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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)合情推理与演绎推理(含解析)


2016 届高考数学一轮复习教学案 合情推理与演绎推理

[知识能否忆起] 一、合情推理

归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征, 推 出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理, 或者由个别事实概括出一般结论 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 (1)通过观察个别情况发现某些相同性 质;(2)从已知的相同性质中推出一个明 确的一般性命题(猜想)

类比推理

由两类对象具有类似特征和其中一类对 象的某些已知特征推出另一类对象也具 有这些特征的推理

定义

由特殊到特殊的推理 (1)找出两类事物之间的相似性或一致 性;(2)用一类事物的性质去推测另一类 事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)

一般 步骤

二、演绎推理 1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演 绎推理. 2.特点:演绎推理是由一般到特殊的推理. 3.模式:三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提—已知的一般原理; “三段论”的结构 ②小前提—所研究的特殊情况;③结论—根据一般原理, 对特殊情况做出的判断

①大前提—M 是 P ; “三段论”的表示 ②小前提—S 是 M; ③结论—S 是 P

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无 限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 解析:选 C 由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的. 2.数列 2,5,11,20,x,47,…中的 x 等于( A.28 C.33 解析:选 B B.32 D.27 由 5-2=3,11-5=6,20-11=9. ) )

则 x-20=12,因此 x=32. 3.(教材习题改编)给出下列三个类比结论. ①(ab)n =an bn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n =an +bn ; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α +β)类比,则有 sin(α +β)=sin α sin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a 2+2a ·b+b 2. 其中结论正确的个数是( A .0 C.2 解析:选 B 只有③正确. ) B .1 D .3

4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,

在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________.

解析:

S1h1 V1 3 ?S1? h1 1 1 1 V2 1 ? S2? h2 4 2 8 S2h2
3 =

1

=? ? · = × = .

答案:1∶8 5.(2012·陕西高考)观察下列不等式 1+ 1 3 < , 22 2 1 22 1 22 + 1 5 < , 32 3 1 32 + 1 < 7

1+

1+



42 4

…… 照此规律,第五个不等式为___________________________________________________. 解析:观察得出规律,左边为项数个连续自然数平方的倒数和,右边为项数的 2 倍减 1 的差除以项数,即 1+ 1 1 1 1 2n-1 + + + +…+ < (n∈N*,n≥2), 22 32 42 52 n2 n 1 1 1 1 1 11 + + + + < . 22 32 42 52 62 6 + 1 11 < 62 6 1

所以第五个不等式为 1+ 1 22 1 32 1 42

答案:1+







1 52

1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理,合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供 思路的作用.合情推理的结论可能为真,也可能为假,结论的正确性有待于进一步的证明. 2.应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提、 小前提与推理形式是正确的, 结论必定是正确的. 如果大前提错误, 尽管推理形式是正确的, 所得结论也是错误的.

归 纳 推 理

典题导入 [例 1] (2012·河南调研)已知函数 f(x)=

x

x+2

(x>0).如下定义一列函数:f1(x)=f(x),

f2(x)=f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),…,fn (x)=f(fn -1(x)),…,n∈N*,那么由归纳推理可得函数 fn (x)的解析式是 fn (x)=________.
[自主解答] 依题意得,f1(x)=

x

x+2



x f2(x)= x+2 x x+2


x
3x+4



x
2-

+2

x+2 2



x f3(x)=
= = x 7x+8 +2 3x+4 3x+4

x

x
3-

x+2 3

, …, 由此归纳可得 fn (x)=

x
n-

x+2n

(x>0). [答案]

x
n-

x+2n

(x>0) 由题悟法

1.归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的 范围. 2.归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. [注意] 有用. 以题试法 归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很

1.(2012·枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列,则第 21 行从左向右的第 5 个数 为( ) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 … A.809 C.786 解析:选 A … B.852 D.893 前 20 行共有正奇数 1+3+5+…+39=20 2=400 个,则第 21 行从左向 25 27 29 31 …

右的第 5 个数是第 405 个正奇数,所以这个数是 2×405-1=809.

