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不等式期中复习题及答案解析 2


不等式复习题
一.选择题 1.已知非零实数 a , b 满足 a ? b ,则下列不等式成立的是

a b ? 2 2 b a 1 1 2 2 解析:法 1:当 b ? 0 时 a ? b ? a ? b ,淘汰 A;当 a ? 0 ? b 时 a ? b ? ? ,淘 a b
A、 a 2 ? b 2 B、 C、 a 2b ? ab2 D、 汰 B;当 a ? 0 ? b 时 a ? b ? a b ? ab ,淘汰 C;故选 D;
2 2

1 1 ? a b

法 2:∵ a , b 为非零实数且满足 a ? b ∴ a 3 ? b3 ,即 法 3:代特殊值进行验证淘汰;

a b ? 2 ,故选 D; 2 b a 1 1 ? 成立的有 a b

2.已知四个条件,①b>0>a ②0>a>b ③a>0>b ④a>b>0 能推出 ( ) A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

解析:运用倒数法则,a>b,ab>0 ?

1 1 ? ,②、④正确.又正数大于负数,故选C. a b

3. 若 a 、 b、 c 是常数,则“ a ? 0 且 b2 ? 4 a c ? 0 ”是“对任意 x ? R ,有 a x 2 ? b x ? c ? 0 ” 的 ( ) A.充分不必要条件. C.充要条件.

B.必要不充分条件. D.既不充分也不必要条件.

解析:易知 a ? 0 且 b2 ? 4 a c ? 0 ? a x 2 ? b x ? c ? 0 对任意 x ? R 恒成立。 反之, a x 2 ? b x ? c ? 0 对任意 x ? R 恒成立不能推出 a ? 0 且 b2 ? 4 a c ? 0 反例为当 a ? b ? 0且c ? 0 时也有 a x 2 ? b x ? c ? 0 对任意 x ? R 恒成立 “ a ? 0 且 b2 ? 4 a c ? 0 ”是“对任意 x ? R ,有 a x 2 ? b x ? c ? 0 的充分不必要条件,选 A.

?y ? x ? 4.已知 x、y、z 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 4 , 则 t=x2+y2+2x-2y+2 的最小值为( ? y ? ?2 ?
9 A. 5 B. 2 C.3 D. 2

)

解析: 可行域如图, t=(x+1)2+(y-1)2 表示点可行域内的点到 A(-1,1)的距离的平方的最小值,

y y=x A(-1,1) y=-4 O

x x+2y=4

由图知 tmin = 2 .选 D 5.如果关于 x 的方程 x 2 ? ax ? a 2 ? 3 ? 0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是( ) (A) [?2, 2] (B) ( 3, 2] (C) (? 3, 2] (D) [? 3, 2]

?? ? a 2 ? 4(a 2 ? 3) ? 0, a ? 0 ? ? 解析:由 a 2 ? 3 ? 0, 或 ? 2 ,或 ?a ? 0, 得, a ? (? 3, 2] ,故选 C ?a ? 3 ? 0 ?a 2 ? 3 ? 0, ?
6. 不等式 x ?

2 ? 2 的解集是( x?2
(1, ??) (0,1)

) B、 (??, ?1) D、 (??, ?1)

A、 (?1, 0) C、 (?1,0) 解析:法一: x +

(0,1) (1, ??)

x(x ? 1 ) 2 2 > 2 ? x - 2+ >0 ? > 0 ? x( x - 1 ) ( x +1 )> 0 ? x ?1 x ?1 x ?1 1 不满足不等式,排除 B、C、D.答案:A 2

- 1 <x<0 或 x>1. 法二:验证,x=-2、

7. 不等式 1 ? log 2 x > 1 – log 2 x 的解是( B ) (A)x ≥ 2 (B)x > 1 (C)1 < x < 8 (D)x > 2

?1 ? log 2 x ? 0 ?1 ? log 2 x ? 0 ,或 ? 1 ? log 2 x ? 1 ? log 2 x ? ? 2 ?1 ? log 2 x ? 0 ?1 ? log 2 x ? (1 ? log 2 x)
? 0 ? log2 x ? 1 ,或 log2 x ? 1 ,故选 B
8.已知 a ? b, ab ? 1, 则

a2 ? b2 的最小值是( a ?b

) .

