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2018年高考数学一轮复习专题20两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学案文!


专题 20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式; 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式; 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式,了解它们的内在联系; 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三 组公式不要求记忆).

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α ±β )=sin__α cos__β ±cos__α sin__β . cos(α ?β )=cos__α cos__β ±sin__α sin__β . tan α ±tan β tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α =2sin__α cos__α . cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α . 2tan α tan 2α = . 2 1-tan α 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan__α tan__β ). 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = . 2 2 (3)1+sin 2α =(sin α +cos α ) , 1-sin 2α =(sin α -cos α ) , π? ? sin α ±cos α = 2sin?α ± ?. 4? ? 4 .函数 f(α ) = asin α + bcos α (a , b 为常数 ) ,可以化为 f(α ) = a +b sin(α +
2 2 2 2 2 2 2 2

b? a? ? ? 2 2 φ )?其中tan φ = ?或 f(α )= a +b ?cos(α -φ )?其中tan φ = ?. a b

?

?

?

?

-1-

高频考点一、三角函数式的化简 【例 1】 (1)cos(α +β )cos β +sin(α +β )sin β =( A.sin(α +2β ) C.cos(α +2β ) B.sin α D.cos α )

α ? ? α (1+sin α +cos α )??cos -sin ? 2 2? ? (2)化简: (0<α <π )=________. 2+2cos α

答案 (1)D (2)cos α 【方法规律】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角之间的差别与联系,把角进行 合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化 弦”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要 升幂”等. 【变式探究】 (1) 2+2cos 8+2 1-sin 8的化简结果是________. 1 4 2 2cos α -2cos α + 2 (2)化简: ?π ? 2?π 2tan? -α ?sin ? +α 4 ? ? ?4
2

? ? ?

=________.

解析 (1)原式= 4cos 4+2 (sin 4-cos 4) =2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,

2

5 3 因为 π <4< π ,所以 cos 4<0,且 sin 4<cos 4, 4 2

-2-

所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4. 1 4 2 (4cos α -4cos α +1) 2 (2)原式= ?π ? 2?sin? -α ? ?4 ? ? 2?π ?cos ? -α ? 4 π ? ? ? ? cos? -α ? ?4 ? = (2cos α -1) ?π ? ?π 4sin? -α ?cos? -α 4 ? ? ?4 cos 2α 1 = cos 2α . 2cos 2α 2
2 2 2

cos 2α = ? 2sin?π -2α ? ? ?2 ? ? ? ?

2



1 答案 (1)-2sin 4 (2) cos 2α 2 高频考点二 三角函数式的求值 【例 2】 (1)[2sin 50°+sin 10°(1+ 3tan 10°)]? 2sin 80=________.
2 ?π ? 3 17π <α <7π ,则sin 2α +2sin α 的值为________. (2)已知 cos? +α ?= , 4 1-tan α ?4 ? 5 12 2

1 1 (3)已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tan β =- ,则 2α -β 的值为________. 2 7 cos 10°+ 3sin 10° 解析 (1)原式=(2sin 50°+sin 10°? )? cos 10° 1 3 cos 10°+ sin 10° 2 2 2sin 80°=(2sin 50°+2sin 10°? )? cos 10°



17π 7π 5π π ?π ? 3 <α < 得 <α + <2π ,又 cos? +α ?= , 4 12 4 3 4 ? ? 5
-3-

4 4 ?π ? ?π ? 所以 sin? +α ?=- ,tan? +α ?=- . 5 3 ?4 ? ?4 ? 2 7 2 7 ??π ? π? cos α =cos?? +α ?- ?=- ,sin α =- ,sin 2α = . 10 10 25 ? 4? ?? 4 sin 2α +2sin α 28 所以 =- . 1-tan α 75 tan(α -β )+tan β (3)∵tan α =tan[(α -β )+β ]= 1-tan(α -β )tan β 1 1 - 2 7 1 = = >0, 1 1 3 1+ ? 2 7
2

答案 (1) 6

28 3π (2)- (3)- 75 4

【方法规律】(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子,再观察已知条件与所求值的 式子之间的联系(从三角函数名及角入手),最后将已知条件及其变形代入所求式子,化简求 值. (2)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,

? π? 选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0, ?,选正、余 2? ?