类 比 推 理

典题导入 [例 2] 在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c 内切圆半径为 r,则三

1 角形面积为 S△ABC= (a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD 的四 2 个面的面积分别为 S1, S2, S3, S4, 内切球的半径为 r, 则四面体的体积为________________”. [自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的

1 1 面积, 内切圆半径类比为内切球的半径. 二维图形中 类比为三维图形中的 , 得 V 四面体 ABC D 2 3 1 = (S1+S2+S3+S 4)r. 3 [答案]

V 四面体 ABCD= (S1+S2+S 3+S4)r
3

1

由题悟法 1.类比推理是由特殊到特殊的推理,命题有其特点和求解规律,可以从以下几个方面 考虑类比:类比定义、类比性质、类比方法、类比结构. 2.类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想). 以题试法 2.若{an }是等差数列,m、n、p 是互不相等的正整数,则有:(m-n)ap+(n-p)am +(p-m)an =0,类比上述性质,相应地,对等比数列{bn},有__________________.
-n ·bn -p ·b p-m 解析:设{bn }的首项为 b1,公比为 q,则 bm p m n

=(b1qp-1)m -n ·(b1q m-1)n -p·(b 1qn -1)p- m
0 =b0 1·q =1. -n ·bn -p ·b p-m =1 答案:bm p m n

演 绎 推 理

典题导入 [例 3] 数列{an }的前 n 项和记为 Sn ,已知 a1=1,an +1=

n +2 Sn (n∈N*).证明: n

(1)数列? ? 是等比数列;

?Sn? ? n?

(2)Sn +1=4an . [自主解答] (1)∵an +1=Sn +1-Sn ,an +1=

n+2 Sn , n

∴(n+2)Sn =n(Sn +1-Sn ),即 nSn +1=2(n+1)Sn .



=2· ,(小前提) n +1 n

Sn +1

Sn

故?

? Sn ? ?是以 2 为公比,1 为首项的等比数列.(结论) ?n ?

(大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n -1

Sn +1

Sn -1

∴Sn +1=4(n+1)·

n-1+2 =4· ·Sn -1=4an (n≥2).(小前提) n-1 n -1

Sn -1

又∵a2=3S1=3,S 2=a1+a2=1+ 3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn +1=4an .(结论) 由题悟法 演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当 首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略. 以题试法

3.如图所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠

A,且 DE∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提
和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来). 证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以 DF∥EA.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)

DE∥BA 且 DF∥EA,(小前提)
所以四边形 AFDE 为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等,(大前提)

ED 和 AF 为平行四边形的对边,(小前提)

所以 ED=AF.(结论) 上面的证明可简略地写成: ∠BFD=∠A?DF∥EA?

DE∥BA

??四边形 AFDE 是平行四边形?ED=AF. ?

1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的 小前提是( A.① C.③ 解析:选 B ) B.② D.①和② 由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选 B.

2. (2012·合肥模拟)正弦函数是奇函数, f(x)=sin(x2+1)是正弦函数, 因此 f(x)=sin(x2 +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确 ) B.大前提不正确 D.全不正确

解析:选 C 因为 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 3.(2012·泰兴模拟)在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外 接圆面积为 S2,则

S1 1 S2 4

= ,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体 P -ABC 的内切球

体积为 V1,外接球体积为 V2,则 1 A. 8 C. 1 64

V1 V2

=(

) 1 B. 9 1 D. 27

解析:选 D

正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 =

V1 V2

. 27

1

4. (2012·德州模拟)给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集, R 为实数集, C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“a,c∈C,则 a-c=0?a=c”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d ∈Q,则 a+b 2 =c+d 2 ?a=c,b=d ”;

③“a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”; ④“若 x∈R,则|x|<1?-1<x<1”类比推出“若 z∈C,则|z|<1?-1<z<1”. 其中类比结论正确的个数为( A .1 C.3 解析:选 B ) B .2 D .4 类比结论正确的有①②.

