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高三数学试题四川省绵阳南山中学2013届高三零诊考试


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2012 年 8 月 30 日 3:50—5:50

绵阳南山中学高 2013 级第五期零诊考试 数学试题(文史财经类)
范围:集合与常用逻辑用语、函数与导数和三角函数. 命题:张家寿 审题:王怀修

第 I 卷(选择题)
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分. 1.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( ) A.若 a?M,则 b?M B.若 b?M,则 a∈M C.若 b∈M,则 a?M D.若 a?M,则 b∈M 2.全集 U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cosx,x∈R},则下图中阴影部分表示的集合 为( ) A.{x|x<-1 或 x>2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x≤1} D.{x|0≤x≤1} 3.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( ) -∣ ∣ A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=2 x 3 4.若点 P(3,y)是角 α 终边上的一点,且满足 y<0,cosα= ,则 tanα=( ) 5 3 3 4 4 A.B. C. D. 4 4 3 3 0.2 0.2 2 5.若 a=5 ,b=0.5 ,c=0.5 ,则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 6.设函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f(x1x2…x2013)=8,则 f(x12)+f(x22)+…+f(x20132)=( ) A.4 B.8 C.16 D.2loga8 7.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( ) 1 5 3 3 4) A.( , B. ?2,4? C. ?1,2? D. ?2,2? ? ? ? ? ? ? 2 π π 8.函数 y=log2sinx 在 x∈?6,4?时的值域为( ) ? ? A.[-1,0] B. ?- 1, ? 2

? ?

1? ?

C.[0,1)

D.[0,1]

2 9.已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0 是函数 f(x)=lnx- 的零点, x 则 g(x0)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 ? 10.已知 f(x)= ? x ? 1, x ? [?1,0) ,则下列四图中所作函数的图像错误的是( ) ? 2 ? x ? 1, x ? [0,1] ?

11.若 x∈R,n∈N*,规定:Hn=x(x+1)(x+2)…(x+n-1),例如:H3 3=(-3)· (-1)=-6,则函 (-2)· - x 7 数 f(x)=x· x-3( ) H

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A.是奇函数不是偶函数 B.是偶函数不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 12.若函数 f(x)=-xex,则下列命题正确的是( ) 1 A.对任意 a∈?-∞,e?,都存在 x∈R,使得 f(x)>a ? ? 1 B.对任意 a∈? e,+∞?,都存在 x∈R,使得 f(x)>a ? ? 1 C.对任意 x∈R,都存在 a∈?-∞,e?,使得 f(x)>a ? ? 1 D.对任意 x∈R,都存在 a∈?e,+∞?,使得 f(x)>a ? ?

第 II 卷(非选择题)
二、填空题:每小题 4 分,共 16 分. 1 2 13.已知幂函数 f(x)=k·α 的图像过点? , ?,则 k+α=________. x ?2 2 ? 14.化简(log43+log83)(log32+log92)=________. 15.若函数 f(x)的导函数 f′(x)=x2-4x+3,则函数 f(x+1)的单调递减区间是________. 16.已知函数 y=f(x)和 y=g(x)在[-2,2]上的图像如 右图所 示,则方程 f[g(x)]=0 有且仅有_____个根; 方程 f[f(x)]=0 有且仅有______个根.

三、解答题:前 5 道题每题 12 分,最后一道题 14 分,本大题共 74 分. 1 1 1 17.(12 分)已知 c>0.设命题 p: 函数 y=cx 为减函数, 命题 q: x∈?2,2?时, 当 函数 f(x)=x+ > ? ? x c 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范围.

18.(12 分)已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时,f(x)>0; 当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2) c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立.

π 19.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的一段图像如下所示. 2 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调减区间,并指出 f(x)的最大值及取到最大值时 x 的集合.
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20.(12 分)某公司计划投资 A、B 两种金融产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资量 成正比例,其关系如图(1),B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图(2) (注:利润与投资量的单位均为万元). (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资量的函数关系式; (2)该公司有 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万元资金,才 能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

4 21.(12 分)若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)-k 有三个零点,求实数 k 的取值范围.

22.(14 分)已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx (k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; 4 x (2)设 g(x)=log4?a· -3a?,若函数 f(x)与 g(x)的图像有且只有一个公共点,求实数 a 的取 ? 2 ? 值范围.

