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广东省广州市2016届高三1月模拟考试数学(理)试卷


2016 年广州市普通高中毕业班模拟考试

理科数学

2016.1

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)若全集 U=R,集合 A ? x 1 ? 2 ? 4 , B ? x x ? 1 ? 0 ,则 A I ?U B =
x

?

?

?

?

(A) x 1 ? x ? 2

?

?

(B) x 0 ? x ? 1

?

?

(C) x 0 ? x ? 1

?

?

(D) x 1 ? x ? 2
2

?

?

(2)已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 ? a ? bi ? = (A) 3+4i (3)下列说法中正确的是 (A) “ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 是奇函数”的充要条件
2 (B)若 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0

(B) 5+4i

(C) 3 ? 4i

(D) 5 ? 4i

(C)若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题

? 1 ? 1 ,则 sin ? ? ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ” 6 2 6 2 ( 4 ) 已 知 f ? x ? 在 R 上 是 奇 函 数 , 且 满 足 f ? x ? 4 ? ? f ? x ? , 当 x ? ? 0, 2 ?
(D)命题“若 ? ? 时, f ? x ? ? 2 x ,则 f ? 7 ? ?
2

开始

x=1,y=1,k=0

(A) 2 (C) ?98 (5)执行如图所示的程序框图,输出的结果为 (A) ? ?2 ,2 ? (C) ? ?4 ,? 4 ?

(B) ?2 (D) 98

s=x-y,t=x+y x=s,y=t

(B) ? ?4 ,0 ? (D) ? 0 ,? 8 ?

k=k+1 否 k≥3 是 输出(x,y)

(6)各项均为正数的等差数列 ?a n ? 中, a 4 a9 ? 36 ,则前 12 项和 S12 的最小值为 (A) 78 (B) 48

结束

1

(C) 60

(D) 72

(7)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的四分之一圆周和两条半径,则这个 几何体的体积为 (A)

3 ? 12

(B)

3 ? 6

(C)

3 ? 4

(D)

3 ? 3

(8)已知 sin ? ?

3 ?? ? ,且 ? ? ? ,? ? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图像 5 ?2 ? ? ,则 2

的相邻两条对称轴之间的距离等于 (A) ?

??? f ? ? 的值为 ?4?
(C)

3 5

(B) ?

4 5

3 5

(D)

4 5

?2 x ? y ? 2 ? 0, x ? (9)若实数 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ? 0, 则 的取值范围是 y ? y ? 2, ?
(A) ? , 2 ? 3 (10) 过双曲线

?2 ?

? ?

(B) ? , ? 2 2

?1 3? ? ?

(C) ? , 2 ? 2

?3 ?

? ?

(D) ?1, 2?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线, 垂足为点 A , a 2 b2

与另一条渐近线交于点 B ,若 FB ? 2 FA ,则此双曲线的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D) 5

uur

uur

(11)将 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就读,每所大 学至少保送 1 人,则不同的保送方法共有 (A) 150 种 种 (12)已知 ?ABC 的三个顶点 A , B , C 的坐标分别为 ? 0,1? , (B) 180 种 (C) 240 种 (D)540

?

2, 0 , ? 0, ?2 ? ,O 为坐标

?

原点,动点 P 满足 CP ? 1 ,则 OA ? OB ? OP 的最小值是 (A) 3 ? 1 (B) 11 ? 1 (C) 3 ? 1 (D) 11 ? 1

uur

uur

uuu r uuu r

2

第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知向量 a , b 满足 | b |? 4 , a 在 b 方向上的投影是 (14)已知 cos ?? ? ? ? ? ?
10

1 ,则 a ? b= 2




1 ?? ? ,则 sin ? 2? ? ? ? 3 2? ?

a ? ? (15) ? x ? 2 ? 展开式中的常数项为 180 ,则 a ? x ? ?



( 16 ) 已 知 y ? f ? x ? 为 R 上 的 连 续 可 导 函 数 , 且 xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 , 则 函 数

g ? x ? ? xf ? x ? ? 1 ? x ? 0 ?
的零点个数为___________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 设 S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和,已知 a1 ? 2 ,对任意 n ? N* ,都有 2 S n ? ? n ? 1? an . (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?

?

? 4 1 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? 1 . 2 ? an (an ? 2) ?

(18)(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C 中 , 侧 棱 AA1 ? 底 面 ABC , AB ? AC ? 2 AA1 ,

D, D1 分别是线段 BC , B1C1 的中点, 过线段 AD 的中点 P 作 BC 的平行线, ?BAC ? 120? ,
C 分别交 AB , AC 于点 M , N . (Ⅰ)证明: MN ? 平面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1M ? N 的余弦值. C1 N A D1 A1
3

P

D M B

B1

(19) (本小题满分 12 分) 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库 年入流量 X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流 量相互独立. (Ⅰ)求在未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ) 水电站希望安装的发电机尽可能运行, 但每年发电机最多可运行台数受年入流量

X 限制,并有如下关系;
年入流量 X 发电机最多可运行台数

40 ? X ? 80
1

80 ? X ? 120
2

X ? 120
3

若某台发电机运行,则该台发电机年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台 发电机年亏损 800 万元, 欲使水电站年总利润的均值达到最大, 应安装发电机多少台?

(20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2 ?

x2 a

y2 3 ? 1 ? a ? b ? 1? 的离心率 e ? ,且 2 b 2

3? 的距离的最大值为 4. 椭圆 C1 上一点 M 到点 Q?0,
(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 A ? 0, ? , N 为抛物线 C2:y ? x 上一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交
2

? 1? ? 16 ?

椭圆 C1 于 B , C 两点,求 ?ABC 面积的最大值.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? ax ( e 为自然对数的底数, a 为常数)在点 ? 0,1? 处的切线斜率
x

为 ?1 . (Ⅰ)求 a 的值及函数 f ? x ? 的极值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, x 2 ? e x ;
4

(III)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ? x0, ? ? ? ,恒有 x 2 ? ce x .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答 时请写清题号.

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 ?ACB ? 90? , CD ? AB 于点 D ,以 BD 为直径的圆 O 与 BC 交于点 E . (Ⅰ)求证: BC ? CE ? AD ? DB ; (Ⅱ)若 BE ? 4 ,点 N 在线段 BE 上移动, ?ONF ? 90 ,
o

C E N A D O B F

NF 与 e O 相交于点 F ,求 NF 的最大值.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面 直角坐标系 xOy 中 ,已知曲 线 C1 : ?

? x ? t ? 1, ( t 为参数)与曲线 C2 : ? y ? 1 ? 2t

? x ? a cos ?, ( ? 为参数, a ? 0 ). ? ? y ? 3sin ?
(Ⅰ)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 3 时,曲线 C1 与曲线 C2 交于 A , B 两点,求 A , B 两点的距离.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ?| x ? m | ? | x | , m ? N* ,存在实数 x 使 f ( x) ? 2 成立. (Ⅰ)求实数 m 的值;
5

(Ⅱ)若 ? , ? ? 1 , f (? ) ? f ( ? ) ? 2 ,求证:

4 1 9 ? ? . ? ? 2

参考答案

6

7

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