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【首发2013福州市5月质检】福建省福州市2013高三5月质检(理科数学)试卷参考答案及评分标准


2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评 分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应 给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,共 50 分. 1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C 9.D 10.D 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,共 20 分. 11. 1 12.3 13.② ④ ③ 14.

1 8

15. 122

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础 知识,考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等,满分 13 分. 解: )依题意得 f ( x) ? sin (Ⅰ

?
3

x ? 3 cos

?
3

x …………ks5u……………………1分

? 2 sin(

?
3

x?

?
3

) …………………………………………………………………3分

所以函数 f ( x) 的值域为 [?2, 2] . ………………………………………………………5 分 (Ⅱ )方法一 由(Ⅰ )知, f ( x) ? 2sin(

?

x? ) 3 3

?

? ?? ? ? f (1) ? 2sin ? ? ? ? 3 , f (3) ? ?2sin ? ? 3 ,………………………………6 分 3 ?3 3?
从而

M( 1 ,

.………………………………………………7 分 3 ) ,? ( 3 , N 3 )

∴ OM ? 1 ? 3 ? 2, ON ? 9 ? 3 ? 2 3 ,

MN ? (3 ? 1)2 ? ( ? 3 ? 3)2 ? 4, ……………………………………………9 分

根据余弦定理得

OM ? ON ? MN 4 ? 12 ? 16 cos ?MON ? ? ? 0. 2 OM ON 2? 2? 2 3
2 2 2

∴?MON ? 90 ,…………………………………………………………………10 分
?

△ MON 的面积为 S ?

1 1 OM ON ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 .…………13 分 2 2

方法二 同方法一得: M (1, 3), N (3, ? 3) .…………………………………………7 分 则 OM ? (1, 3), ON ? (3, ? 3) . ………………………………………………8 分

???? ?

????

???? ???? ? OM ? ON ? 1? 3 ? 3 ? (? 3) ? 0 .……………………………………………10 分
所以 ?MON ? 90 ,
?

???? ???? ? 即OM ? ON

△ MON 的面积为 S ?

1 1 OM ON ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 .……………13 分 2 2

方法三 同方法一得: M (1, 3), N (3, ? 3) .…………………………………………7 分 直线 OM 的方程为 y ?

3x ,即 3x ? y ? 0 . …………… …………………8 分
3 3 ? 2 3 ? 2 3 . ……………………10 分

点 N 到直线 OM 的距离为 d ?

又因为 OM ? 1 ? 3 ? 2, ,……………………………………ks5u…………………11 分 所以△ MON 的面积为 S ?

1 1 OM ? d ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 .…………………13 分 2 2

17.本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识,考查数 据处理能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等,满分 13 分. 解: )由甲抽取的样本数据可知,投篮成绩优秀的有 7 人,投篮成绩不优秀的有 5 人. (Ⅰ X 的所有可能取值为 0,1, 2 .……………………………………………………1 分 所以 P ( X ? 0) ?
2 C5 C1 C1 35 C2 21 7 5 ? ? , P ( X ? 1) ? 7 2 5 ? , P( X ? 2) ? 27 ? .…4 分 2 C12 33 C12 66 C12 66 22

故 X 的分布列为

X
P

0 5 33

1 2 35 7 66 22 …………………………………………5 分

5 35 7 7 ……6 分 ? 1? ? 2 ? ? . 33 66 22 6 (Ⅱ )设投篮成绩与性别无关,由乙抽取的样本数据,得 2? 2 列联表如下:
∴E( X ) ? 0 ? 优秀 男 女 合计 6 1 7 非优秀 1 4 5 合计 7 5 12 …………7 分

12(6 ? 4 ? 1 ? 1) 2 K 的观测值 k ? ? 5.182 ? 3.841,……………………………9 分 7 ?5?5?7
2

所以有 95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关. ……………………10 分 (Ⅲ )甲用的是系统抽样,乙用的是分层抽样. ……………………11 分 由(Ⅱ )的结论知,投篮成绩与性别有关,并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明 显差异,因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优. ……………………13 分 18.本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面位置关系等基础知识;考查 空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.满分 13 分. (Ⅰ )如图,连接 ED, ∵EA ? 底面 ABCD 且 FD // EA ,∴FD ? 底面 ABCD , ∴FD ? AD , ∵DC ? AD,FD ? CD ? D , ∴ AD ? 面 FDC , ----------------1 分

1 1 1 2 AD ? S ?FDC ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? , --------2 分 3 3 2 3 1 8 1 VE ? ABCD ? EA? S? ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , -------------3 分 3 3 3 ∴ 多面体 EABCDF 的体积 10 V多面体 ? VE ? FCD ? VE ? ABCD ? .--------------5 分 3 (Ⅱ 以点 A 为原点, 所在的直线为 x 轴, 所在的直线为 y ) AB AD
∴VE ? FCD ? 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 如 图 . 由 已 知 可 得

A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),
所以 EC ? (2, ,? 2), EB ? (2,0,?2),, EF ? (0,2,?1) ------7 分 2 设平面 ECF 的法向量为 n

? (x , y , z ) ,

则?

?n ? EC ? 0 ? ?n ? EF ? 0 ?

得: ?

