+c=2b,由此可得 a,b,c 成等差数列.通过 C = 由余弦定理可得 2b﹣a
2

(

)

2

2p ,利用 c=2b﹣a, 3 a = a 2 + b2 ﹣ 2abcosC ,化简可得 5ab=3b2,由此可得 的值. b

【题文】11.函数 y=sinx 与 y=cosx 在 [0, 围成的三角形的面积为

?

2

] 内的交点为 P,在点 P 处两函数的切线与 x 轴所

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B11 【答案解析】

ì 2 ? y = sin x 解析:联立方程 í 2 ? ? y = cos x
p p 2 ]内的交点为 P 坐标是( , ) , 2 4 2 p p 2 2 2 2 = (x﹣ )和 y﹣ =﹣ (x﹣ ) , 4 4 2 2 2 2

解得 y = sin x 与 y = cos x 在[0,

则易得两条切线方程分别是 y﹣ y=0 时,x=

p p ﹣1,x= +1, 4 4
p p p 2 , ) ; ( ﹣1,0) ; ( +1,0) , 4 4 4 2

于是三角形三顶点坐标分别为 (

s=

1 2 2 2 2 ×2× = ,即它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 .故答案为: 2 2 2 2 2

【思路点拨】先联立 y = sin x 与 y = cos x 求出在[0,

p ]内的交点为 P 坐标,然后求出该点 2

处两切线方程,从而求出三角形的三个顶点坐标,最后根据面积公式解之即可. 【题文】 12 .已知 ?ABC 是边长为 4 的正三角形, D 、 P 是 ?ABC 内部两点,且满足

AD ?

1 1 ( AB ? AC ), AP ? AD ? BC ,则 ?APD 的面积为 4 8

【知识点】向量在几何中的应用.F3 【答案解析】

3 解析:取 BC 的中点 E,连接 AE,根据△ ABC 是边长为 4 的正三角形 4
1 ( AB + AC ), 2

∴ AE⊥ BC, AE = 而 AD =

1 ( AB + AC ), ,则点 D 为 AE 的中点,AD= 3 . 4 1 1 取 AF = BC ,以 AD,AF 为边作平行四边形,可知 AP = AD + BC = AD + AF 8 8
而△ APD 为直角三角形, AF =

1 1 1 ,∴ △ APD 的面积为 创 2 2 2

3=

3 4

故答案为:

3 . 4

【思路点拨】根据题意找出点 D 与点 P 的位置,然后利用三角形的面积公式求出△ APD 的面 积即可. 【题文】 13 .设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0时, f ( x) ? x ,若对任意的
2

x ? [t , t ? 2] ,不等式 f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是
【知识点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质.B4 【答案解析】 [ 2 ,??) 解析:当 x ? 0时, f ( x) ? x ,∵ 函数是奇函数,∴ 当 x<0 时,
2

2 ì ? x ,x? 0 , f ( x) = - x 2 ,∴f ( x) = í 2 ? ? - x ,x <0

∴f ( x ) 在 R 上是单调递增函数,且满足 2 f ( x) = f ( 2x) , ∵ 不等式 f ( x ? t ) ? 2 f ( x) = f ( 2 x) 在 [t , t + 2] 恒成立, ∴ x +t

2 x 在 [t , t + 2] 恒成立,即: x ? 1

(

2 t 在 [t , t + 2] 恒成立,

)

t +2 ? 1 ∴

(

2 t 解得: t ?

