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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.6


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课前自主研习
温故而知新 可以为师矣

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知 识 导 读 1.函数的奇偶性 f(-x)=-f(x) (1)如果对于定义域内每一个 x,都有________________,那 f(-x)=f(x) 么函数 f(x)就叫奇函数;都有__________,函数 f(x)叫偶函数,奇 关于原点对称的 偶函数的定义域是___________________(大前提). 偶函数 (2) 函 数 可 分 为 ( 按 奇 偶 性 ) : __________ 、 __________ 、 奇函数 既奇且偶函数 非奇非偶函数 __________、 __________.任何一个定义域对称的非奇非偶函数都 可写成一个奇函数与一个偶函数的和, f?x?+f?-x? f?x?-f?-x? + 即 f(x)=_____________________________________, 2 2 f?x?+f?-x? f?x?-f?-x? 其中__________是偶函数,__________是奇函数. 2 2

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奇 (3)基本性质: 在公共定义域上, 两函数有: 奇=_______, 奇± 偶 偶± 偶=__________. 偶 偶 奇×奇=偶,偶×偶=________,奇÷ 奇=__________,偶÷ 偶 偶=__________(分母不为零). 奇函数的反函数是__________,若奇函数的定义域包含 0, 奇函数 f(0)=0 则__________.

(4)图象特征:奇函数图象关于__________对称;偶函数图 原点 y轴 象关于__________对称;反之亦然.

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定义域是否关于原点对称 (5)判定方法: 首先看函数的__________________________, 若对称,再看: f(-x)+f(x)=0 f(x) 是 奇 函 数 ?f(-x)=-f(x) ? _______________ ? ______________ f?-x? -1(f(x)≠0) f(x)=-f(-x) =______________?_______________ f?x? 图象_________________. 关于原点对称 f(-x)-f(x)=0 f(x)是偶 函数 ?________________? __________________ f(-x)=f(x) f?-x? 1(f(x)≠0) f(x)=f(|x|)=f(-x) ? = __________ ? ________________ 图 象 f?x? 关于 y 轴对称 _______________.

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(6)推广:y=f(a+x)是偶函数?________________________ f(a+x)=f(a-x) f(x)关于 x=a 对称 f(x)=f(2a-x) ?________________?________________________; a+b f(x)关于 x= 对称 类似地,f(a+x)=f(b-x)?________ ________________. 2

f(b-x)=-f(b+x) y=f(b+x)是奇函数?__________________

f(x)关于(b,0)成中心对称图形 ?______________________________________; ?a+b ? ? ? f(x)关于? ,0?中心对称 类似地,f(a+x)=-f(b-x)?___ ___________________. ? 2 ?

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2.函数的周期性 非零 (1)对于函数 f(x),如果存在一个__________常数 T,使得当 f(x+T)=f(x) 那么函数 f(x) x 取定义域内的__________值时, 都有__________, 每一个 周期 叫做周期函数,非零常数 T 叫 f(x)的__________.如果所有的周 最小的正数 期中存在一个__________,那么这个__________就叫 f(x)的最小 不一定 正周期. 不一定 (2)周期函数__________有最小正周期,若 T≠0 是 f(x)的周 期, kT(k∈Z 且 k≠0)也一定是 f(x)的周期, 则 周期函数的定义域 上、下 无__________界.

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(3)设 a 为非零常数,若对 f(x)定义域内的任意 x,恒有下列 1 条件之一成立:①f(x+a)=-f(x);②f(x+a)= ;③f(x+a)= f?x? f?x?+1 1-f?x? 1 - ;④f(x+a)= ;⑤f(x+a)= ;⑥f(x+a)=f(x f?x? f?x?-1 1+f?x? 周期 -a), f(x)是__________函数, 2a 则 __________是它的一个周期. (上 述式子分母不为零) 若 f(x)同时关于 x=a 与 x=b 对称(a<b), f(x)是周期函数, 则 2(b-a) __________是它的一个周期;若 f(x)关于 x=a 对称同时关于点 4(b-a) (b,0)对称(b≠a),则 f(x)的一个周期 T=__________;若 f(x)关于 (a,0)对称同时关于(b,0)对称,则 f(x)是一个周期函数,周期 T= 2(b-a) __________.

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基 础 热 身 1.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么 F(x)必为( ) A.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数 C.减函数且是奇函数 D.减函数且是偶函数

解析:F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),排除 B、D. ∵f(x)为增函数,∴f(-x)为减函数. ∴F(x)=f(x)-f(-x)为增函数. 答案:A

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2.(2010· 广东卷)若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定 义域为 R,则( ) A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

解析:∵f(x)=3x+3-x,∴f(-x)=3-x+3x. ∴f(x)=f(-x),即 f(x)是偶函数. 又∵g(x)=3x-3-x,∴g(-x)=3-x-3x. ∴g(x)=-g(-x),即函数 g(x)是奇函数. 答案:B

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3.(2010· 山东卷)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(-1)=( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3

解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,因此 f(-x)+f(x) =0. 当 x=0 时,可得 f(0)=0,可得 b=-1,此时 f(x)=2x+2x -1,因此 f(1)=3.又 f(-1)=-f(1),所以 f(-1)=-3. 答案:D

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4.(2010· 安徽卷)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析:∵函数 f(x)的周期为 5,∴f(x+5)=f(x). ∴f(3)=f(-2+5)=f(-2). 又∵f(x)为奇函数,∴f(3)=f(-2)=-f(2)=-2. 同理 f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, ∴f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1. 答案:A

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5.(2010· 江苏卷)若函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数, 则实数 a 的值为__________.

