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【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第3章 第5讲_图文

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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

第三章 第5讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第三章 第5讲

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1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公 式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正 切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内 在联系.

第三章 第5讲

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1个必记口诀正弦公式概括为“正余,余正符号同”.余 弦公式概括为“余余,正正符号异”.
2点必知技巧
1. 化简技巧:“1”的代换,正切化弦,异角化同角,异次化 同次等. 2. 拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β, β=α+2 β-α-2 β,α=π4-(π4-α)等.

第三章 第5讲

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2. 变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其 手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
3. 变式:根据式子的结构特征进行变形,其手法通常有: “常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与 组合”、“配方与平方”等.

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课前自主导学

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1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=____________; cos(α±β)=____________; tan(α±β)=____________.

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(1)sin24°cos36°+cos24°sin36°=________. (2)cos80°cos20°+sin80°sin20°=________. (3)cos295°sin70°-sin115°cos110°=________.

第三章 第5讲

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(4)知sinα=45,α∈(π2,π),cosβ=-153,β是第三象限, 则cos(α-β)=________.
(5)11+ -ttaann1155°°=________. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α=________; cos2α=________=________=________; tan2α=________.

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二倍角公式中的sin2α,cos2α能否用tanα来表示?

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(1)化简下列各式:sin22.5°cos22.5°=________;

cos4α-sin4α=________;21s-in2αscions2αα=________.

(2)已知tan

α 2

=2,则tanα=________,tan(α+

π 4

)=

________.

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1. sinαcosβ±cosαsinβ

cosαcosβ?sinαsinβ

tanα±tanβ 1?tanαtanβ

填一填:(1)

3 2

1 (2)2

2 (3) 2

(4)-3635 提示:cosα=-35,sinβ=-1123.

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3635.

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(5) 3 提示:原式=1t-an4ta5n°4+5°ttaann1155°°=tan(45°+15°)=

3. 2.2sinα·cosα cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α

2tanα 1-tan2α

想一想:提示:∵sin2α=2sinαcosα=

2sinαcosα sin2α+cos2α



1+2tatannα2α,

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cos2α=cos2α-sin2α=ccooss22αα- +ssiinn22αα=11- +ttaann22αα.

填一填:(1)

2 4

cos2α

tan2α

(2)-43

-17

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核心要点研究

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例1

[2012·四川高考]已知函数f(x)=cos2

x 2

-sin

x 2

cos

x 2



1 2.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;

(2)若f(α)=3102,求sin2α的值.

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[审题视点] (1)由二倍角公式和和角公式把f(x)化为只含有

一个三角函数的形式,再确定周期和值域;(2)由f(α)=

32 10

求sin2α的值,注意角的合成与分解. [解] (1)由已知,f(x)=cos22x-sin2xcos2x-12

=12(1+cosx)-12sinx-12

= 22cos(x+4π).

所以f(x)的最小正周期为2π,值域为[- 22, 22].

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(2)由(1)知,f(α)= 22cos(α+4π)=3102, 所以cos(α+4π)=35. 所以sin2α=-cos(π2+2α)=-cos[2(α+4π)] =1-2cos2(α+4π)=1-1285=275.

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奇思妙想:本例条件不变,第(2)问改为:“若f(θ)=

62,θ∈[-π4,4π],求f(θ-4π)的值?”该如何解答?

解:由f(θ)= 62得 22cos(θ+π4)= 62,

∴cos(θ+π4)=13,又∵θ∈[-π4,4π],

∴θ+4π∈[0,π2],∴sin(θ+π4)=2

3

2 .

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f(θ-4π)= 22cosθ= 22cos[(θ+π4)-π4]

= 22[cos(θ+4π)cos4π+sin(θ+π4)sin4π]

= 22(13·22+232·22)=1+62

2 .

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1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则: (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理 的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”,看函数 名 称 之 间 的 差 异 , 从 而 确 定 使 用 的 公 式 ; (3) 三 看 “ 结 构 特 征”,分析结构特征,找到变形的方向. 2.公式的逆用,变形用十分重要,常用通过三角变换消去或 约去一些非特殊角的三角函数,“1”的代换,正切化弦,和 积互化,异角化同角等手段.