)

2 ,故答案为 [ 2 ,??) .
2

【思路点拨】由当 x ? 0时, f ( x) ? x ,函数是奇函数,可得当 x<0 时, f ( x) = - x 2 ,从 而 f ( x ) 在 R 上 是 单 调 递 增 函 数 , 且 满 足 2 f ( x) = f ( 2x) , 再 根 据 不 等 式 在 [t , t + 2] 恒成立,可得 x +t f ( x ? t ) ? 2 f ( x) = f ( 2 x ) 得出答案. 【题文】14.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R ), 对任意的 x ? R ,恒有 f ( x) ? f ( x) .
2 '

2 x 在 [t , t + 2] 恒成立,即可

若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f (c) ? f (b) ? M (c ? b ) 恒成立,则 M 的最小值
2 2

为 【知识点】利用导数研究函数的单调性.B12 【答案解析】

3 2 解析: f ? ? x ? ? 2x ? b ,由题设对任意的 x ? R , 2 x ? b ? x ? bx ? c , 2
2

2 即 x ? ?b ? 2? x ? c ? b ? 0 恒成立,所以 ? b ? 2 ? ? 4 ? c ? b ? ? 0 ,从而 c ?

b2 ?1 , 4

于是 c ? 1 ,且 c ? 2

b2 ?1 ? b , 4
f ? c ? ? f ? b ? c 2 ? b2 ? bc ? b 2 c ? 2b ? ? , c 2 ? b2 c 2 ? b2 b?c

当 c ? b 时,有 M ? 令t ?

b c ? 2b 1 ? 2? ,则﹣1<t<1, , c b?c t ?1

而函数 g ? t ? ? 2 ?

1 3? ? (﹣1<t<1)的值域是 ? ??, ? ; t ?1 2? ?

因此,当 c ? b 时,M 的取值集合为 ? , ?? ? ;

?3 ?2

? ?

当 c ? b 时,由(Ⅰ )知,b=±2,c=2,此时 f(c)﹣f(b)=﹣8 或 0,

3 2 2 (c ﹣b )恒成立; 2 3 3 综上所述,M 的最小值为 . 故答案为: . 2 2
c ﹣b =0,从而 f(c)﹣f(b)≤
2 2 2 【思路点拨】 f ? ? x ? ? 2x ? b ,由题设 x2 ? ?b ? 2? x ? c ? b ? 0 恒成立,从而(b﹣2) ﹣4

3 b2 ? 1 ,由此利用导数性质能求出 M 的最小值为 . (c﹣b)≤0,进而 c ? 2 4
二、解答题: (共 6 小题,总分 90 分) 【题文】15. (本题 14 分)已知 a ? (2sin( x ?

?

), 3), b ? (cos( x ? ), 2 cos 2 ( x ? )), 且 2 2 2

?

?

0 ? ? ? ? , f ( x) ? a ? b ? 3 ,且 f ( x) 为偶函数.
(1)求 ? ; (2) 求满足 f ( x) ? 1 , x ? [ ?? , ? ] 的 x 的集合.

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.F3

5? ? ? ? 5? (2) {﹣ ,﹣ , , } 6 6 6 6 6 ? ? ? 2 解析: (1)∵f ( x) ? a ? b ? 3 = 2sin( x ? ) cos( x ? ) + 3 × 2 cos ( x ? ) ﹣ 3 2 2 2 ? =sin(2x+θ)+ 3 (cos(2x+θ)+1)﹣ 3 =2sin(2x+θ+ ) , 3 ? ? ? 且 f(x)为偶函数,0≤θ≤π;∴ θ+ = ,解得 θ= ; 3 2 6 ? ? (2)∵ f(x)=2sin(2x+ + )=2cos2x, 6 3 1 ? 当 f(x)=1 时,2cos2x=1,∴ cos2x= ;∴ 2x=± +2kπ,k∈Z, 2 3 5? ? ? ? 5? ∴ x=± +kπ,k∈Z;∴ 在 x∈[﹣π,π]时,x 的取值是﹣ ,﹣ , , ; 6 6 6 6 6 5? ? ? 5? ∴ x∈{﹣ ,﹣ , , }. 6 6 6 6
【答案解析】 (1) 【思路点拨】 (1)利用平面向量的数量积化简 f(x) ,由 f(x)是偶函数,且 0≤θ≤π 求出 θ 的值; (2)由(1)得 f(x)的解析式,f(x)=1 时,求出 x∈[﹣π,π]时,x 的取值即可. 【题文】 16. (本题 14 分) 已知命题 p : 指数函数 f ( x) ? (2a ? 6) 在 R 上单调递减, 命题 q :
x