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四川高考网-高考招生 考试 报名 志愿 录取等信息,提供四川高考试题下载 辅导资料 补习课程 2013 级第五期零诊考试数学试题(文)参考答案 1.C 析:命题“若 a∈M,则 b?M”的逆否命题是“若 b∈M,则 a?M”,又原命题与逆否命题为等价命题,故 选 C. 2.D 析:阴影部分表示的集合是 A∩B.依题意知,A={x|0≤x≤2}, B={y|-1≤y≤1},∴A∩B={x|0≤x≤1}, 故选 D. 3.B 析:A 选项中,函数 y=x3 是奇函数;B 选项中,y=|x|+1 是偶函数,且在 (0,+∞)上是增函数;C 选项中,y=-x2+1 是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数; 1 - D 选项中,y=2 |x|= 2 |x|是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数.故选 B. 3 3 4 4.D 析: cosα= = ,∴y2=16.∵y<0,∴y=-4,∴tanα=- . 3 9+y2 5

()

5.A 析:a=50.2>50=1,0<0.52<0.50.2<0.50=1 6. C 析:依题意有 loga(x1x2…x2013)=8,而 f(x2)+f(x2)+…+f(x20132) 1 2 =logax2+logax2+…+logax20132=loga(x1x2…x2013)2=2loga(x1x2…x2013)=2× 8=16. 1 2 3 2 25 7.A 析:函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=- x-2 + 在(-1,4)上的减区间为 4 3 3 ,4 .∵e>1,∴函数 f(x)的单调递减区间为 ,4 . 2 2

( )

[ )

[ )

π π 1 2 1 8.B 析: x∈ 6,4 ,得 ≤sinx≤ ,∴-1≤log2sinx≤- . 2 2 2 2 9.C 析:因为 f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3- >0,故 x0∈(2,3),g(x0)=[x0]=2. 3 ?x+1,x∈[-1,?0, 10. D 析: f(x)=? 2 因 其图像如图, 验证知 f(x-1), f(-x), f(|x|)的图像均正确, 只有|f(x)| ?x +1,x∈[0,1],

[ ]

的图象错误. 11.B 析:f(x)=x(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)=x2(x2-1)(x2-4)(x2-9), ∴f(x)是偶函数. 12.A 析: f′(x)=-ex(x+1),由于函数 f(x)在(-∞,-1)上递增,在(-1,+∞)上递减,故 f(x)max=f(-1) 1 1 = ,故任意 a∈ -∞, e ,?x0∈R,f(x0)>a. e

(

)

1 2 1 2 析:∵f(x)=k·α 是幂函数,∴k=1.又 f(x)的图像过点? , ?,∴ 2 α= , x 2 ?2 2 ? 1 1 3 ∴α= .∴k+α=1+ = . 2 2 2 5 1 1 1 5 3 5 14. 析:原式= log23+ log23log32+ log32= log23·log32= .(方法多) 4 2 3 2 6 2 4 15.(0,2) 析:由 f′(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)知,当 x∈(1,3)时,f′(x)<0.函数 f(x)在(1,3)上为减函数,函数 f(x+1)的图像是由函数 y=f(x)的图像向左平移 1 个单位长度得到的,所以(0,2)为函数 y=f(x+1)的单调减 区间. 16.6、5 析:由图可知方程 f(x)=0 在[-2,2]上的根有三个,分别为 x=0,x=a∈(-2,-1),x=b∈(1,2). ①f[g(x)]=0 等价于 g(x)=0 或 g(x)=a∈(-2,-1)或 g(x)=b∈(1,2),结合 y=g(x)在[-2,2]的图像,可以 发现 g(x)=0,g(x)=a∈(-2,-1),g(x)=b∈(1,2)各有两个解,合计为 6 个解;②f[f(x)]=0 等价于 f(x) =0 或 f(x)=a∈(-2,-1)或 f(x)=b∈(1,2),结合 y=f(x)在[-2,2]的图像,可以发现 f(x)=0,f(x)=a∈(- 2,-1),f(x)=b∈(1,2)的根分别为 3 个,1 个,1 个,合计为 5 个解. 1 5 1 1 17.解:若命题 p 为真,则 0<c<1,由 2≤x+ ≤ 知,要使 q 为真,需 <2,即 c> . x 2 c 2 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则 p、q 中必有一真一假, 1 当 p 真 q 假时,c 的取值范围是 0<c≤ ;当 p 假 q 真时,c 的取值范围是 c≥1. 2 1 ? ? 综上可知,c 的取值范围是?c 0<c≤2 或c≥1?. ? ? 18.解:由题意得 x=-3 和 x=2 是函数 f(x)的零点且 a≠0, 13. 3 2

()

|

?-b-8=-3+2, ? a 则? ?-a-ab=-3×2. ? a

?a=-3, 解得? ∴f(x)=-3x2-3x+18. ?b=5.