A 2 2

B

2

C 2

D

1

解 : 记 a?b ? t , 则 t ? 0 ,

a2 ? b2 t2 ? 2 2 ? ? t ? ? 2 2 ,( 当 且 仅 当 a ?b t t

t ? 2, 即a ?

6? 2 6? 2 时取等号) .故选 A. ,b? 2 2
?x ? 0

9.(2009 安徽卷理)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面 ? 3
?3 x ? y ? 4 ?

4

积相等的两部分,则 k 的值是 (A)

7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4
B y y=kx+ 3 D C O A x

[解析]:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

?x ? 3y ? 4 4 由? 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 ?3x ? y ? 4
1 4 4 ∴ S △ABC= (4 ? ) ? 1 ? ,设 y ? kx 与 3x ? y ? 4 的 2 3 3 1 5 1 2 交点为 D,则由 S ?BCD ? S ?ABC ? 知 xD ? ,∴ y D ? 2 2 2 3 5 1 4 7 ∴ ? k ? ? , k ? 选 A。 2 2 3 3

4

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 10.(2009 山东卷理)设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , ? x ? 0, y ? 0 ?
若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为 12,

2 3 ? 的最小值为( a b 25 8 A. B. 6 3


). C.

11 3

D. 4

【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a>0,b>0) 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 答案:A

2 3 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ? =( ? ) ? ?( ? )? ?2 ? ,故选 A. a b a b 6 6 a b 6 6

y

x-y+2=0

z=ax+by 2 -2 O x

2 3x-y-6=0

二.填空题 11.若关于 x 的不等式-
1 2 x +2x>mx 的解集为{x|0<x<2},则实数 m 的值为_______. 2
2?m 1 2 x +(2-m)x=0 的两个根,∴- =0+2.∴m=1. 1 2 ? 2

解析:由题意,知 0、2 是方程-

答案:1 12. 已知不等式 a≤
x2 ? 2 对 x 取一切负数恒成立,则 a 的取值范围是____________. |x|

解析:要使 a≤

x2 ? 2 对 x 取一切负数恒成立, |x|
t2 ? 2 t2 ? 2 2 2t .而 ≥ =2 2 ,∴a≤2 2 .答案:a≤2 2 t t t

令 t=|x|>0,则 a≤

13. 函数 y ? loga ( x ? 3) ?1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 其 1 2 中 mn>0, 则m + n 的最小值为 解 析 : ∵ y=logax 恒 过 (1,0) 点 , ∴ 函 数 y ? loga ( 恒 过 ( - 2, - 1) 点 , 代 入 直 线 x ? 3) ? 1 1 2 1 2 n 4m mx+ny+1=0 中去, 有 2m+n=1, mn>0, 又∵m + n =(2m+n) (m + n )=4+ m + n ≥4+2 4 1 1 =8. 当且仅当 n=2, m=4时取"=". 三.解答题 14 . (本题满分 13 分)已知函数 y ? lg(4x ? 3 ? x ) 定义域为 M ,求 x ? M 时,函数
2

f ( x) ? 2x?2 ? 4x 的值域。

解析:由 4 x ? 3 ? x 2 ? 0

----------(1 分)

即 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0



1? x ? 3

所以 M ? ?x |1 ? x ? 3?

------------------------(5 分) ------------- (8 分)

由 f ( x) ? 2x?2 ? 4x ? ?(2x )2 ? 4 ? 22 ? ?(2x ? 2)2 ? 4

x?M

?当 1 ? x ? 3 时

x 0? 2 ? 2? 6

??32 ? f ( x) ? 4
所以 函数 f ? x ? 的值域是 ? ?32, 4?

--------------------------- (11 分) --------------------------- (13 分)

15. (本题满分 14 分)要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时 截得三种规格小钢板的块数如下表所:
类型 第一种钢板 第二种钢板 A 规格 1 1
2 2

B 规格 2 1

C 规格 1 3

每张钢板的面积:第一种为 1m ,第二种为 2m 。今需要 A、B、C 三种规格的成品各 12、 15、27 块.问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小? 解:设需截第一种钢板工张 x 张,第二种钢板 y 张,所用钢板面积为 zm , (1 分)
2

? x ? y ? 12 ? 2 x ? y ? 15 ? ? 则有 ? x ? 3 y ? 27 ? x ? 0, ? ? ?y ? 0
作出可行域(如图) 目标函数为: z ? x ? 2 y

(5 分)

(8 分)

作出一组平行直线 x ? 2 y ? t (t 为参数) .由 ? 由于点 A( ,

? x ? 3 y ? 27, 9 15 得 A( , ), (11 分) 2 2 ? x ? y ? 12

9 15 ) 不是可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点 2 2
(13 分)

(6,7)使 z 最小,且 zmin ? 4 ? 2 ? 8 ? 6 ? 2 ? 7 ? 20.