-4-

? π π? 弦皆可;若角的范围是(0,π ),选余弦较好;若角的范围为?- , ?,选正弦较好. ? 2 2?
【变式探究】 (1)4cos 50°-tan 40°=( A. 2 C. 3 B. 2+ 3 2 )

D.2 2-1

π? 4 3 π ? (2)已知 sin?α + ?+sin α =- ,- <α <0,则 cos α 的值为________. 3? 5 2 ? 1 13 π (3)已知 cos α = ,cos(α -β )= (0<β <α < ),则 tan 2α =________,β =________. 7 14 2 sin 40° 解析 (1)原式=4sin 40°- cos 40° = = = = = 4cos 40°sin 40°-sin 40° cos 40° 2sin 80°-sin 40° cos 40° 2sin(120°-40°)-sin 40° cos 40° 3cos 40°+sin 40°-sin 40° cos 40° 3cos 40° = 3,故选 C. cos 40°

4 3 ∴sin α = ,tan α =4 3, 7
-5-

2tan α 2?4 3 8 3 ∴tan 2α = = =- . 2 1-tan α 1-48 47 π π ∵0<β <α < ,∴0<α -β < , 2 2 3 3 ∴sin(α -β )= , 14 ∴cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ) 1 13 4 3 3 3 1 = ? + ? = , 7 14 7 14 2 π ∴β = . 3 3 3-4 答案 (1)C (2) 10 8 3 (3)- 47 π 3

高频考点三 三角变换的简单应用 【例 3】 已知△ABC 为锐角三角形,若向量 p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量 q=(sin A -cos A,1+sin A)是共线向量. (1)求角 A; (2)求函数 y=2sin B+cos
2

C-3B
2

的最大值.

π ? π 5π ? π π ? π? 因为 B∈?0, ?,所以 2B- ∈?- , ?,所以当 2B- = 时,函数 y 取得最大值, 2? 6 ? 6 ? 6 6 2 ?

-6-

π 此时 B= ,ymax=2. 3 【方法规律】解三角函数问题的基本思想是“变换”,通过适当的变换达到由此及彼的目的, 变换的基本方向有两种,一种是变换函数的名称,一种是变换角的形式.变换函数名称可以使 用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等;变换角的形式,可以使用两角和与 差的三角函数公式、倍角公式等. 1 2 【变式探究】 已知函数 f(x)=(2cos x-1)?sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及单调减区间; (2)若 α ∈(0,π ),且 f?

?α -π ?= 2,求 tan?α +π ?的值. ? ? ? 3? ?4 8? 2 ?

1 2 解 (1)f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 =cos 2xsin 2x+ cos 4x 2 π? 1 2 ? = (sin 4x+cos 4x)= sin?4x+ ?, 4? 2 2 ? π ∴f(x)的最小正周期 T= . 2 π π 3 令 2kπ + ≤4x+ ≤2kπ + π ,k∈Z, 2 4 2 得


2

π kπ 5π + ≤x≤ + ,k∈Z. 16 2 16

∴f(x)的单调减区间为? (2)∵f?

?kπ +π ,kπ +5π ?,k∈Z. 16 ? ? 2 16 2 ?

?α -π ?= 2,即 sin?α -π ?=1. ? ? 4? ?4 8? 2 ? ?

π π 3π 因为 α ∈(0,π ),- <α - < , 4 4 4 π π 3π 所以 α - = ,故 α = . 4 2 4 3π π tan +tan 4 3 -1+ 3 π ? ? 因此 tan?α + ?= = =2- 3. 3? 3π π ? 1+ 3 1-tan tan 4 3

-7-

1. 【2016 高考新课标 3 理数】 在 △ABC 中, B= (A)
3 10 10

π 1 BC 边上的高等于 BC ,则 cos A =( , 4 3
10 10



(B)

10 10

(C) -

(D) -

3 10 10

【答案】C

2.【2016 高考新课标 2 理数】若 cos( (A)

?

7 25

(B)

1 5

3 ? ? ) ? ,则 sin 2? ? ( 4 5 1 (C) ? 5

) (D) ?

7 25

【答案】D 【解析】 cos ? 2 ?

? ?? 7 ?? ?? ? ? 3? , ? ? ? ? ? 2cos 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? 25 ?? ?4 ? ?5? ? ?4

2

且 cos ? 2 ?

? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? cos ? ? 2? ? ? sin 2? ,故选 D. ?? ?2 ? ? ?4
3 ,则 cos 2 ? ? 2sin 2? ? ( 4
(C) 1 (D) )

3.【2016 高考新课标 3 理数】若 tan ? ? (A)

64 25

(B)

48 25

16 25

【答案】A 【解析】

3 3 4 3 4 ,得 sin ? ? , cos ? ? 或 sin ? ? ? , cos ? ? ? ,所以 4 5 5 5 5 16 12 64 cos 2 ? ? 2sin 2? ? ? 4? ? ,故选 A. 25 25 25 3? cos(? ? ) ? 10 ? ( 【2015 高考重庆,理 9】若 tan ? ? 2 tan ,则 ) ? 5 sin(? ? ) 5
由 tan ? ? A、1 【答案】C 【解析】 由 已 知 , B、2 C、3 D、4

-8-

3? 3? 3? ) cos ? cos ? sin ? sin 10 ? 10 10 ? ? ? sin(? ? ) sin ? cos ? cos ? sin 5 5 5 3? ? 3? cos ? 2 tan sin 10 5 10 ? cos(? ? 2 tan cos

?

cos

3? 3? ? tan ? sin 10 10

tan ? cos

?

5

? sin

?

5

?

5

cos

?

5

? sin

?

5

?
5

?

cos

3? ? 3? 1 5? ? ? 5? ? ? 2sin sin (cos ? cos ) ? (cos ? cos ) 3cos 10 5 10 = 2 10 10 10 10 ? 10 ? 3 , ? ? 1 2? ? sin cos sin cos 5 5 2 5 10

选 C. (2014?新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=sin(x+2φ )-2sin φ cos(x+φ )的最大值为 ________. 【答案】1

(2014?安徽卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A= 2B. (1)求 a 的值;

? π? (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ?
a2+c2-b2 【解析】 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由余弦定理得 cos B= 2ac
= sin A a +c -b ,所以由正弦定理可得 a=2b? . 2sin B 2ac
2 2 2 2

因为 b=3,c=1,所以 a =12,即 a=2
2 2 2

3.

(2)由余弦定理得 cos A=

b +c -a 9+1-12 = = 2bc 6
1 2 2 1- = . 9 3

1 2 - .因为 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos A= 3

π π 2 2 2 ? 1? 2 4- 2 ? π? 故 sin?A+ ?=sin Acos +cos Asin = ? +?- ?? = . 4 3 4 4 3 2 ? ? 2 6 ? ? 1 (2014?重庆卷)已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ , 2 面积 S 满足 1≤S≤2, 记 a, b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 2 )

-9-

C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 【答案】A

所以 1≤ ≤2,即 2≤R≤2 4

R2

2,所以 bc(b+c)>abc=8R sin Asin Bsin C=R ≥8.

3

3

(2014?湖北卷)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关 系:

f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差. (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温? π? 1 π ? ? 3 π ?π cos t+ sin t?=10-2sin?12t+ 3 ?, ? ? 12 2 12 ? ?2 π? π π π 7π ?π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < ,-1≤sin? t+ ?≤1. 3? 3 12 3 3 ?12 【解析】(1)因为 f(t)=10-2? 当 t=2 时,sin?

π 12

π 12

?π t+π ?=1; ? 3? ?12

π? ?π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. 3? ?12 于是 f(t)在[0,24)上取得的最大值是 12,最小值是 8. 故实验室这一天的最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. 由(1)得 f(t)=10-2sin? 故有 10-2sin? 即 sin?

?π t+π ?, 3? ?12 ?

?π t+π ?>11, 3? ?12 ?

?π t+π ?<-1. 3? ?12 ? 2

- 10 -

7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < , 6 12 3 6 即 10<t<18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. → → (2014?辽宁卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA?BC=2, 1 cos B= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值.

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= ? = . b 3 3 9
因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 1-?

