当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2013年全国初中数学联合竞赛试题及答案

2013 年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案
第一试 一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 1.计算 4 3 ? 2 2 ? 41 ? 24 2 ? (B) (A) 2 ? 1 (B)1 (C) 2 2.满足等式 ? 2 ? m ?
m2 ? m ? 2

(D)2

? 1 的所有实数 m 的和为(A)

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 3.已知 AB 是圆 O 的直径, 为圆 O 上一点, CAB ? 15 , ABC 的平分线交圆 O 于点 D, C ? ?
?

若 CD ? 3 ,则 AB=(A) (A)2 (B) 6
2

(C) 2 2

(D)3

4.不定方程 3x ? 7 xy ? 2 x ? 5 y ? 17 ? 0 的全部正整数角(x,y)的组数为(B) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5 矩形 ABCD 的边长 AD=3,AB=2,E 为 AB 的中点,F 在线段 BC 上,且 BF:FC=1:2, AF 分别与 DE,DB 交于点 M,N,则 MN=(C) (A)

3 5 7

(B)

5 5 14

(C)

9 5 28

(D)

11 5 28

6.设 n 为正整数,若不超过 n 的正整数中质数的个数等于合个数,则称 n 为 “好数” ,那么, 所有“好数”之和为(B) (A)33 (B)34 (C)2013 (D)2014 二、填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分) 1.已知实数 x, y, z 满足 x ? y ? 4, z ? 1 ? xy ? 2 y ? 9, 则 x ? 2 y ? 3z ?
3

4

2.将一个正方体的表面都染成红色,再切割成 n (n ? 2) 个相同的小正方体,若只有一面是 红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同,则 n=
? ?

8

3.在 ? ABC 中,?A ? 60 , ?C ? 75 , AB ? 10 ,D,E,F 分别在 AB,BC,CA 上,则 ? DEF 的周长最小值为

5 6
2 2 2

4.如果实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? ? xy ? yz ? zx ? ? 8 ,用 A 表示 x ? y , y ? z , z ? x 的 最大值,则 A 的最大值为

4 6 3
第二试(A)

2 2 2 2 一、 (本题满分 20 分)已知实数 a, b, c, d 满足 2a ? 3c ? 2b ? 3d ? ? ad ? bc ? ? 6, 求 2

?a

2

? b 2 ?? c 2 ? d 2 ? 的值。
2 2 2 2

解:设 m ? a 2 ? b 2 , n ? c 2 ? d 2 ,则 2m ? 3n ? 2a ? 2b ? 3c ? 3d ? 12.
2 因为 ? 2m ? 3n ? ? ? 2m ? 3n ? ? 24mn ? 24mn ,即 12 ? 24mn ,所以
2 2

mn ? 6

??????○ 1

2 2 又因为 mn ? a ? b

?

?? c

2

? d 2 ? ? a 2c 2 ? b 2 d 2 ? a 2 d 2 ? b 2c 2

??????○ 2

2 2 由○,○可得 mn ? 6. 即 a ? b 1 2

?

?? c

2

? d2? ? 6

注:符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一, a ?

2, b ? 1, c ?

6 2 3 ,d ? ? 就是一组。 3 3

二、 (本题满分 25 分)已知点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上,过点 B、C 作圆 O 的切线,交于 点 P,连 AC,若 OP ?

9 PB 的值。 AC ,求 2 AC

解:连 OC,因为 PC,PB 为圆 O 的切线,所以∠POC=∠POB。 又因为 OA=OC,所以∠OCA=∠OAC。 又因为∠COB=∠OCA+∠OAC,所以 2∠POB=2∠OAC,所以∠POB=∠ OAC,所以 OP∥AC。 又∠POB=∠OAC,所以 ? BAC ?? POB ,所以 又 OP ?