关于 x 的方程 x 2 ? 3ax ?2a 2 ? 1 ? 0 的两个实根均大于 3.若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为 假,求实数 a 的取值范围. 【知识点】复合命题的真假.A2

【答案解析】

7 5 ? a ?3或a ? . 2 2
x

解析:若 p 真,则 f ( x) ? (2a ? 6) 在 R 上单调递减,

0 ? 2a ? 6 ? 1 ,∴ 3? a ? ∴

7 . 2

若 q 真,令 f ? x ? ? x2 ? 3ax ? 2a2 ?1 ,则应满足

?? ? ? ?3a ?2 ? 4 ? 2a 2 ? 1? ? 0 ? ? a ? 2或a ? ?2 ? ? ? ?3a ? ?3 a?2 ∴ , ? ? 2 ? ? 5 ? f ? 3? ? 9 ? 9a ? 2a 2 ? 1 ? 0 ? a ? 2或a ? ? ? 2
a? ∴ 5 , 2

又由题意应有 p 真 q 假或 p 假 q 真.

7 ? 3? a ? ? ? 2 ① 若 p 真 q 假,则 ? ,a 无解. 5 ? a? ? ? 2 7 ? a ? 3或a ? ? ? 2 ② 若 p 假 q 真,则 ? 5 ? a? ? ? 2
∴ ? a ?3或a ?

5 2

7 . 2

【思路点拨】根据指数函数的单调性求出命题 p 为真命题时 a 的范围,利用二次方程的实根 分布求出命题 q 为真命题时 a 的范围; 据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p 或 q 为真,p 且 q 为假”转化为 p q 的真假,列出不等式解得. 【 题 文】 17 . ( 本题 14 分 ) 在 ?ABC 中 , 内角 A, B, C 所 对 的边 分 别为 a, b, c . 已 知

a ? b, c ? 3 , cos 2 A - cos 2 B ? 3 sin A cos A - 3 sin B cos B.
(1)求角 C 的大小; (2)若 sin A ?

4 ,求 ?ABC 的面积. 5

【知识点】正弦定理;二倍角的正弦;二倍角的余弦.C8 【答案解析】 (1) C ?

?
3

(2)

8 3 ? 18 25

解析: (1)由题意得,

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 3 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B , 2 2 2 2



3 1 3 1 sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 B ? cos 2 B , 2 2 2 2

sin(2 A ? ) ? sin(2 B ? ) ,由 a ? b 得, A ? B ,又 A ? B ? ? 0, ? ? ,得 6 6 ? ? 2? ? ,所以 C ? ; 2 A ? ? 2 B ? ? ? ,即 A ? B ? 6 6 3 3 4 a c 8 (2)由 c ? 3 , sin A ? , 得a ? , ? 5 sin A sin C 5 3 由 a ? c ,得 A ? C ,从而 cos A ? ,故 5

?

?

sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ? 1 8 3 ? 18 . ac sin B ? 2 25

4?3 3 , 10

所以 ?ABC 的面积为 S ?

【思路点拨】 (1) △ABC 中, 由条件利用二倍角公式化简, 求得 sin(2 A ? 可得 A+B 的值,从而求得 C 的值. (2)由 sin A ?

?

) ? sin(2 B ? ) , 6 6

?