5.观察如图所示的正方形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n≥2,n∈N*)个圆点,第

n 个图案中圆点的总数是 Sn .按此规律推断出 Sn 与 n 的关系式为(

)

A.Sn =2n C.Sn =2n 解析:选 D

B.Sn =4n D.Sn =4n-4 由 n=2,n=3,n=4 的图案,推断第 n 个图案是这样构成的:各个圆

点排成正方形的四条边,每条边上有 n 个圆点,则圆点的个数为 Sn =4n-4. 6.(2012·武汉市适应性训练)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )

A.设数列{an }的前 n 项和为 Sn .由 an =2n-1,求出 S1=12,S 2=22 ,S3=3 2,…,推 断:Sn =n2 B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇函数

C.由圆 x2+y2= r 2 的面积 S=πr2,推断:椭圆 +

x2

y2

a 2 b2

=1(a>b>0)的面积 S=πab

D.由(1+1)2>21,(2+1)2>2 2,(3+1)2>2 3,…,推断:对一切 n∈N*,(n+1)2> 2n 解析:选 A 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,

其前 n 项和等于 Sn = 此选 A.

n

+2n- 2

=n2, 选项 D 中的推理属于归纳推理, 但结论不正确. 因

1 1 1 3 7.(2013·杭州模拟)设 n 为正整数,f(n)=1+ + +…+ ,计算得 f(2)= ,f(4)>2, 2 3 n 2

f(8)> ,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为________.
2

5

解析:由前四个式子可得,第 n 个不等式的左边应当为 f(2n),右边应当为

n +2
2

,即可

得一般的结论为 f(2n )≥

n +2
2

.

答案:f(2n )≥

n +2
2

8.(2011·陕西高考)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+ 10=49 …… 照此规律,第 n 个等式为________. 解析:每行最左侧数分别为 1、2、3 、…,所以第 n 行最左侧的数为 n;每行数的个数 分别为 1、3、5、…,则第 n 行的个数为 2n-1.所以第 n 行数依次是 n、n+1、n+2、…、 3n-2.其和为 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.

答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 9.(2012·杭州模拟)在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的 一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:c2 =a2+b 2.设想正方形换成正方体,把 截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用

S1,S2,S 3 表示三个侧面面积,S 4 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.

解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可
2 2 2 得 S2 1+S2 +S3=S4 . 2+S2+S2=S2 答案:S1 2 3 4

10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三 1 角形两边之和大于第三边;(2)三角形的面积 S= ×底×高;(3)三角形的中位线平行于第三 2 1 边且等于第三边的 ;…… 2 请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 解:由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1 (2)四面体的体积 V= ×底面积×高; 3 1 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 . 4 11.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常 数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an }是等和数列, 且 a1=2,公和为 5. (1)求 a18 的值;

(2)求该数列的前 n 项和 Sn . 解:(1)由等和数列的定义,数列{an }是等和数列, 且 a1=2,公和为 5,易知 a2n -1=2,

a2n =3(n=1,2…),故 a18=3.
(2)当 n 为偶数时,

Sn =a1+a2+…+an =(a1+a3+…+an -1)+(a2+a4+…+an )
5 n n =2+2+…+ 个 2 2+3+3+…+ 个 3 3 = n; 2 2 2 当 n 为奇数时,

Sn =Sn -1+an = (n-1)+2= n- .
2 2 2

5

5

1

?2n,n为偶数, 综上所述:S =? 5 1 n- ,n为奇数. ?2 2
5
n

12.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的 四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺 绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求出 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据你得 到的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 1 + 1 + -1 f 1 +…+ -1 f 1 的值.

f

f

n -1

解:(1)f(5)=41.

(2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1,

f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4,
… 由上式规律,所以得出 f(n+1)-f(n)=4n. 因为 f(n+1)-f(n)=4n, 所以 f(n+1)=f(n)+4n,

f(n)=f(n-1)+4(n-1)
=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =… =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4 =2n2-2n+1. (3)当 n≥2 时, 1 = -1 2n + 1 1 1 1 1 = ( - ), 2 n-1 n 1 +…+ -1 f 1

f n
∴ 1

n-
+ -1 f

f

f

n -1

1? 1 1 1 1 1 1 1? =1+ ?1- + - + - +…+ - ? 2? 2 2 3 3 4 n-1 n? 1? 1? =1+ ?1- ? 2? n? 3 1 = - . 2 2n

1.(2012·江西高考)观察下列各式:a+b= 1,a2+b 2=3,a 3+b3= 4,a4+b 4=7,

a5+b5=11,…,则 a10+b10=(
A.28 C.123

)

B.76 D.199

解析:选 C 记 an +bn =f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4 =7; f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*, n≥3), 则 f(6) =f(4)+f(5)=18; f(7)=f(5)+f(6)=29; f(8)=f(6)+f(7)=47; f(9)=f(7)+f(8)=76; f(10) =f(8)+f(9)=123.所以 a10+b10=123. 2.对于命题:若 O 是线段 AB 上一点,则有| OB |· OA +| OA |· OB =0. 将它类比到平面的情形是: 若 O 是△ABC 内一点,则有 S△OBC· OA +S△ OCA · OB +S△OBA · OC =0,将它类比到空间 情形应该是:若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有________. 解析: 将平面中的相关结论类比到空间, 通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的 几何体的体积,因此依题意可知若 O 为四面体 ABCD 内一点,则有 V O-BCD · OA +VO-
ACD·

OB +VO -ABD · OC +VO- ABC· OD =0.
答案:VO-B CD· OA +VO- ACD · OB +VO- ABD· OC +VO- ABC· OD =0 3.(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个

常数: (1)sin 213°+cos217°-sin 13°cos 17°; (2)sin 215°+cos215°-sin 15°cos 15°; (3)sin 218°+cos212°-sin 18°cos 12°; (4)sin 2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; (5)sin 2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择(2)式,计算如下:

1 sin215°+cos2 15°-sin 15°cos 15°=1- sin 30° 2 1 3 =1- = . 4 4 3 (2)三角恒等式为 sin2α +cos2(30°-α )-sin α ·cos(30°-α )= . 4 证明如下: 法一:sin2α +cos 2(30°-α )-sin α cos(30°-α ) =sin 2α +(cos 30°cos α +sin 30°sin α )2-sin α (cos 30°·cos α +sin 30°sin α ) 3 3 1 3 1 =sin 2α + cos2α + sin α cos α + sin2α - sin α cos α - sin2α 4 2 4 2 2 3 3 = sin 2α + cos2α 4 4 3 = . 4 法二:sin2α +cos 2(30°-α )-sin α cos(30°-α ) = 1-cos 2α 2 + 1+cos 60°-2α 2 -sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α )

1 1 1 1 3 1 = - cos 2α + + (cos 60°cos 2 α +sin 60°sin 2α )- sin α cos α - sin2α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α + + cos 2α + sin 2α - sin 2α - (1-cos 2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α - + cos 2α = . 4 4 4 4

1.(2012·江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+ |y|=2 的不同整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,…, 则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( )

A.76 C.86 解析:选 B

B.80 D.92 由特殊到一般,先分别计算|x|+|y|的值为 1,2,3 时,对应的(x,y)的不同

整数解的个数, 再猜想|x|+|y|=n 时, 对应的不同整数解的个数. 通过观察可以发现|x|+|y| 的值为 1,2,3 时,对应的(x,y)的不同整数解的个数为 4,8,12,可推出当|x|+|y|=n 时,对 应的不同整数解(x,y)的个数为 4n,所以|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 80. 2.(2012·豫东、豫北名校测试)已知如下等式: 1 3-4= (32-4 2), 7 1 32-3×4+42= (33+43), 7 1 33-32 ×4+3×42- 43= (34-44), 7 1 34-33 ×4+3 2×4 2-3×43+4 4= (35+45), 7 则由上述等式可归纳得到 3n -3n -1×4+3n - 2×4 2-…+(-1)n 4n =________(n∈N*). 1 解析: 依题意及不完全归纳法得, 3n -3n -1 ×4+3n - 2×4 2-…+(-1)n 4n = [3n +1-(- 7 4)n +1]. 1 答案: [3n +1-(-4)n +1] 7


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