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重积分习题课


重积分习题课 1.计算

??
D

1 x2 d? ,其中 D 由 y ? x , y ? , y ? 2 围成。 2 x y

2.计算积分 I ? 3.计算 I ? 4. 计算 I ?

?? ( x ? y) dxdy,其中 D 由 y
D 2

2

? 2 x , x ? y ? 4 , x ? y ? 12 所围成。

?? x?1 ? yf ( x
D
D

? y 2 ) dxdy,其中 D 由 y ? x3 , y ? 1 , x ? ?1 围成。
? y2

?

2 x ?? ( x ? xye

2

) dxdy ,其中:

(1) D 为圆域 x 2 ? y 2 ? 1 ; (2) D 由直线 y ? x , y ? ?1 , x ? 1 围成。 5.计算二重积分: (1) I ? (2) I ?

?? | y ? x
D
sin x

2

| dxdy,其中 D : ? 1 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1。

?? (
D

x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 2) dxdy , D 为圆域 x 2 ? y 2 ? 1 在第一象限的部分。

6.交换积分次序: I ? 7.计算 I ?

?

2?

0

dx?

0

f ( x, y)dy 。

??
D

x 2 ? y 2 dxdy ,其中 D 是由心脏线 r ? a(1 ? cos? ) 和圆 r ? a 所围的区域

(取圆的外部) 。 8. 在极坐标系下计算二重积分 9.在极坐标系下把二重积分

?? ( x ? y)dxdy,其中 D 是曲线 x
D

2

? y 2 ? x ? y 围成区域。

?? f ( x, y)d? 化为两种不同次序的累次积分,其中区域 D 由
D

Rx ? x 2 ? y 2 ? R 2 所确定, f ( x, y) 在 D 上连续。
10.计算 I ?
1

?? cos( x ? y )dxdy ,其中 D 是由 x ? y ? 1 , x ? 0 及 y ? 0 所围成。
D
y? y2 ? y? y

x? y

11.将积分 ? dy ?
0

dx ? 2

3( x 2 ? y 2 )

0

f ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dz 化成柱坐标和球坐标下的累次积分。 1 2 (x ? y 2 ) ,z ? 1, 2

12. 计算 I ?

???
???
2

?

( x 2 ? 5xy 2 sin x 2 ? y 2 )dxdydz ,其中 ? 由 z ?

z ? 4 围成。
13. 计算 I ?
?

| x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 | dxdydz ,其中 ? 由 x 2 ? y 2 ? 3z 2 , z ? 1 围成。
2 2 2 3

14.求曲面 ( x ? y ? z ) ? a z (a ? 0) 所围立体的的体积。 15.计算

???
?

2z x ?y
2 2

dxdydz, ? 是由 yoz 面上的区域 D 绕 z 轴旋转所成的立体, D 由

yoz 面上的曲线 x 2 ? z 2 ? 1 , z ? 2 y ? 1 , y ? 0 , z ? 0 围成位于第一象限的部分。

1

16. 求抛物面 z ? 1 ? x 2 ? y 2 的一个切平面, 使它与该抛物面及圆柱面 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 围成 的体积最小,试写出切平面的方程,并求出最小体积。 17.证明: 18.证明:

? dx ?
a

b

x

a

( x ? y ) n ? 2 f ( y )dy ?
u

1 b (b ? y ) n ?1 f ( y )dy 。 n ? 1 ?a

?

x

0

[ ? ( ? f (t )dt )du ]dv ?
0 0

v

1 x 2 ?0 ( x ? t ) f (t )dt 。 2

19. 设 f (x) 在 [0,1] 上连续,并设

?

1

0

f ( x)dx ? A ,求 I ? ? dx? f ( x) f ( y)dy 。
0 x b a

1

1

20.设 f (x) 在 [ a, b] 连续,证明: ( 21.设 F (t ) ?

?

f ( x)dx) 2 ? (b ? a)? f 2 ( x)dx 。
a
t ?0

b

x 2 ? y 2 ? z 2 ?t

??? f ( x

2

? y 2 ? z 2 )dxdydz, f (x) 在 [0,??) 上可导,求 lim

F (t ) 。 t5

22. f (x) 连续且恒大于零,F (t ) ? 设

??? f ( x
?(t )

2

? y 2 ? z 2 )dv
2 2

??
D (t )

f ( x ? y )d?

,G (t ) ?

?? f ( x
D (t )

2

? y 2 ) d?


?

t

?t

f ( x 2 ) dx

其中: ?(t ) ? {( x, y, z) | x 2 ? y 2 ? z 2 ? t 2 } , D(t ) ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? t 2 }, (1)讨论 F (t ) 在区间 (0,??) 内的单调性; (2)证明 t ? 0 时, F (t ) ?

2

?

G (t ) 。

2


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