解析:因为 f(x)是偶函数,所以恒有 f(-x)=f(x),即-x· - (e x +aex)=x(ex+ae-x),化简得 x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任 意实数 x 都成立,所以 a=-1. 答案:-1

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6.若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x-2)=-f(x),给出 下列 4 个结论: ①f(2)=0; ②f(x)是以 4 为周期的周期函数; ③f(x)的图象关于直线 x=0 对称; ④f(x+2)=f(-x). 其中所有正确的结论的序号是__________.

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解析:∵f(x-2)=-f(x)且 f(x)是奇函数, ∴f(-2)=-f(0)=0,f(2)=-f(-2)=0. 又由 f(x-2)=-f(x)得, f(x+4)=-f((x+4)-2)=-f(x+2)=f(x). ∴T=4 是周期. ∴y=f(x)的图象不关于 x=0 对称,③错. ∵f(x)是奇函数. ∴f(x+2)=-f(-x-2)=-[-f(-x)]=f(-x). 答案:①②④

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思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思

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疑难精讲 1.判断函数的奇偶性, 首先要判定其定义域是否关于原点对 称, 若对称, 在定义域内尽可能地化简函数解析式, 然后判定 f(- f?-x? x)=± f(x),f(-x)± f(x)=0, =± 1(f(x)≠0)等. f?x? 2.函数的周期性 (1)若 T 为函数 f(x)的一个周期, kT 也是函数 f(x)的周期(k 则 为非零整数),这就是说,一个函数如果有周期,就有无数多个. (2)若 f(x)满足 f(x+a)=f(x+b)恒成立,其中 a,b 均为常数, 且 a≠b,则 T=a-b 是函数 f(x)的一个周期.

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互动探究 题型 1 判断函数的奇偶性 例 1.判断下列函数的奇偶性: ? 1 1? ? (1)f(x)=x? x +2?; ? ?2 -1 ? (2)f(x)=log2(x+ x2+1); 1 (3)f(x)= ; |x-1| ?x2-2x ?x≥0? ? (4)f(x)=? 2 . ?x +2x ?x<0? ?

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【解析】 根据奇偶性的定义,先求函数的定义域,且化简 函数式,再验证 f(-x)=± f(x)是否成立,最后做出判断. (1) 函数 的定 义域 为 {x|x≠0}, 关于 原点 对称 .且 f(x)= x x 2 +1 · , 2 2x-1 -x 2-x+1 -x 1+2x x 2x+1 ∵f(-x)= ·-x = · x= ·x =f(x),∴f(x)为偶 2 2 -1 2 1-2 2 2 -1 函数. (2)函数的定义域为 R, ∵f( - x) = log2( - x + ?-x?2+1 ) = log2( x2+1 - x) = ? ? 1 ? ? log2 ? 2 = log2(x + x2+1) - 1 =- log2(x + x2+1)=- ? ? x +1+x? f(x), ∴f(x)为奇函数.
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(3)函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称, 所以 f(x)是非奇非偶函数. (4)解法一:f(x)的定义域为 R x>0 时,-x<0 f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x) x=0 时,f(0)=0=f(-0) x<0 时,-x>0 f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x) ∴对于 x∈R 总有 f(-x)=f(x). ∴f(x)为偶函数.

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解法二:x≥0 时,f(x)=x2-2x=x2-2|x| x<0 时,f(x)=x2+2x=x2-2|x| ∴f(x)=x2-2|x| ∴f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x) ∴f(x)为偶函数.

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题型 2 函数奇偶性的应用 例 2.(1)定义在 R 上的偶函数 f(x)在(-∞,0]上单调递增, 若 f(a+1)<f(2a-1),求 a 的取值范围; (2)定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)是减函数,且 f(1-a)+f(1 -a2)<0,求 a 的取值范围.

【解析】 (1)∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上单调递增, 可得 f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(a+1)=f(|a+1|),f(2a-1)=f(|2a-1|). 由已知得 f(|a+1|)<f(|2a-1|), ∴|a+1|>|2a-1|得:0<a<2. ∴a 的取值范围是(0,2).

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(2)∵f(x)是奇函数 f(1-a)+f(1-a2)<0, ∴f(1-a)<-f(1-a2)=f(a2-1). ∴f(x)定义在(-1,1)上,且在(-1,1)上为减函数. ?-1<1-a<1 ? 2 则?-1<a -1<1 解得:0<a<1. ?1-a>a2-1 ? ∴a 的取值范围为(0,1).