4 求得 cosA 的值.再由正弦定理求得 a, 5 1 再求得 sin B ? sin ? A ? C ? 的值,从而求得△ABC 的面积为 ac sin B 的值. 2 【题文】18. (本题 16 分)一走廊拐角处的横截面如图所示,已知内壁 FG 和外壁 BC 都是
半 径 为 1m 的 四 分 之 一 圆 弧 , AB,DC 分 别 与 圆 弧 BC 相 切 于 B,C 两 点 ,

EF / / AB,GH / / CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度
都是 1m. (1) 若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M ,N 分别在外 壁 CD 和 AB 上 ,且木 棒与 内壁圆 弧相 切于点 P, 设

?CMN ? ? ( rad ), 试用 ? 表示木棒 MN 的长度 f ( ? );
(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值。 【知识点】解三角形的实际应用;函数模型的选择与应用.C8 【答案解析】 (1) MN ?

2 ? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? ?? (2) 4 2 ? 2 ?0 ?? ? ? ; sin ? cos ? 2? ?

解析: (1)如图,设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q,过 Q 点作 CD 垂线,垂足为点 T,且 交 MN 或其延长线与于 S,并连接 PQ,再过 N 点作 TQ 的垂线,垂足为 W.

在 Rt△ NWS 中,因为 NW=2,∠ SNW=θ, 所以 .

因为 MN 与圆弧 FG 切于点 P,所以 PQ⊥ MN, 在 Rt△ QPS,因为 PQ=1,∠ PQS=θ, 所以 , ,

① 若 M 在线段 TD 上,即 S 在线段 TG 上,则 TS=QT﹣QS, 在 Rt△ STM 中, 因此 MN=NS+MS= . ,

② 若 M 在线段 CT 上,即若 S 在线段 GT 的延长线上,则 TS=QS﹣QT, 在 Rt△ STM 中, 因此 MN=NS﹣MS= f(θ) =MN= = = , .

MN ?

2 ? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? ?? ?0 ?? ? ? sin ? cos ? 2? ?
,则 ,

(2)设

因此 以 g′ (t)<0 恒成立, 因此函数 在

.因为

,又

,所

是减函数,所以

, 即 .

所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为 4 2 ? 2 .

【思路点拨】 (1)如图,设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q,过 Q 点作 CD 垂线,垂足为点 T, 且交 MN 或其延长线与于 S,并连接 PQ,再过 N 点作 TQ 的垂线,垂足为 W.在 Rt△NWS 中用 NW 和∠SNW 表示出 NS,在 Rt△QPS 中用 PQ 和∠PQS 表示出 QS,然后分别看 S 在 线段 TG 上和在线段 GT 的延长线上分别表示出 TS=QT﹣QS,然后在 Rt△STM 中表示出 MS, 利用 MN=NS+MS 求得 MN 的表达式和 ( f θ) 的表达式. (2) 设出 sinθ+cosθ=t, 则 sinθcosθ 可用 t 表示出,然后可得 f(θ)关于 t 的表达式,对函数进行求导,根据 t 的范围判断出导 函数小于 0 推断出函数为减函数.进而根据 t 的范围求得函数的最小值.

be x ?1 【题文】19. (本题 16 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) x
x

处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 .

(Ⅰ)求 a, b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.B12 【答案解析】 (1) a ? 1, b ? 2. (2)见解析 解析: (Ⅰ )函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , f '( x) ? ae 1nx ?
x

a x b x ?1 b x ?1 e ? 2e ? e . x x x

由题意可得 f (1) ? 2, f '(1) ? e. 故 a ? 1, b ? 2.

2 x ?1 e , x 2 ?x 从而 f ( x) ? 1 等价于 x1nx ? xe ? ,设函数 g ( x) ? x1nx ,则 g '( x) ? 1nx. e 1 1 ∴ 当 x ? (0, ) 时, g '( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, g '( x) ? 0. e e
(Ⅱ )由(Ⅰ )知, f ( x) ? e 1n ?
x

故 g ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减, 在 ? , ?? ? 上单调递增, 从而 g ( x) 在 ?0,+?? 上的最小值为

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 1 g( )=- . e e
设函数 h( x) ? xe
?x

?

