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2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.4第2课时两平面垂直学业分层测评苏教版必修220170722260

1.2.4 第 2 课时 两平面垂直 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的序号是 __________. (1)若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α ; (2)若 m∥β ,β ⊥α ,则 m⊥α ; (3)若 m⊥β ,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α ; (4)若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α . 【解析】 (1)中,由 m⊥n,n∥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m? α ,错误; (2)中,由 m∥β ,β ⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m? α ,错误; (3)中,由 m⊥β ,n⊥β 可得 m∥n,又 n⊥α ,所以 m⊥α ,正确; (4)中,由 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m? α ,错误. 【答案】 (3) 2.如图 1-2-98,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2 3,CC1= 2,则二面角 C1- BD-C 的大小为________. 图 1-2-98 【解析】 如图,取 BD 中点 O,连结 OC,OC1, ∵AB=AD=2 3,∴CO⊥BD,CO= 6. ∵CD=BC,∴C1D=C1B,∴C1O⊥BD. ∴∠C1OC 为二面角 C1-BD-C 的平面角, ∴tan∠C1OC=CO1CC= 2= 6 33, ∴∠C1OC=30°,即二面角 C1-BD-C 的大小为 30°. 【答案】 30° 3.下列四个命题: 1 ①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直; ②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行; ③如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行; ④如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第 一个平面内. 其中真命题的序号是________. 【解析】 根据空间点、线、面间的位置关系,过平面外一点有且只有一条直线与该平面 垂直,故①正确;过平面外一点有无数条直线与该平面平行,故②不正确;根据平面与平面平 行的性质定理知③正确;根据两个平面垂直的性质知④正确.从而正确的命题有①③④. 【答案】 ①③④ 4.如图 1-2-99 所示,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,则二面角 B -PA-C 的大小为________. 图 1-2-99 【解析】 ∵PA⊥平面 ABC,BA,CA? 平面 ABC, ∴BA⊥PA,CA⊥PA,因此,∠BAC 即为二面角 B-PA-C 的平面角.又∠BAC=90°,故二 面角 B-PA-C 的大小为 90°. 【答案】 90° 5.已知三棱锥 D-ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB=AC= 3,BC=2,则二面角 D-BC -A 的大小为________. 【解析】 如图,由题意知 AB=AC=BD=CD= 3,BC=AD=2. 取 BC 的中点 E,连结 DE,AE,则 AE⊥BC,DE⊥BC,所以∠DEA 为所求二面角的平面角.易 得 AE=DE= 2,又 AD=2,AD2=AE2+DE2,所以∠DEA=90°. 【答案】 90° 6.如图 1-2-100 所示,将等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角, 此时∠B′AC=60°,那么这个二面角大小是________. 2 图 1-2-100 【解析】 连结 B′C,则△AB′C 为等边三角形,设 AD=a, 则 B′C=AC= 2a,B′D=DC=a, 所以 B′C2=B′D2+DC2, 所以∠B′DC=90°. 【答案】 90° 7.四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,则这个四棱锥的五个面中两两 垂直的共有________对. 【解析】 因为 AD⊥AB,AD⊥PA 且 PA∩AB=A,可得 AD⊥平面 PAB.同理可得 BC⊥平面 PAB、 AB⊥平面 PAD、CD⊥平面 PAD,由面面垂直的判定定理可得,平面 PAD⊥平面 PAB,平面 PBC⊥ 平面 PAB,平面 PCD⊥平面 PAD,平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAD⊥平面 ABCD,共有 5 对. 【答案】 5 8.已知平面 α ,β ,且 α ∩β =AB,PC⊥α ,PD⊥β ,C,D 是垂足.若 PC=PD=1,CD = 2,则平面 α 与平面 β 的位置关系是________. 【解析】 因为 PC⊥α ,AB? α ,所以 PC⊥AB. 同理 PD⊥AB.又 PC∩PD=P,故 AB⊥平面 PCD. 设 AB 与平面 PCD 的交点为 H,连结 CH,DH. 因为 AB⊥平面 PCD,所以 AB⊥CH,AB⊥DH, 所以∠CHD 是二面角 C-AB-D 的平面角. 又 PC=PD=1,CD= 2, 所以 CD2=PC2+PD2=2, 即∠CPD=90°.在平面四边形 PCHD 中,∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°,所以∠CHD=90°, 3 故平面 α ⊥平面 β . 【答案】 垂直 二、解答题 9.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1. 图 1-2-101 求证:(1)直线 DE∥平面 A1C1F; (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 【证明】 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1C1∥AC. 在△ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点, 所以 DE∥AC,于是 DE∥A1C1. 又因为 DE?平面 A1C1F,A1C1? 平面 A1C1F, 所以直线 DE∥平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A⊥平面 A1B1C1. 因为 A1C1? 平面 A1B1C1,所以 A1A⊥A1C1. 又因

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