因此 cos C= 1-sin C=

2

?4 2?2 7 ? = . ? 9 ? 9

1 7 2 2 4 2 23 所以 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= ? + ? = . 3 9 3 9 27 (2014?全国卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan

A= ,求 B.
【解析】由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A,

1 3

- 11 -

故 3tan Acos C=2sin C. 1 因为 tan A= ,所以 cos C=2sin C, 3 1 所以 tan C= . 2 所以 tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) = tan A+tan C tan Atan C-1

=-1, 所以 B=135°. 1+sin β ? π? ? π? (2014?新课标全国卷Ⅰ] 设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = ,则( 2? 2? cos β ? ? π A.3α -β = 2 π C.2α -β = 2 【答案】C π B.3α +β = 2 π D.2α +β = 2 )

(2014?四川卷) 如图 1?3 所示, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 67°, 30°,此时气球的高度是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四舍五入法将结果精 确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, 3≈1.73)

图 1?3 【答案】60 【解析】 过 A 点向地面作垂线,记垂足为 D,则在 Rt△ADB 中,∠ABD=67°,

- 12 -

AD=46 m,∴AB=

AD

sin 67°



46 =50(m), 0.92

在△ABC 中,∠ACB=30°,∠BAC=67°-30°=37°,AB=50 m, 由正弦定理得,BC=

ABsin 37°
sin 30°

=60 (m),

故河流的宽度 BC 约为 60 m. π? ? (2014?四川卷)已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; π? ?α ? 4 ? (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? 5 ? π ? π ? 【解析】(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 2kπ π 2kπ 得- + ≤x≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3

此时,cos α -sin α =- 2. 5 2 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α ) = . 4 由 α 是第二象限角,得 cos α -sin α <0,此时 cos α -sin α =- 综上所述,cos α -sin α =- 2或- 5 . 2 5 . 2

3 ? π? 2 (2014?天津卷)已知函数 f(x)=cos x?sin?x+ ?- 3cos x+ ,x∈R. 3? 4 ?
- 13 -

(1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?

所以 f(x)的最小正周期 T=

2π =π . 2

π? 1 ? π ? π π? ? π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数,f?- ?=- , 12? 4 ? 4 ? 12 4 ? ? 4?

f?- ?=- ,f? ?= , 12 4
1 1 ? π π? 所以函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 4 4 2 ? ?

? π? ? ?

1 2

?π ? 1 ? ? 4

1.(1+tan 17°)(1+tan 28°)的值是( A.-1 B.0

) C.1 D.2

解析 原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°?tan 28° =1+tan 45°(1-tan 17°?tan 28°)+tan 17°?tan 28° =1+1=2. 答案 D 1 2.已知 α 是第二象限角,且 tan α =- ,则 sin 2α =( 3 )

- 14 -

3 10 A.- 10

3 10 B. 10

3 C.- 5

3 D. 5

1 解析 因为 α 是第二象限角,且 tan α =- , 3 所以 sin α = 10 3 10 ,cos α =- , 10 10 10 ? 3 10? 3 ??- =- ,故选 C. ? 10 ? 5 10 ?

所以 sin 2α =2sin α cos α =2? 答案 C

1 3 2tan 14° 3.设 a= cos 2°- sin 2°,b= ,c= 2 2 2 1-tan 14° A.a<c<b C.b<c<a B.a<b<c D.c<a<b

1-cos 50° ,则有( 2

)

解析 由题意可知,a=sin 28°,b=tan 28°,c=sin 25°, ∴c<a<b. 答案 D π? 3 ? 4.已知 sin α = 且 α 为第二象限角,则 tan?2α + ?=( 4? 5 ? 19 A.- 5 5 B.- 19 31 C.- 17 17 D.- 31 )

答案 D π 2π ? 23π ?=( 5.cos ?cos ?cos?- 9 ? 9 9 ? ? 1 A.- 8 1 B.- 16 ) C. 1 16 D. 1 8

π 2π ? 23 ? 解析 cos ?cos ?cos?- π ?=cos 20°?cos 40°?cos 100°=-cos 20°? 9 9 ? 9 ? sin 20°cos 20°cos 40°cos 80° cos 40°?cos 80°=- sin 20°

- 15 -

1 sin 40°?cos 40°?cos 80° 2 =- sin 20° 1 1 1 sin 80°?cos 80° sin 160° sin 20° 4 8 8 1 =- =- =- =- . sin 20° sin 20° sin 20° 8 答案 A 6.设 α ,β ∈[0,π ],且满足 sin α cos β -cos α sin β =1,则 sin(2α -β )+sin(α -2β )的取值范围为( A.[- 2,1] C.[-1,1] ) B.[-1, 2] D.[1, 2]