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题型 3 函数周期性的判定及其应用 例 3.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x) 2 1 =- 的所有 x. 2

【解析】 (1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x). ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数.

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1 (2)由 0≤x≤1 时,f(x)= x. 2 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1, 1 1 ∴f(-x)= (-x)=- x, 2 2 1 即-f(x)=- x. 2 1 ∴f(x)= x. 2 1 故 f(x)= x(-1≤x≤1). 2 又设 1<x<3,则-1<x-2<1.

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1 ∴f(x-2)=2(x-2). 又知 f(x-2)=-f(2-x)=-f[2+(-x)] =-[-f(-x)]=-f(x). 1 ∴-f(x)=2(x-2), 1 ∴f(x)=-2(x-2)(1<x<3), ?1x ?-1≤x≤1?, ?2 ∴f(x)=? ?-1?x-2?? ? ?1<x<3?. ? 2 1 由上式知在[-1,3)上,仅有 f(-1)=-2,由 f(x)是周期函数,得 f(x)=- 1 2的所有 x=4n-1(n∈Z).

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题型 4 抽象函数的奇偶性及其应用 例 4.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且对任意 a,b∈R,都 有 f(a+b)=f(a)+f(b).且当 x>0 时,f(x)<0 恒成立,f(3)=-3. (1)证明:函数 y=f(x)是 R 上的减函数; (2)证明:函数 y=f(x)是奇函数; (3)试求函数 y=f(x)在[m,n](m,n∈Z)上的值域.

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【思维点拨】 (1)应根据函数的单调性定义进行论证,考 虑证明过程中如何利用题设条件;(2)根据函数的奇偶性定义进 行证明,只需证 f(-x)+f(x)=0;(3)可考虑运用(1)、(2)两小题的 结论.

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【解析】 (1)设任意 x1,x2∈R, 且 x1<x2,f(x2)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)+f(x2-x1) ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0. ∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1). 故 f(x)是 R 上的减函数. (2)∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立, ∴可令 a=-b=x, 则有 f(x)+f(-x)=f(0). 又令 a=b=0,则有 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 从而任意的 x∈R,f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x).故 y=f(x)是奇函数.

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(3)由于 y=f(x)是 R 上的单调递减函数, ∴y=f(x)在[m,n]上也是减函数,故 f(x)在[m,n]上的最大 值 f(x)max=f(m),最小值 f(x)min=f(n). 由于 f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1), 同理 f(m) =mf(1). 又 f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1, ∴f(m)=-m,f(n)=-n. 因此函数 y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].

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错解辨析 例 5.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= x2-1+ 1-x2; 1+x (2)f(x)=(x-1) ; 1-x 1-x2 (3)f(x)= . |2-x|-2

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【错解】 (1)∵f(-x)= ?-x?2-1+ 1-?-x?2 = x2-1+ 1-x2=f(x) ∴f(x)为偶函数. 1+x (2)∵f(x)=(x-1) =- 1-x2, 1-x ∴f(-x)=- 1-?-x?2=- 1-x2=f(x). ∴f(x)为偶函数. 1-?-x?2 1-x2 (3)∵f(-x)= = , |2+x|-2 |2+x|-2 ∴f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x). ∴f(x)为非奇非偶函数.

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(1)中错在只看到 f(-x)=f(x),没有注意到 f(x) ?x2-1≥0, ? 的定义域,事实上定义域满足? ∴x=± 1, ?1-x2≥0. ? ∴f(x)=0, 正由于没有注意到 f(x)=0, 所以误以为只能是偶 函数. (2)中错在忽略了定义域为[-1,1),它不关于原点对称,而 仅仅从 f(-x)=f(x)出发而导致了错误. (3)中错在忽略了定义域为[-1,0)∪(0,1], 在此定义域内函数 很容易化简,错解忽略了定义域,导致无法化简而造成错误.

【错因】

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【正解】

?x2-1≥0, ? (1)∵定义域满足? ?1-x2≥0. ?

∴x=± 1.∴f(x)=0,∴f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为既奇又偶函数. (2)先确定函数的定义域. 1+x 由 ≥0 且 x≠1,得-1≤x<1,其定义域不对称关于原 1-x 1+x 点,所以 f(x)=(x-1) 既不是奇函数也不是偶函数. 1-x

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?1-x2≥0, ? (3)定义域满足? ?|2-x|-2≠0, ?

?-1≤x≤1, ? ∴? ?x≠0. ?

1-x2 1-x2 1-x2 ∴f(x)= = =- . x |2-x|-2 ?2-x?-2 1-x2 1-x2 ∴f(-x)=- = =-f(x). x -x ∴函数 f(x)为奇函数. 说明:判断函数奇偶性时,首先要注意函数的定义域是否关 于原点对称,若关于原点对称,再判断 f(-x)与 f(x)的关系.

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