AC AB 。 ? OB OP

9 ,代入可求得 AC ,AB=2r,OB=r(r 为圆 O 的半径) 2 2 OP=3r,AC= r. 3
在 Rt? POB 中,由勾股定理可求得 PB ? OP ? OB ? 2 2r 。
2 2

所以

PB 2 2r ? ?3 2 。 2 AC r 3
2

三、 (本题满分 25 分)已知 t 是一元二次方程 x ? x ? 1 ? 0 的一个根,若正整数 a, b, m 使得 等式 ? at ? m ?? bt ? m ? ? 31m 成立,求 ab 的值。

解:因为 t 是一元二次方程 x ? x ? 1 ? 0 的一个根,显然 t 是无理数,且 t ? 1 ? t 。
2

2

等式 ? at ? m ?? bt ? m ? ? 31m 即 abt ? m ? a ? b ? t ? m ? 31m ,
2 2

2 即 ab ?1 ? t ? ? m ? a ? b ? t ? m ? 31m ,即 ? m ? a ? b ? ? ab ? t ? ab ? m ? 31m ? 0. ? ?

2

?

?

因为 a, b, m 是正整数, t 是无理数,所以 ?
2

? m ? a ? b ? ? ab ? 0, ?
2 ? ab ? m ? 31m ? 0, ?

于是可得 ?
2

?a ? b ? 31 ? m,
2 ?ab ? 31m ? m .

因此, a, b 是关于 x 的一元二次方程 x ? ? m ? 31? x ? 31m ? m ? 0 的两个整数根,该方程
2 的判别式 ? ? ? m ? 31? ? 4 31m ? m ? ? 31 ? m ?? 31 ? 5m ? ? 0. 2

?

?

又因为 a, b 是正整数,所以 a ? b ? 31 ? m ? 0 ,从而可得 0 ? m ?

又因为判别式 ? 是一个完全平方数,验证可知,只有 m ? 6 符合要求。 把 m ? 6 代入可得 ab ? 31m ? m ? 150.
2

31 . 5

第二试(B) 一、(本题满分 20 分) 已知 t ? 成立,求 ab 的值。 解:因为 t ?

2 ?1 , 若正整数 a, b, m 使得等式 ? at ? m ?? bt ? m ? ? 17m

2 ? 1 ,所以 t 2 ? 3 ? 2 2.
2 2

等式 ? at ? m ?? bt ? m ? ? 17m 即 abt ? m ? a ? b ? t ? m ? 17m, 即 ab 3 ? 2 2 ? m ? a ? b ?

?

?

?

2 ? 1 ? m 2 ? 17 m ,

?

2 整理得 ? m ? a ? b ? ? 2ab ? ? 2 ? ?3ab ? m ? a ? b ? ? m ? 17m ? ? 0 ? ? ? ?

于是可得 ?

?a ? b ? 2 ?17 ? m ? , ?
2 ?ab ? 17 m ? m . ?

a 因此, , b 是关于 x 的一元二次方程 x ? 2(m ? 17) x ? 17m ? m ? 0 ??○的两个整数根, 1
2 2
2 方程○的判别式 ? ? 4 ? m ? 17 ? ? 4 17 m ? m ? 4 ?17 ? m ??17 ? 2m ? ? 0. 1 2

?

?

又因为 a, b, m 是正整数,所以 a ? b ? 2 ?17 ? m ? ? 0 ,从而可得 0 ? m ? 又因为判别式 ? 是一个完全平方数,验证可知,只有 m ? 8 符合要求, 把 m ? 8 代入得 ab ? 17m ? m ? 72 。
2

17 2

二、 (本题满分 25 分)在 ?ABC 中,AB>AC,O、I 分 别是 ?ABC 的外心和内心, 且满足 AB-AC=2OI。 求证:

(1)OI∥BC; (2) S?AOC ? S?AOB ? 2S?AOI 。

证明(1)作 OM⊥BC 于 M,IN⊥BC 于 N。 设 BC= a ,AC= b ,AB= c 。 易求得 CM=

1 1 1 a ,CN= ? a ? b ? c ? ,所以 MN=CM-CN= ? c ? b ? =OI, 2 2 2

又 MN 恰好是两条平行线 OM,IN 之间的垂线段,所以 OI 也是两条平行线 OM,IN 之间的 垂线段,所以 OI∥MN,所以 OI∥BC。 (2)由(1)知 OMNI 是矩形,连接 BI,CI,设 OM=IN= r (即为 ?ABC 的内切圆半径) ,则

S? AOC ? S? AOB ? ? S? AOI ? S? COI ? S? AIC ? ? ? S? AIB ? S? AOI ? S? BOI ? 1 1 1 1 ? 2 S? AOI ? S? BOI ? S? COI ? S? AIC ? S? AIB ? 2S? AOI ? ? OI ? r ? ? OI ? r ? ? AC ? r ? ? AB ? r 2 2 2 2 1 1 ? ? ? 2 S? AOI ? r ? ? OI ? b ? c ? ? 2S? AOI . 2 2 ? ?