答案 C π? 2 ? π? ? 4 4 7.已知 cos α -sin α = ,且 α ∈?0, ?,则 cos?2α + ?=________. 2? 3? 3 ? ? 2 ? π? 4 4 2 2 2 2 解析 ∵cos α -sin α =(sin α +cos α )(cos α -sin α )=cos 2α = ,又 α ∈?0, ?, 2? 3 ? ∴2α ∈(0,π ),∴sin 2α = 1-cos 2α =
2

5 , 3

π? 1 3 1 2 3 5 2- 15 ? ∴cos?2α + ?= cos 2α - sin 2α = ? - ? = . 3? 2 2 2 3 2 3 6 ? 答案 2- 15 6

π? 1 π? ? ? 8.若 cos?α - ?= ,则 sin?2α - ?的值是________. 3? 3 6? ? ? π? π? π? ? ? ? 解析 sin?2α - ?=sin?2?α - ?+ ?= 3? 2? 6 ? ? ? ? π? π? 1 7 ? 2? cos 2?α - ?=2cos ?α - ?-1=2? -1=- . 3? 3? 9 9 ? ? 7 答案 - 9 12 ? π 3π ? ? π? ?π ? 3 ?5 ? 9.已知 α ∈? , ?,β ∈?0, ?,且 cos? -α ?= ,sin? π +β ?=- ,则 cos(α 4 ? 4? 13 ?4 ? ?4 ? 5 ?4 ?

- 16 -

+β )=________.

?π 3π ? ?π ? 3 解析 ∵α ∈? , ?,cos? -α ?= , 4 ? ?4 ?4 ? 5
4 ?π ? ∴sin? -α ?=- , 5 ?4 ? 12 ?5 ? ?π ? 12 ∵sin? π +β ?=- ,∴sin? +β ?= , 4 4 13 ? ? ? ? 13

? π? ?π ? 5 又∵β ∈?0, ?,∴cos? +β ?= , 4? ? ?4 ? 13
∴cos(α +β )=cos?? 33 答案 - 65 π? 2 ? π? ? 10.已知 θ ∈?0, ?,且 sin?θ - ?= ,则 tan 2θ =________. 2? 4 ? 10 ? ? π? 2 1 ? 解析 sin?θ - ?= ,得 sin θ -cos θ = ,① 4 ? 10 5 ? 24 7 4 ? π? θ ∈?0, ?,①平方得 2sin θ cos θ = ,可求得 sin θ +cos θ = ,∴sin θ = ,cos 2? 25 5 5 ? 3 4 2tan θ 24 θ = ,∴tan θ = ,tan 2θ = =- . 2 5 3 1-tan θ 7 24 答案 - 7 11.已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),b=(2,-1). sin θ -cos θ (1)若 a⊥b,求 的值; sin θ +cos θ π? ? π? ? (2)若|a-b|=2,θ ∈?0, ?,求 sin?θ + ?的值. 2 4? ? ? ?

??π +β ?-?π -α ??=3? 5 -4?12=-33. ? ?4 ?? 5 13 5 13 65 ?? 4 ? ? ??

- 17 -

? π? 2 2 又 cos θ +sin θ =1,且 θ ∈?0, ?, 2? ?
3 4 所以 sin θ = ,cos θ = . 5 5 π? 2 2?3 4? 7 2 ? 所以 sin?θ + ?= (sin θ +cos θ )= ? + ?= . 4? 2 2 ?5 5? 10 ? 12.设 cos α =- 5 1 3π π ,tan β = ,π <α < ,0<β < ,求 α -β 的值. 5 3 2 2 5 3π 2 5 1 ,π <α < ,得 sin α =- ,tan α =2,又 tan β = , 5 2 5 3 1 2- 3

解 法一 由 cos α =-

tan α -tan β 于是 tan(α -β )= = 1+tan α tan β

=1. 1 1+2? 3

3π π π π 3π 5π 又由 π <α < ,0<β < 可得- <-β <0, <α -β < ,因此,α -β = . 2 2 2 2 2 4 π 13. 如图, 现要在一块半径为 1 m, 圆心角为 的扇形白铁片 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ, 3 使点 P 在弧 AB 上,点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,

设∠BOP=θ ,平行四边形 MNPQ 的面积为 S.
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(1)求 S 关于 θ 的函数关系式. (2)求 S 的最大值及相应的 θ 角. 解 (1)分别过 P,Q 作 PD⊥OB 于 D,QE⊥OB 于 E,则四边形 QEDP 为矩形.

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