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[变式探究] (1)2tan?cπ4o-s2αα-?cosisn2?2π4α-α?=________.

(2)1+2sicno2s02°0°-sin10°(tan15°-tan5°)=________.

(3)tan25°+tan35°+ 3tan25°tan35°=________.

答案:(1)1

3 (2) 2

(3) 3

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解析:(1)2sin?π4-coαs?2coαs?4π-α?=sinc?oπ2s-2α2α?=1. (2)4si2nc1o0s°2c1o0s°10°-sin10°(csoins55°°-csoins55°°) =2csoisn1100°°-sin10°(cossin255-°cosisn52°5°)

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=2csoisn1100°°-2cos10°=cos102°s-in120s°in20°

=cos10°-22ssinin1?03°0°-10°?=

23ssinin1100°°=

3 2.

(3)原式=(1-tan25°tan35°)tan60°+ 3tan25°tan35°

= 3- 3tan25°tan35°+ 3tan25°tan35°= 3.

第三章 第5讲

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例2

[2013·郑州检测]若cos(

π 4

+x)=

3 5



17 12

π<x<

7 4

π,求

sin21x-+ta2nsxin2x的值. [审题视点] (1)利用x=(π4+x)-4π的变换,同时注意x的

范围和符号.(2)化简原式得到二倍角与和角的三角函数,

利用2x=2(π4+x)-π2变换.

第三章 第5讲

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[解] 方法一:由1172π<x<74π得53π<x+π4<2π.

又因为cos(4π+x)=35,sin(π4+x)=-45.

cosx=cos[(4π+x)-π4]

=cos(4π+x)·22+sin(π4+x)·22=-

2 10 .

第三章 第5讲

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从而sinx=-7102,tanx=7. 原式=2sinx1co-sxta+nx2sin2x

=2×?-7102?×?-1-1027?+2×?-7102?2=-2785. 方法二:原式=2sinxc1o-sxt?a1n+x tanx?

=sin2xtan(π4+x).

第三章 第5讲

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而sin2x=sin[2(4π+x)-π2]=-cos2(π4+x)

=-[2cos2(4π+x)-1]=275.

由题意得sin(π4+x)=-45,

tan(4π+x)=csoins??π44π++xx??=-43,

所以,原式=275×(-43)=-2785.

第三章 第5讲

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解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与 “所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”. (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差. (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或 “互余互补”关系.

第三章 第5讲

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角的变换是求值的关键环节,常用角的变换如下:α= 2·α2,α=(α+β)-β
α=β-(β-α),4π+α=2π-(π4-α) α=4π-(4π-α)等.

第三章 第5讲

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[变式探究]

[2013·东莞模拟]已知tan

???α+π4???



1 2

,且-

π 2

<α<0,则2scino2sα???α+-siπ4n???2α等于(

)

A. -255

B. -3105

C. -31010

25 D. 5

答案:A

第三章 第5讲

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解析:由tan(α+

π 4

)=

tanα+1 1-tanα



1 2

,得tanα=-

1 3

.又-

π 2

<α<0,所以sinα=- 1100.故2sicno2sα???α+-siπ4n???2α=2s2in2α?s?isniαnα++cocsoαsα? ?

=2

2sinα=-2

5

5 .

第三章 第5讲

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例3 [2012·陕西高考]函数f(x)=Asin ???ωx-6π??? +1(A>0, ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π.
(1)求函数f(x)的解析式; (2)设α∈???0,2π???,f???α2???=2,求α的值.

第三章 第5讲

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[审题视点] (1)利用最值求出A,利用周期求出ω的

值.

(2)结合已知条件得出关于α的方程sin(α-

π 6

)=

1 2

后容易

求得α的值.

第三章 第5讲

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[解] 由f(x)的最大值为3,知A=2,由周期为π,知ω=2, 故函数f(x)的解析式为y=2sin???2x-6π???+1. (2)∵f???α2???=2sin???α-π6???+1=2, 即sin???α-π6???=12, 又∵0<α<2π,∴-π6<α-6π<3π. ∴α-6π=π6.故α=π3.

第三章 第5讲

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通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时, 遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知 正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是 ???0,π2??? ,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较 好;若角的范围为???-π2,π2???,选正弦较好.

第三章 第5讲

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[变式探究]

已知tan(α-β)=

1 2

,tanβ=-

1 7

,且α,β∈

(0,π)求2α-β的值. 解:由tan(α-β)=12知,1t+anαta-nαttaannββ=12.

将tanβ=-17代入上式解得tanα=13.

∴tan2α=1-2tatannα2α=12-×?1313?2=34,

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∴tan(2α-β)=1t+an2taαn-2αttaannββ=1+3434×+?17-17?=1. 由tanα=13< 33.α∈(0,π)知α∈(0,π6), ∴2α∈(0,π3).

第三章 第5讲

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由tanβ∈(-1,0),β∈(0,π)知β∈(34π,π), ∴-β∈(-π,-34π),∴2α-β∈(-π,-152π), ∴2α-β=-34π.

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课课精彩无限

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【选题·热考秀】

[2013·临沂模拟]若α、β是锐角,且sinα-sinβ=-

1 2



cosα-cosβ=12,则tan(α-β)=________.

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[规范解答] ∵sinα-sinβ=-12,cosα-cosβ=12, 两式平方相加得:2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=12, 即2-2cos(α-β)=12,∴cos(α-β)=34. ∵α、β是锐角,且sinα-sinβ=-12<0,∴0<α<β<π2. ∴-π2<α-β<0.

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∴sin(α-β)=-

1-cos2?α-β? =-

7 4

.∴tan(α-β)=

csoins??αα--ββ??=-

7 3.

[答案]



7 3

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:易错分析

由于α、β是锐角,所以-

π 2

<α-β<

π 2

,但还应注意sinα

-sinβ=-12<0,∴sinα<sinβ,α<β.

从而-

π 2

<α-β<0,故由cos(α-β)的值只能得到sin(α-

β)<0的值,本题若直接由α,β∈(0,

π 2

),得α-β∈(-

π 2



π2),则放宽了角的范围,会导致出现两个结果的错误.

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No.2 角度关键词:备考建议 三角函数值符号的确定,是解决三角求值、化简、证明的 关键,学生解题中容易忽视对条件的深刻挖掘,直接根据已 知,“宽松”条件确定符号,扩大角的范围致误,俗话说: “明枪易躲,暗箭难防”,我们在解题时一定要认真分析、小 心论证.

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1. [2012·重庆高考]sin47°-cosisn1177°°cos30°=(

)

A.



3 2

B. -12

1 C. 2 答案:C

3 D. 2

解析:原式=sin?17°+30c°o?s-17s°in17°cos30°=sin30°=12.

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2. 已知tanα=14,tan(α-β)=13,则tanβ=( )

7 A. 11

B. -171

C. -113

1 D. 13

答案:C 解析:tanβ=tan[α-(α-β)]=114+-1413·13=-113,选C项.

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3. 化简 2+cos2-sin21的结果是( )

A. -cos1

B. cos1

C. 3cos1

D. - 3cos1

答案:C

解析:原式= 3-3sin21= 3cos21= 3cos1.

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4. [2012·大纲全国]已知α为第二象限角,sinα+cosα=

33,则cos2α=( )

A.



5 3

B.



5 9

5 C. 9

5 D. 3

答案:A

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解析:∵sinα+cosα= 33,且α为第二象限角,

∴α∈(2kπ+π2,2kπ+34π)(k∈Z).

∴2α∈(4kπ+π,4kπ+32π)(k∈Z).

由(sinα+cosα)2=1+sin2α=13,

∴sin2α=-23.∴cos2α=-

1-???-23???2=-

5 3.

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5. [2012·泉州模拟]已知cos???α-π6???+sinα=453,则

sin???α+76π???的值是(

)

A. -253

23 B. 6

C. -45

4 D. 5

答案:C

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解析:cos ???α-π6??? +sinα= 4 5 3 ? 32 sinα+

3 2

cosα= 4

5

3?

sin???α+π6???=45,所以sin???α+76π???=-sin???α+π6???=-45.

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