、 (


2






2

25




2







a, b, c






? b2 ? c2 ? a 2 ? ? c2 ? a 2 ? b2 ? ? a 2 ? b2 ? c2 ? ? ? ?? ? ?? ? ?3 2bc 2ca 2ab ? ? ? ? ? ?









b2 ? c 2 ? a 2 c 2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 的值。 ? ? 2bc 2ca 2ab
解:由于 a, b, c 具有轮换对称性,不妨设 0 ? a ? b ? c. (1)若 c ? a ? b ,则 c ? a ? b ? 0, c ? b ? a ? 0 ,从而得:

? c ? b ? ? a ? 1, b2 ? c2 ? a 2 ? 1? 2bc 2bc
2 2

? c ? a ? ? b ? 1, c2 ? a 2 ? b2 ? 1? 2ca 2ca
2 2

a 2 ? b2 ? a 2 ? a ? b ? ? c ? ? 1 ? ?1, 2ab 2ab
2 2

? b2 ? c2 ? a 2 ? ? c2 ? a 2 ? b2 ? ? a 2 ? b2 ? c2 ? 所以 ? ? ?? ? ?? ? ? 3 ,与已知条件矛盾。 2bc 2ca 2ab ? ? ? ? ? ?
(2)若 c ? a ? b ,则 0 ? c ? a ? b,0 ? c ? b ? a ,从而可得:

2

2

2

? c ? b ? ? a ? 1, b2 ? c2 ? a 2 0? ? 1? 2bc 2bc
2 2

? c ? a ? ? b ? 1, c2 ? a 2 ? b2 0? ? 1? 2ca 2ca
2 2

? a ? b ? ? c ? 1, a 2 ? b2 ? c2 0? ? 1? 2ab 2ab
2 2

a 2 ? b2 ? a 2 ? a ? b ? ? c ? ? 1 ? ?1, 2ab 2ab
2 2

? b2 ? c2 ? a 2 ? ? c2 ? a 2 ? b2 ? ? a 2 ? b2 ? c2 ? 所以 ? ? ?? ? ?? ? ? 3 ,与已知条件矛盾。 2bc 2ca 2ab ? ? ? ? ? ?
综合(1) (2)可知:一定有 c ? a ? b. 于是可得

2

2

2

b2 ? c 2 ? a 2 c2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ? 1, ? 1, ? ?1 2bc 2ca 2ab

所以

b2 ? c 2 ? a 2 c 2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 ? ? ? 1. 2bc 2ca 2ab


相关文章:
2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解
2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解_学科竞赛_初中教育_教育专区。2016 年...2013年全国初中数学联合... 5页 免费 1991年全国初中数学联合... 3页 免费...
2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解
2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解_学科竞赛_初中教育_教育专区。绥化市金状元课外辅导学校 2016 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3 月 20 日上午 8...
2010-2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解_...
2010-2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解_学科竞赛_初中教育_教育专区。...2013 年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题 ?a ? 2b ? 3c ? 0, ...
1991-2013年全国初中数学联合数学竞赛试题及答案(...
1991-2013年全国初中数学联合数学竞赛试题及答案(word版本) - 一九九一年 第一试 一、选择题 本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A) 、(B) (C) 、(...
2013年全国初中数学联赛试题及详解
2013年全国初中数学联赛试题及详解 - 2013 年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 1.计算 4 3 ? 2 2 ? ...
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 - 2016 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3 月 20 日上午 8:30 - 9:30) 一、选择题(本题满分 42 分,每小题 ...
2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解
2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解 - 2016 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3 月 20 日上午 8:30 - 9:30) 一、选择题(本题满分 42 分,每小...
最新-2018年全国初中数学联合竞赛试题及答案 精品
最新-2018年全国初中数学联合竞赛试题及答案 精品 - 2018 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 1. 设 a ...
2008年年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案
2008年年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案 - (08)一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 本题共有 6 小题,每题均给出了代号为 A, B, C , D...
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标...
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准 - 全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第一试 一、选择题: (本题满分 42 分,每小题 7 分) 1....
更多相关标签: