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清华数学实验复习试的题目八(蒙特卡罗方法_龙格-库塔方法)

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考试课程 班级

数学实验 姓名 学号

2005.6.15 下午 得分

[说明] (1)第一、二、三题的答案直接填在试题纸上; (2)第四题将数学模型、简要解题过程和结果写在试题纸上;卷面空间不够时,请写在背 面; (3)除非特别说明,所有计算结果小数点后保留 4 位数字。 (4)考试时间为 120 分钟。 一、 (10 分)某厂生产 A、B 两种产品,1 千克原料在甲类设备上用 12 小时可生产 3 件 A, 可获净利润 64 元;在乙类设备上用 8 小时可生产 4 件 B,可获净利润 54 元。该厂每天可获 得 55 千克原料,每天总的劳动时间为 480 小时,且甲类设备每天至多能生产 80 件 A。试为 该厂制订生产计划使每天的净利润最大。 1) 以生产 A、B 产品所用原料的数量 x1、x2(千克)作为决策变量,建立的数学规划模型是: 决策变量: 生产 A 原料 x1;生产 B 原料 x2 目标函数: y=64*x1+54*x2 约束条件: x1+x2 ≤55 12*x1+8*x2≤480 3*x1≤80 x1,x2 ? 0 基本模型: max(y)= 64*x1+54*x2 s.t.

x1+x2 ≤55 12*x1+8*x2≤480 3*x1≤80 x1,x2 ? 0

c=[64 54]; A1=[ 1 1 ; 12 8 ; 3 0]; b1=[55;480;80]; v1=[0 0]; [x,z,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,[],[],v1) lag.ineqlin 输出结果: x =10.000000004005848 44.999999993870908 z =-3.069999999925403e+003 ans =
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33.999999998919357 2.500000000140441 0.000000000278405 2) 每天的最大净利润是___3070__元。若要求工人加班以增加劳动时间,则加班费最多 为每小时__2.5__元。若 A 获利增加到 26 元/件,应否改变生产计划?____不变___ c=[78 54]; A1=[ 1 1 ; 12 8 ; 3 0]; b1=[55;480;80]; v1=[0 0]; [x,z,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,[],[],v1) x = 9.999999999999400 45.000000000000625 z =-3.209999999999987e+003 二、(10 分) 已知常微分方程组初值问题

1 ? x 2 y ''? xy '? ( x 2 ? ) y ? 0, y ( ) ? 2, 4 2

y( ) ? 试用数值方法求 6 __ 1.73205____(保留小数点后 5 位数字)。你用的 MATLAB 命令是
______ ode45(@ff, ts,y0)______,其精度为____四阶__。
%待解常微分方程组函数 M 文件源程序:

?

? 2 y '( ) ? ? . 2 ?

function dy=ff (x,y) dy=[y(2);-y(2)./x-y(1)*(x.^2-0.25)/(x.^2)];
%应用欧拉方法和龙格-库塔方法求解该常微分方程:

ts=pi/2:- pi/12:pi/6; ! ! ! !步长必须是可以整除步长区间长度的数 y0=[2,-2/pi]; [x,y]=ode45(@ff, ts,y0); %龙格-库塔方法求数值解 [x, y(:,1)] 输出结果: 0.523598775598299 1.732050795523993 三、(10 分) 已知线性代数方程组 Ax=b, 其中

? x1 ? ? 5 ?7 0 1 ? ?6 ? ?x ? ? ?3 22 6 2 ? ? 3? 2? ? ? ? x? A? b?? ? ? x3 ? ? 5 ?1 31 ?1? ?4? ? ? ? ? ? ? ? x4 ? , ? 2 1 0 23? , ?7 ? ,

?x 1
x1 若方程组右端项有小扰动 ?b ? [0,0,0,0.1]? ,试根据误差估计式估计

?
___0.0743___

( x, ?x 分 别 表 示 原 问 题 的 解 和 右 端 项 小 扰 动 后 对 应 的 解 的 变 化 量 ) ;若取初值

x (0) ? [0,0,0,0]? , x (5) ? _(1.7160, 0.3926, -0.1306, 则用高斯-赛德尔迭代法求解 Ax=b 时,
0.1381)_;对本题而言,此迭代方法是否收敛___是__,原因是__谱半径ρ(B)=0.397<1__。
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线性代数方程组解的误差分析:

?x
x

? A?1 ? A ?

?b
b

? cond ( A) ?

?b
b

故其误差上限为: A=[5 -7 0 1 ;-3 22 6 2 ;5 -1 31 -1 ;2 1 0 23]; b=[6 3 4 7]; db=[0 0 0 0.1]; d=cond(A,1)*norm(db,1)/norm(b,1) 输出结果: d =0.074339065208930

A=[5 -7 0 1 ;-3 22 6 2 ;5 -1 31 -1 ;2 1 0 23]; D=diag(diag(A)); %从稀疏矩阵 A 中提取 D L=-tril(A,-1); %从稀疏矩阵 A 中提取 L U=-triu(A,1); %从稀疏矩阵 A 中提取 U b=[6 3 4 7]'; %设定方程组右端项向量 x= zeros(4,1); %设定方程组初始向量 m= inv(D-L)*U; n= inv(D-L)*b; %高斯-赛德尔迭代法 for j2=1:5 y=m*(x(:,j2)); for i=1:4 x(i,j2+1)=y(i,:)+n(i,:); end end t2=x(:,end) %输出迭代法最终结果 j2 输出结果: t2 = 1.715972347226445 0.392646824062879 -0.130571100623047 0.138061238325401 判敛: lamda=eig(inv(D-L)*U) pubanjing=max(abs(lamda)) 输出结果: pubanjing =0.396832340862002

四、 (20 分)炮弹射击的目标为一椭圆形区域,在 X 方向半轴长 110m,Y 方向半轴长 90m. 当瞄准目标的中心发射炮弹时, 在众多随机因素的影响下, 弹着点服从以目标中心为均值的 二维正态分布,设弹着点偏差的均方差在 X 方向和 Y 方向分别为 70m 和 50m。今测得一组弹 着点的横纵坐标如下: X -6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.6 -47.6 -120. 56.9
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8 Y X 28.9 100.9 1.6 47 61.7 9.7 -68 -60.1 -41.3 -52.7 -30.5 86 87 80.6 17.3 -42.6 -17.8 56.4 1.2 15.2

Y -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5 1) 根据这组数据对 X 方向和 Y 方向的均值和均方差进行假设检验 (设显著性水平为 0.05) 。 均值假设检验: H0:μ=0;H1:μ≠0; x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.9 -47.6 -120.8 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; h1=ztest(x,0,70) h2=ztest(y,0,50) 输出结果: h1 =0 h2 =0 方差假设检验: 2 2 2 2 H0:σ =σ0 ;H1:σ ≠σ0 ; x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.9 -47.6 -120.8 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; function [h]=ktest(x,s0,alpha,tail) n=length(x); 2 k=(n-1)*var(x)/(s0^2) %χ 分布检验方差 if tail==0 k1=chi2inv(alpha/2,n-1) k2=chi2inv(1-alpha/2,n-1) if k>=k1&k<=k2 h=0; else h=1; end end if tail==1 k0=chi2inv(1-alpha,n-1) if k<=k0 h=0; else h=1; end end if tail==-1 k0=chi2inv(alpha,n-1) if k>=k0 h=0; else h=1; end
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h1=ktest(x,70,0.05,0) h2=ktest(y,50,0.05,0) 输出结果: h1 =0 h2 =0 2) 根据这组数据给出随机变量 X 和 Y 相关系数的一个点估计。 相关系数点估计: x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.9 -47.6 -120.8 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; r=corrcoef(x,y) 输出结果: r= 0.313412305102197 3) 用蒙特卡罗方法求炮弹落在椭圆形区域内的概率(取 10000 个数据点;请附程序) 。

p( x, y) ?

1 2?? x? y

? ? x2 1 xy x2 ? ? ? ? exp ?? ? 2 r ? ? ? ? 2 2 2 ? x? y ? x ? 1? r2 ? ?? x ?? ? 2(1 ? r ) ? ?

%炮弹命中椭圆形区域概率源程序:

a=110; b=90; sx=70; sy=50; r=0.3134123; z=0; n=10000; x=unifrnd(-a,a,1,n); y=unifrnd(-b,b,1,n); for i=1:n if (x(i)^2)/(a^2)+y(i)^2/(b^2)<=1 u=exp(-0.5/(1-r^2)*(x(i)^2/sx^2-2*r*x(i)*y(i)/(sx*sy)+y(i)^2/sy^2)); z=z+u; end end P=4*a*b*z/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-r^2)*n) 输出结果: P = 0.761272218724379

考试课程 班级

数学实验 学号 姓名

2005.6.15 下午 得分

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[说明] (1)第一、二、三题的答案直接填在试题纸上; (2)第四题将数学模型、简要解题过程和结果写在试题纸上;卷面空间不够时,请写在背 面; (3)除非特别说明,所有计算结果小数点后保留 4 位数字。 (4)考试时间为 120 分钟。 一、 (10 分)某厂生产 A、B 两种产品,1 千克原料在甲类设备上用 12 小时可生产 3 件 A, 可获净利润 64 元;在乙类设备上用 8 小时可生产 4 件 B,可获净利润 56 元。该厂每天可获 得 55 千克原料,每天总的劳动时间为 480 小时,且甲类设备每天至多能生产 80 件 A。试为 该厂制订生产计划使每天的净利润最大。 1) 以生产 A、B 产品所用原料的数量 x1、x2(千克)作为决策变量,建立的数学规划模型是: 2) 每月的最大净利润是_____________元。若要求工人加班以增加劳动时间,则加班费最 多 为每小时__________元。若 A 获利增加到 27 元/件,应否改变生产计划?_____________ 二、(10 分) 已知常微分方程组初值问题

x 2 y ''? xy '? ( x 2 ?

y( ) ? 试用数值方法求 8 _______________________(保留小数点后 5 位数字)。 你用的 MATLAB
命令是__________________________________________,其精度为_____________。 三、(10 分) 已知线性代数方程组 Ax=b, 其中

?

1 ? ? 2 ) y ? 0, y ( ) ? 2, y '( ) ? ? 4 2 2 ?

? x1 ? ? 5 ?7 0 1 ? ?8 ? ?x ? ? ?3 22 6 2 ? ? 3? 2? ? ? ? x? A? b?? ? ? x3 ? ? 5 ?1 31 ?1? ?2? ? ? ? ? ? ? ? x4 ? , ? 2 1 0 23? , ?5? ,

?x 1
x1 若方程组右端项有小扰动 ?b ? [0,0,0,0.1]? ,试根据误差估计式估计

?
_____________

( x, ?x 分 别 表 示 原 问 题 的 解 和 右 端 项 小 扰 动 后 对 应 的 解 的 变 化 量 ) ;若取初值

x (0) ? [0,0,0,0]? , 则 用 高 斯 - 赛 德 尔 迭 代 法 求 解

Ax=b

时 ,

x

( 5)

? ____________________________________________;对本题而言,此迭代方法是否收

敛_________________,原因是__________________________________。 四、 (20 分)炮弹射击的目标为一椭圆形区域,在 X 方向半轴长 100m,Y 方向半轴长 80m. 当瞄准目标的中心发射炮弹时, 在众多随机因素的影响下, 弹着点服从以目标中心为均值的 二维正态分布,设弹着点偏差的均方差在 X 方向和 Y 方向分别为 70m 和 50m。今测得一组弹 着点的横纵坐标如下: X -6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.6 -47.6 -100. 56.9 8 Y X 28.9 100.9 1.6 47 61.7 9.7 -68 -60.1 -41.3 -52.7 -30.5 86 87 80.6 17.3 -42.6 -17.8 56.4 1.2 15.2

Y -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5 1) 根据这组数据对 X 方向和 Y 方向的均值和均方差进行假设检验 (设显著性水平为 0.05) 。 2) 根据这组数据给出随机变量 X 和 Y 相关系数的一个点估计。 3) 用蒙特卡罗方法求炮弹落在椭圆形区域内的概率(取 10000 个数据点;请附程序) 。

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考试课程

数学实验

参考答案与评分标准

2005.6.15

A 卷(班级-姓名-学号-得分)

max

64 x1 ? 54 x2 12 x1 ? 8 x2 ? 480 x1 ? x2 ? 55 3 x1 ? 80

s.t .

x1 , x2 ? 0 一、1) (如果进一步要求 3x1 和 4x2 为非负整数,不扣分) 2)3070 元,2.5 元;不变 二、1.73203(或 1.73205), ode23(或 ode45),3 级 2 阶(或 5 级 4 阶) (不写 3 级(或 5 级)不扣分;个别同学可能用其他命令,则结果相应略有变化) 三、0.0743, [1.7160, 0.3926, -0.1306, 0.1381]’, 收敛,谱半径为 0.3968<1 (不写出谱半径的具体数值不扣分,但写错要扣分) 四、1)对均值做的假设为

H0 : u ? 0, H1 : u ? 0 (X,Y 方向相同)
对 X 方向的方差做的假设为

X,Y 方向均接受 H0

2 2 H0: ? x =4900, H0: ? x ? 4900(如果做单侧检验,可不扣分) 接受 H0

对 Y 方向的方差做的假设为

H0:

2 2 ?y ?y ? =2500, H0: 2500(如果做单侧检验,可不扣分)接受 H0

2) 相关系数的点估计为 0.313 (用 r=corrcoef(x,y) 命令) 3)大约 0.76,结果具有随机性 [ 附 ] 主要程序示例: %1)~2) x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.6 -47.6 -120.8(%B-100.8) 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; h1=ztest(x,0,70), %x 方向均值检验 y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; h2=ztest(y,0,50), %Y 方向均值检验 r=corrcoef(x,y) % 相关系数的点估计 pause
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n=20; alpha=0.05; sx2=var(x),sx0=70; chi2=(n-1)*sx2/(sx0^2) chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=chi2alpha H0=0 else H0=1 end sy2=var(y),sy0=50; chi2=(n-1)*sy2/(sy0^2) chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=chi2alpha H0=0 else H0=1 end %3) a=0.7;b=0.5;m=0;z=0; p=0.313;c=1.1;d=0.9;%A % p=0.311;c=1; d=0.8; %B n=10000; for i=1:n x=2*rand(1,2)-1; y=0; if x(1)^2+x(2)^2<=1 y=exp(-0.5/(1-p*p)*(c^2*x(1)^2/a^2+d^2*x(2)^2/b^2-2*p*c*d*x(1)*x(2)/a/b) ); z=z+y; m=m+1; end end P=4*c*d*z/2/pi/a/b/sqrt(1-p*p)/n,m B 卷(班级-学号-姓名)

max

64 x1 ? 56 x2 12 x1 ? 8 x2 ? 480 x1 ? x2 ? 55 3 x1 ? 80

s.t .

x1 , x2 ? 0 一、1) 2)3160 元; 2 元;不变 二、1.53077 (或 1.53073), 龙格-库塔方法 ode23(或 ode45),3 级 2 阶(或 5 级 4 阶) 三、0.0826, [2.3416,0.5359,-0.2961,-0.0095]’, 收敛, 谱半径为 0.3968<1 四、1)同 A 卷。2)0.311; 3) 大约 0.69,结果具有随机性

评分标准: 一、1)5 分(每个式子一分),2)前两空每空 2 分,最后一空 1 分。 二、第一空 6 分,后两空每空 2 分。 三、第一空 3 分,中间一空 5 分,最后两空每空 1 分。 四、1)8 分(4 个检验每个 2 分) ;2)2 分;
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3)10 分(看程序及结果分析:积分表达式 2 分,程序 5 分,结果 3 分) 考试课程 数学实验 参考答案与评分标准 2005.6.15

A 卷(班级-姓名-学号-得分)

max

64 x1 ? 54 x2 12 x1 ? 8 x2 ? 480 x1 ? x2 ? 55 3 x1 ? 80

s.t .

x1 , x2 ? 0 一、1) (如果进一步要求 3x1 和 4x2 为非负整数,不扣分) 2)3070 元,2.5 元;不变 二、1.73203(或 1.73205), ode23(或 ode45),3 级 2 阶(或 5 级 4 阶) (不写 3 级(或 5 级)不扣分;个别同学可能用其他命令,则结果相应略有变化) 三、0.0743, [1.7160, 0.3926, -0.1306, 0.1381]’, 收敛,谱半径为 0.3968<1 (不写出谱半径的具体数值不扣分,但写错要扣分) 四、1)对均值做的假设为

H0 : u ? 0, H1 : u ? 0 (X,Y 方向相同)
对 X 方向的方差做的假设为

X,Y 方向均接受 H0

2 2 H0: ? x =4900, H0: ? x ? 4900(如果做单侧检验,可不扣分) 接受 H0

对 Y 方向的方差做的假设为

H0:

2 2 ?y ?y ? =2500, H0: 2500(如果做单侧检验,可不扣分)接受 H0

2) 相关系数的点估计为 0.313 (用 r=corrcoef(x,y) 命令) 3)大约 0.76,结果具有随机性 [ 附 ] 主要程序示例: %1)~2) x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.6 -47.6 -120.8(%B-100.8) 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; h1=ztest(x,0,70), %x 方向均值检验 y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; h2=ztest(y,0,50), %Y 方向均值检验 r=corrcoef(x,y) % 相关系数的点估计 pause n=20; alpha=0.05; sx2=var(x),sx0=70; chi2=(n-1)*sx2/(sx0^2) chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=chi2alpha H0=0 else H0=1 end sy2=var(y),sy0=50; chi2=(n-1)*sy2/(sy0^2) chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=chi2alpha H0=0 else H0=1 end %3)
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a=0.7;b=0.5;m=0;z=0; p=0.313;c=1.1;d=0.9;%A % p=0.311;c=1; d=0.8; %B n=10000; for i=1:n x=2*rand(1,2)-1; y=0; if x(1)^2+x(2)^2<=1 y=exp(-0.5/(1-p*p)*(c^2*x(1)^2/a^2+d^2*x(2)^2/b^2-2*p*c*d*x(1)*x(2)/a/b) ); z=z+y; m=m+1; end end P=4*c*d*z/2/pi/a/b/sqrt(1-p*p)/n,m B 卷(班级-学号-姓名)

max

64 x1 ? 56 x2 12 x1 ? 8 x2 ? 480 x1 ? x2 ? 55 3 x1 ? 80

s.t .

x1 , x2 ? 0 一、1) 2)3160 元; 2 元;不变 二、1.53077 (或 1.53073), 龙格-库塔方法 ode23(或 ode45),3 级 2 阶(或 5 级 4 阶) 三、0.0826, [2.3416,0.5359,-0.2961,-0.0095]’, 收敛, 谱半径为 0.3968<1 四、1)同 A 卷。2)0.311; 3) 大约 0.69,结果具有随机性

评分标准: 一、1)5 分(每个式子一分),2)前两空每空 2 分,最后一空 1 分。 二、第一空 6 分,后两空每空 2 分。 三、第一空 3 分,中间一空 5 分,最后两空每空 1 分。 四、1)8 分(4 个检验每个 2 分) ;2)2 分; 3)10 分(看程序及结果分析:积分表达式 2 分,程序 5 分,结果 3 分)

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