2 ?x ,则 h '( x) ? e (1 ? x) . e

∴ 当 x ? (0,1) 时, h '( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, h '( x) ? 0 , 故 h( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减, 从而 h( x) 在 (0, ?) 上的最大值为 h(1) ? ? . 综上,当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 . 【思路点拨】 (Ⅰ )求出定义域,导数 f '( x) ,根据题意有 f (1) ? 2, f '(1) ? e. ,解出即可; (Ⅱ )由(Ⅰ ) 知 , f ( x ) ? 1等 价 于 x1 n x? x e ?
?x

1 e

2 , 设 函 数 g ( x) ? x1 n x ,函数 e

h( x) ? xe ? x ?
max;

2 ,只需证明 g(x)min>h(x)max,利用导数可分别求得 g(x)min,h(x) e

【题文】20. (本题 16 分)设 f ( x) 使定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) .如果 存 在 实 数 a 和 函 数 h( x) , 其 中 h( x) 对 任 意 的 x ? (1,??) 都 有 h( x) >0 , 使 得

f ' ( x) ? h( x)( x 2 ? ax ? 1) ,则称函数 f ( x) 具有性质 P(a ) .
(1)设函数 f ( x) ? ln x ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数 x ?1

①求证:函数 f ( x) 具有性质 P (b) ,②求函数 f ( x) 的单调区间。 (2)已知函数 g ( x) 具有性质 P ( 2) ,给定

x1 , x 2 ? (1,??), x1 ? x 2 , 设m为实数, ? ? mx1 ? (1 ? m) x 2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx 2 , 且

? ? 1, ? ? 1 ,若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,求 m 的取值范围。
【知识点】不等式比较大小;利用导数研究函数的单调性. L4


【答案解析】 (1)①见解析;②当 b≤2 时,f(x)在区间(1,+∞)上递增;

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 当 b>2 时,f(x)在 (1, , )上递减;f(x)在[ ,+∞)上递增. 2 2
(2) (0,1) 解析: (1)① f '( x) ?

1 b?2 1 1 ? ? ( x 2 ? bx ? 1) ∵ x ? 1 时, h( x) ? ?0恒 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

成立,∴函数 f ( x) 具有性质 P (b) ; ②当 b≤2 时,对于 x>1,φ(x)=x ﹣bx+1≥x ﹣2x+1=(x﹣1) >0
2 2 2

所以 f′ (x)>0,故此时 f(x)在区间(1,+∞)上递增; 当 b>2 时,φ(x)图象开口向上,对称轴 x=

b >1, 2

方程 φ(x)=0 的两根为:

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 , 2 2



b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 ? 1, ? ? ? 0,1? , 2 2 b ? b ? b2 ? 4
b ? b2 ? 4 )时,φ(x)<0,f′ (x)<0, 2