(1)由图像知,函数在[0,1]内单调递减,∴当 x=0 时,y=18;当 x=1 时,y=12, ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. 四川高考网 www.scgkxx.com

四川高考网-高考招生 考试 报名 志愿 录取等信息,提供四川高考试题下载 辅导资料 补习课程 5 (2)令 g(x)=-3x2+5x+c.∵g(x)在 6,+∞ 上单调递减,要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成立,则需要 g(1)≤0. 即-3+5+c≤0,解得 c≤-2, ∴当 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 2 3 π 15π 2 19.解:(1)由图知 A=3, T=4π- = ,∴T=5π,∴ω= ,∴f(x)=3sin 5x+φ . 4 4 4 5 π π π ∵f(x)的图像过点( ,0),∴3sin 10+φ =0,∴ +φ=kπ(k∈Z), 4 10 2 π π π π ∴φ=kπ- (k∈Z),∵|φ|< ,∴φ=- ,∴f(x)=3sin 5x-10 . 10 2 10 π 2 π 3π 3π (2)由 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ 得,5kπ+ ≤x≤5kπ+4π(k∈Z), 2 5 10 2 2 3π ∴函数 f(x)的单调减区间为 5kπ+ 2 ,5kπ+4π (k∈Z). 3π ? ? 函数 f(x)的最大值为 3,取到最大值时 x 的集合为?x x=5kπ+ 2 ,k∈Z ?. ? ? 20.解:(1)设投资 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元. 1 依题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x,由图(1),得 f(1)=0.2,即 k1=0.2= . 5 4 1 4 由图(2),得 g(4)=1.6,即 k2× 4=1.6.∴k2= ,故 f(x)= x(x≥0),g(x)= x(x≥0). 5 5 5 (2)设 B 产品投入 x 万元,则 A 产品投入 10-x 万元,设公司利润为 y 万元, 1 4 由(1)得 y=f(10-x)+g(x)=- x+ x+2(0≤x≤10). 5 5 1 4 1 14 ∵y=- x+ x+2=- ( x-2)2+ ,0≤ x≤ 10, 5 5 5 5 14 ∴当 x=2,即 x=4 时,ymax= =2.8, 5 因此当 A 产品投入 6 万元,B 产品投入 4 万元时,该公司获得最大利润,为 2.8 万元. 21.解:(1)由题意可知 f′(x)=3ax2-b, ?f′?2?=12a-b=0, ?a=1, 1 3 于是? 解得? 故所求的解析式为 f(x)= x3-4x+4. 4 3 f?2?=8a-2b+4=- , 3 ? ?b=4.

[

)

(

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|

(2)由(1)可知 f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示: x 2 (-∞,-2) -2 (-2,2) (2,+∞) f′(x) 0 0 + - + 28 4 f(x) ?增 ?减 - ?增 3 3 28 4 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 ;当 x=2 时,f(x)有极小值- . 图(略) . 3 3 4 28 故要使 g(x)=f(x)-k 有三个零点,实数 k 的取值范围是- <k< . 3 3 22.解: (1)∵函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数, 1+4x - ∴f(-x)=log4(4 x+1)-kx=log4? x ?-kx=log4(4x+1)-(k+1)x=log4(4x+1)+kx 恒成立, ∴-(k+1) ? 4 ? 1 =k,则 k=- . 2 4 2 (2)g(x)=log4 a·x-3a ,函数 f(x)与 g(x)的图像有且只有一个公共点,即方程 f(x)=g(x)只有一个解,由 4 1 2 已知得 log4(4x+1)- x=log4 a·x-3a . 2

(

)

(

)

4x+1 4 2 ∴log4 x =log4 a·x-3a 2

(

)

?a·x-4a>0, ? 2 3 方程等价于? x 4 +1 4 ? 2x =a·x-3a. 2 ?

4 设 2x=t(t>0),则有关于 t 的方程(a-1)t2- at-1=0. 3

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四川高考网-高考招生 考试 报名 志愿 录取等信息,提供四川高考试题下载 辅导资料 补习课程 4 4 若 a-1>0 即 a>1,则需关于 t 的方程(a-1)t2- at-1=0 只有一个大于 的正数解. 3 3 4 4 4 设 h(t)=(a-1)t2- at-1,∵h(0)=-1<0,h( )<0∴恰好有一个大于 的正解, 3 3 3 ∴a>1 满足题意; 若 a-1=0 即 a=1 时,解得 t<0,不满足题意; 4 3 若 a-1<0 即 a<1 时,由 Δ= -3a 2+4(a-1)=0,得 a=-3 或 a= , 4 4 4 当 a=-3 时,则需关于 t 的方程(a-1)t2- at-1=0 只有一个小于 的正数解. 3 3 1 解得 t= 满足题意; 2 3 当 a= 时,t=-2,不满足题意. 4

( )

综上所述,实数 a 的取值范围是{a|a>1 或 a=-3}.

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