答:应截第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张,或第一种钢板 6 张,第二种钢板 7 张,得 所需三种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小. (14 分)

16. (本题满分 14 分)5.12 四川汶川大地震,牵动了全国各地人民的心,为了安置广 大灾民,抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状,房高 2.5 米) ,前后墙 用 2.5 米高的彩色钢板, 两侧用 2.5 米高的复合钢板, 两种钢板的价格都用长度来计算 (即:钢板的高均为 2.5 米,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格) ,每米单价: 彩色钢板为 450 元,复合钢板为 200 元.房顶用其它材料建造,每平方米材料费为 200 元.每套房材料费控制在 32000 元以内,试计算: (1)设房前面墙的长为 x ,两侧墙的长为 y ,所用材料费为 p ,试用 x , y 表示 p ; (2)求简易房面积 S 的最大值是多少?并求 S 最大时,前面墙的长度应设计为多少米? (1) P ? 2 x ? 450 ? 2 y ? 200 ? xy ? 200 ? 900 x ? 400 y ? 200 xy ??? 3 分 即 p ? 900 x ? 400 y ? 200 xy (2) S ? x ? y ,且 p ? 32000 ; 由题意可得: p ? 200S ? 900x ? 400 y ? 200S ? 2 900 ? 400S ???? 8 分 ????????? 6 分

? 200S ? 1200 S ? p ? 32000 ? ( S )2 ? 6 S ?160 ? 0

? 0 ? S ? 10 ? S ? 100 ;
当且仅当 ?

????????????????? 9 分

?900 x ? 400 y 20 ?x? 取最大值 ; ??????????12 分 3 ? xy ? 100
20 米. ?? 14 分 3

答:简易房面积 S 的最大值为 100 平方米,此时前面墙设计为

17 某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、 乙两个企业,2007 年该乡从甲企 业获得利润 320 万元,从乙企业获得利润 720 万元.以后每年上交的利润是:甲企业以 1.5 2 倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的 .根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到 3 2000 万元可以解决温饱问题,达到 8100 万元可以达到小康水平. (1)若以 2007 年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还 需要筹集多少万元才能解决温饱问题? (2)试估算 2015 年底该乡能否达到小康水平?为什么? 【解题思路】经审题抽象出数列模型 [解析](Ⅰ)若以 2007 年为第一年,则第 n 年该乡从这两家企业获得的利润为 3 2 yn ? 320? ( )n ?1 ? 720? ( )n ?1, (n ? 1) 2 3
3 2 3 2 = 80[4 ? ( ) n ?1 ? 9 ? ( ) n ?1 ] ? 2 ? 80 ? 4 ? ( ) n ?1 ? 9 ? ( ) n ?1 = 2 ? 80 ? 6 ? 960 2 3 2 3 3 n ?1 2 n ?1 当且仅当 4 ? ( ) ? 9 ? ( ) ,即 n=2 时,等号成立, 2 3 所以第二年(2008 年)上交利润最少,利润为 960 万元. 由 2000–960=1040(万元)知:还需另筹资金 1040 万元可解决温饱问题.

(Ⅱ)2015 年为第 9 年,该年可从两个企业获得利润 3 2 3 81? 81 81? 81 ? 20 ? 81? 5 ? 8100 y9 ? 320? ( )8 ? 720? ( )8 ? 320? ( )8 ? 320? ? 20 ? 2 3 2 16 ?16 16 所以该乡到 2015 年底可以达到小康水平. 18. (2009 湖北卷文) (本小题满分 12 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维 修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图 所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。 解: (1)如图,设矩形的另一边长为 a m 则 y 2 -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=
2

360 , x
.

所以 y=225x+

3602 ? 360( x ? 0) x

(II)? x ? 0,? 225x ?

3602 ? 2 225? 3602 ? 10800 x

? y ? 225x ?

3602 3602 ? 360 ? 10440.当且仅当 225x= 时,等号成立. x x
.

即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.


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