当 x∈(1,

b ? b2 ? 4 故此时 f(x)在区间 (1, )上递减; 2
同理得:f(x)在区间[

b ? b2 ? 4 ,+∞)上递增. 2

综上所述,当 b≤2 时,f(x)在区间(1,+∞)上递增; 当 b>2 时,f(x)在 (1, ,

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 )上递减;f(x)在[ ,+∞)上递增. 2 2
2

(2)由题设知,函数 g(x)得导数 g′ (x)=h(x) (x ﹣2x+1) ,其中 h(x)>0 对于任意 得 x∈(1,+∞)都成立 ∴ 当 x>1 时,g′ (x)=h(x) (x﹣1) >0,从而 g(x)在(1,+∞)上单调递增 ① m∈(0,1) ,α=mx1+(1﹣m)x2>mx1+(1﹣m)x1=x1 α<mx2+(1﹣m)x2=x2∴ α∈(x1,x2)同理可得 β∈(x1,x2) 由 g(x)得单调性可知,g(α) ,g(β)∈(g(x1) ,g(x2) ) 从而有|g(α)﹣g(β)|≥|g(x1)﹣g(x2)|符合题意 ② m≤0 时,α=mx1+(1﹣m)x2≥mx2+(1﹣m)x2=x2 β=(1﹣m)x1+mx2≤(1﹣m)x1+mx1=mx1 于是由 α>1,β>1 及 g(x)得单调性可知 g(β)≤g(x1)<g(x2)≤g(α) ∴ |g(α)﹣g(β)|≥|g(x1)﹣g(x2)|与题设不符 ③ m≥1 时,同理可得 α≤x1,β≥x2,进而可得|g(α)﹣g(β)|≥|g(x1)﹣g(x2)|与题设不符, 综合① ② ③ 可得 m∈(0,1) 【思路点拨】 (1)①先求出函数 f(x)的导函数 f′ (x) ,然后将其配凑成 f′ (x)=h(x) (x ﹣bx+1)这种形式,再说明 h(x)对任意的 x∈(1,+∞)都有 h(x)>0,即可证明函数 2 f(x)具有性质 P(b) ;②根据第一问令 φ(x)=x ﹣bx+1,讨论对称轴与 2 的大小,当 b≤2 时,对于 x>1,φ(x)>0,所以 f′ (x)>0,可得 f(x)在区间(1,+∞)上单调性,当 b>2 时,φ(x)图象开口向上,对称轴 x=
2 2

b >1,可求出方程 φ(x)=0 的两根,判定两 2

根的范围,从而确定 φ(x)的符号,得到 f′ (x)的符号,最终求出单调区间.

(2)由题设知,函数 g(x)得导数 g′ (x)=h(x) (x ﹣2x+1) ,其中 h(x)>0 对于任意 2 得 x∈(1,+∞)都成立,当 x>1 时,g′ (x)=h(x) (x﹣1) >0,从而 g(x)在(1,+∞) 上单调递增分①m∈(0,1)②m≤0③m≥1 三种情况讨论求解 m 得范围即可

2

数学附加题
(满分 40 分,考试时间 30 分钟) 【题文】21.(本题满分 10 分)两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1与? ? 2 cos(? ? 们相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长。 【知识点】简单曲线的极坐标方程;圆方程的综合应用. N3 H3
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?
3

) ,它

【答案解析】 3 解析:由 ρ=1 得 x 2 ? y 2 ? 1, (2 分)

? ? 2 cos(? ? 又∵

?
3

) ? cos ? ? 3 sin ? ,∴ ? 2 ? ? cos? ? 3? sin ?

∴ (4 分) x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 , 由?

? ?

x2 ? y 2 ? 1

2 2 ? ?x ? y ? x ? 3y ? 0

得 A ?1, 0 ? , B ? ?
2

? 1 3? , ? (8 分) ? ? 2 ?, 2 ? ?

2 3? ? 1? ? ∴ (10 分) AB ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? ? 3. 2 ? ? 2? ? ? ?

【思路点拨】 先将原极坐标方程中的三角函数式利用和角公式化开后, 两边同乘以 ρ 后化成 直角坐标方程,再利用直角坐标方程进行判断.

?x ? 2 ? t x2 y 2 【题文】22. (本题满分 10 分)已知曲线 C : ( t 为参 ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t
数). (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值. 【知识点】参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系.N3 H8 【答案解析】 (1)2x+y﹣6=0(2) 解析: (1)对于曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,可令 x=2cosθ、y=3sinθ, 4 9

故曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) . y ? 3sin ? ?

对于直线 l : ?