?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ks5u… ?2 y ? z ? 0,
------9 分

取 y=1,得平面 ECF 的一个法向量为 n ? (1,1, 2) 设直线 EB 与平面 ECF 所成角为 ? ,

??? ? ??? ? ?2 3 n ? EB ??? | ?| ? 所以 sin ? ?| cos n, EB | ?| |? . ----11 分 6 | n | ? | EB | 4 3 ( Ⅲ) 取 线 段 CD 的 中 点 Q ; 连 接 KQ , 直 线 KQ 即 为 所
求. ---------------12 分 图上有正确的作图痕迹………………………………13 分 19.本题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数 形结合思想和化归与转化思想等,满分 13 分. 解: )设曲线 C 上任意一点 P 的坐标为 ( x, y ) . (Ⅰ 依题意 k PA ? k PB ?

y y b2 ? ? ? 2 ,且 x ? ?a ,………………3分 x?a x?a a

整理得

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 .所以,曲线 C 的方程为: 2 ? 2 ? 1 , x ? ?a .………5 分 a2 b a b

? x2 y2 ? (Ⅱ )由 ? a 2 ? b 2 ? 1, 得 (b2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 hkx ? a 2 (h2 ? b2 ) ? 0 , ? y ? kx ? h, ?

?? ? 4a 4 h 2 k 2 ? 4 ? b 2 ? a 2 k 2 ? a 2 (h 2 ? b 2 ) ? 0, 即b 2 ? a 2 k 2 ? h 2 ,
由已知条件可知 M (- ,0) , N (0, h) ,所以

……7 分

h k

| MN |2 ?

h2 b2 ? a 2k 2 b2 ? h2 ? ? b 2 ? a 2 k 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 ? a 2 k 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab , k2 k2 k
2 2

从而 | MN | ? (a ? b) ,

即 | MN |? a ? b .

………………13 分

20. (本小题满分 14 分) 本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形 结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分 14 分.

解: f ?( x) ?

1 2a x 2 ? (4 ? 2a) x ? (4 ? 2a) . ? ? 1 ? x ( x ? 2) 2 ( x ? 1)(x ? 2) 2

(Ⅰ )当 a ? 0 时, f (0) ? 0 ,切线的斜率 k ? f ?(0) ? 1 , 所以切线方程为 y ? x ,即 x ? y ? 0 . ……3 分

(Ⅱ )当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以只要考查 g ( x) ? x 2 ? (4 ? 2a) x ? (4 ? 2a) 的符号. 由 ? ? (4 ? 2a) 2 ? 4(4 ? 2a) ? 0 ,得 0 ? a ? 2 , 当 0 ? a ? 2 时, g ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , f (x) 在区间 (0,??) 上单调递增; 当 a ? 2 时,由 g ( x) ? 0 解得 x ? a ? 2 ? a 2 ? 2a . ……6 分 当 x 变化时, f ?(x ) 与 f (x ) 的变化情况如下表:

函数 f (x ) 在区间 (0, a ? 2 ? a 2 ? 2a ) 单调递减, 在区间 (a ? 2 ? a 2 ? 2a ,??) 上单调 递增. ……9 分

(Ⅲ )由(Ⅱ )知,当 a ? 2 时, f (x) 在区间 (0,??) 上单调递增; 所以 f ( x) ? ln(1 ? x) ? 即

2x ? f (0) ? 0 ,ks5u… x?2

2x ? ln(1 ? x) 对任意 x ? (0,??) 成立. ……11 分 x?2 1 取 x ? , k ? 1,2,3,?, n , k 1 2 2 1 ? ln( k ? 1) ? ln k , k ? 1,2,3,?, n .……13 分 得 k ? ln(1 ? ) ,即 1 2k ? 1 k ?2 k
将上述 n 个不等式求和,得到:

? 2k ? 1 ? ?[ln(k ? 1) ? ln k ] ,
k ?1 k ?1

n

2

n

即不等式

1 1 1 ? ??? ? ln n ? 1 对任意 n ? N* 成立. 3 5 2n ? 1

……14 分

21. (1)选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能 力.满分 7 分. 解: )依题意 T ? ? (Ⅰ

3 1 ?3 1 ? ? ,所以 det T ? 2 2 ? 4 , ?2 2? 1? ? 1 ? ? ? ?1 4 . 所以 T ? ? 2 ----------3 分 1 3 ? ?? ? ? 2 4 ? 1? ? 1 ? 2 ? 4 ?? 5 ? ? 1 ? ? ??? ?. (Ⅱ )由 T? ? ? ,得 ? ? T ?1? ? ? 1 3 ?? 6 ? ? 2 ? ?? ?? ? ? ? ? 2 4 ?

----------7 分

(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,满分 7 分.
2 解: (Ⅰ)由 ? ? 6 cos? ? 8 sin ? ,得 ? ? 6? cos? ? 8? sin? ,

所以圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 ,
2 2

即 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 5 .………………………………………………3 分
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得圆 C 的参数方程为 ? 所以 x ? y ? 7 ? 5 2 sin(? ? 因此当 ? ?

? x ? 3 ? 5 cos? , ( ? 为参数). ? y ? 4 ? 5 sin ?

?
4

) , ………………………5 分

?
4

? 2k? , k ? Z 时, x ? y 取得最大值为 7 ? 5 2 , 5 5 2 ,4 ? 2 ) .……………7 分 2 2

且当 x ? y 取得最大值时点 P 的直角坐标为 (3 ?

(3)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,满分 7 分. 解: )依题意,当 x ? 1 时不等式成立,所以 3? | 1 ? m |? 3 ,解得 m ? 1 , (Ⅰ 经检验, m ? 1 符合题意. ---------------------3 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 a ? 2b ? 3c ? 1 .根据柯西不等式,
2 2 2
2 2 得 (a ? 2b ? 3c) ? (1 ?

2 ? 3 )[ a 2 ? ( 2b) 2 ? ( 3c) 2 ] ? 6 ,-----------------5 分

2

2

所以 ? 6 ? a ? 2b ? 3c ? 6 , 当且仅当 a ? b ? c ?

6 6 时,取得最大值 6 ,a ? b ? c ? ? 时,取得最小值 ? 6 , 6 6
ks5u…-------------7 分

因此 a ? 2b ? 3c 的取值范围是 [? 6 , 6 ] .


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