? x ? 2 ? t① ? y ? 2 ? 2t②

由① 得:t=x﹣2,代入② 并整理得:2x+y﹣6=0; (2)设曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ) . P 到直线 l 的距离为 d ?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 . 5

则 PA ?

d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ,其中 α 为锐角. 0 sin 30 5 22 5 . 5

当 sin(θ+α)=﹣1 时,|PA|取得最大值,最大值为

当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为

2 5 . 5

【思路点拨】 (1)联想三角函数的平方关系可取 x=2cosθ、y=3sinθ 得曲线 C 的参数方程, 直接消掉参数 t 得直线 l 的普通方程; (2)设曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ) .由点到 直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离,除以 sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的 范围求得|PA|的最大值与最小值. 【题文】23. (本题满分 10 分)抛掷 A,B,C 三枚质地不均匀的纪念币,它们正面向上的概率 如下表所示 (0 ? a ? 1) ; 纪念币 概率 A B a C a

1 2

将这三枚纪念币同时抛掷一次,设 ? 表示出现正面向上的纪念币的个数。 (1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)在概率 P (? ? i )(i ? 0,1,2,3) 中,若 P (? ? 1) 的值最大,求 a 的最大值。 【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.K6 【答案解析】 (1)分布列见解析;

4a ? 1 ? 1? (2) ? 0, ? 2 ? 2?

解析: (1)由题意知 ξ 个正面向上,3﹣ξ 个背面向上. ξ 的可能取值为 0,1,2,3. 根据独立重复试验的概率公式得到变量的分布列, ,

, , . ∴ ξ 的分布列为

∴ ξ 的数学期望为 . (2) , ,





和 0<a<1,





即 a 的取值范围是 ? 0, ? . 2

? ?

1? ?

【思路点拨】 (1)由题意知本题是一个独立重复试验,看出变量的所有可能取值,根据独立 重复试验的概率公式写出变量取不同值时的概率,写出分布列和期望. (2)由题意知本题要使的 P(ξ=1)的值最大,题目最容易考虑到的一种方法是把 P(ξ=1) 的值同其他几个变量的概率值进行比做差比较,使得差大于零,解不等式组,得到 a 的取值 范围. 【 题 文 】 24. ( 本 题 满 分 10 分 ) 如 图 , 在 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 ,

AB ? 4 , AD ? 2 , AA1 ? 2 ,F 是棱 BC 的中点,点
。 E 在棱 C1 D1 上,且 D1 E ? ? EC1 ( ? 为实数)

1 时,求直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值的大小; 3 (2)试问:直线 EF 与直线 EA 能否垂直?请说明理由。
(1)当 ? ? 【知识点】直线与平面所成的角.G5 【答案解析】 (1) (2)见解析

解析: (1)分别以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz,

则 A(2,0,0) ,C(0,4,0) ,D1(0,0,2) ,E(0, ∴ 当 , 时,E(0,1,2) , =(1,3,﹣2) , , ,

,2) ,F(1,4,0) ,

设平面 D1AC 的一个法向量为 由?

? ?n ? D1 A ? 0, ? ?n ? D1C ? 0,

解得 ?

? x ? z, 取 y ? 1 ,则 n ? (2,1,2) ,因为 | EF |? 14 , | n |? 3 , ? z ? 2 y,
EF ? n | EF | | n | ?

EF ? n ? 1 ,所以 cos? EF , n? ?

1 14 ? 3

?

14 42

因为 cos? EF , n? ? 0 ,所以 ? EF , n? 是锐角,是直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的余角, 所以直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值为

14 . 42
4? ,?2) , 1? ?

⑵假设 EF ? EA ,则 EF ? EA ? 0 ,因为 EA ? (2,?

EF ? (1,4 ?

4? 4? 4? ,?2) ,所以 2 ? (4 ? )? 4 ? 0, 1? ? 1? ? 1? ?

化简,得 3?2 ? 2? ? 3 ? 0 ,因为 ? ? 4 ? 36 ? 0 ,所以该方程无解,所以假设不成立, 即直线 EF 不可能与直线 EA 垂直. 【思路点拨】 (1)分别以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,利 用向量法能求出直线 EF 与平面 D1AC 所成角的正弦值. (2)假设 EF⊥ EA,则 EF ? EA ? 0 ,由此推导出 3?2 ? 2? ? 3 ? 0 , ? ? 4 ? 36 ? 0 ,假设 不成立,从而得到直线 EF 不可能与直线 EA 垂直.


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