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2018高中数学人教A版必修四第三章 1同角三角函数的基本关系 练习题含答案

单元练习 第三章 三角恒等变形 §1 同角三角函数的基本关系 , ) 1.问题导航 (1)同角三角函数的基本关系与三角函数的定义有怎样的联系? (2)同角三角函数的基本关系对于任意角都成立吗? (3)如何理解“同角”? 2.例题导读 P113 例 1,P114 例 2,例 3.通过此三例学习,学会利用同角三角函数的基本关系式解决已 知角的一个三角函数值求这个角的其他三角函数值. 试一试:教材 P117 习题 3-1 A 组 T1 你会吗? P114 例 4.通过本例学习,学会利用同角三角函数的基本关系式解决给值求值问题. 试一试:教材 P117 习题 3-1 A 组 T2、T3 你会吗? P115 例 5,例 6.通过此二例学习,学会利用同角三角函数的基本关系式解决三角函数式 的化简问题. 试一试:教材 P117 习题 3-1 A 组 T5 你会吗? P116 例 7.通过此例学习,学会利用同角三角函数的基本关系式进行三角恒等式的证明. 同角三角函数的基本关系 同角 三角 函数 的基 本关 系 ? ? ? sin ? 商数关系 cos ? 2 2 2 ? ? sin α =1-cos α 平方关系 sin α +cos α =1 变形? 2 2 ? ? cos α =1-sin α 2 α =tan α 变形 α ? sin ? ?cos α =tan α cos α sin α α = tan α π 语言叙述:同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,当 α≠kπ + (k∈Z)时,同一个 2 角 α 的正弦和余弦的商等于 α 的正切. 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对任意角 α,sin22α +cos22α =1 都成立.( ) 单元练习 α 2 α (2)对任意角 α, =tan 都成立.( ) 2 α cos 2 (3)对任意的角 α,β 有 sin2α +cos2β =1.( ) (4)sin2α 与 sin α 2 所表达的意义相同.( ) sin 解析:(1)正确.当角 α∈R 时,sin22α+cos22α=1 都成立,所以正确. sin π α α 2 (2)错误.当 =kπ+ ,k∈Z,即 α=2kπ+π,k∈Z 时,tan 没意义,故 =tan 不 2 2 2 2 α cos 2 α α 成立,所以错误. π (3)错误.当 α= ,β=0 时,sin2α+cos2β≠1,故此说法是错误的. 2 (4)错误.sin2α是(sin α)2 的缩写,表示角 α 的正弦的平方,sin α2 表示角 α2 的正弦,故 两者意义不同,此说法是错误的. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× 4 2.已知 sin α =- ,α 是第三象限角,则 tan α 等于( 5 3 3 A. B.- 4 4 4 4 C. D.- 3 3 4 解析:选 C.因为 sin α=- ,且 α 是第三象限角. 5 3 2 所以 cos α=- 1-sin α=- . 5 sin α 4 所以 tan α= = . cos α 3 3.已知 3sin α +cos α =0,则 tan α =________. 解析:因为 3sin α+cos α=0, 所以 cos α=-3sin α, sin α sin α 1 所以 tan α= = =- . 3 cos α -3sin α 1 答案:- 3 m-3 4-2m 4.已知 sin θ = ,cos θ = , m+5 m+5 则 m=________. 解析:由 sin2θ+cos2θ=1 得,m=0 或 8. 答案:0 或 8 ) 对同角三角函数的基本关系式的两点说明 (1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,这里, 单元练习 π π “同角”有两层含义:一是“角相同”如 与 ,2α 与 2α 都是同角,二是对“任意”一个 3 3 3 3 角(在使函数有意义的前提下).关系式成立与角的表达形式无关,如 sin2 α +cos2 α =1. 4 4 (2)在应用平方关系式求 sin α 或 cos α 时,其正负号是由角 α 所在的象限决定的,不 可凭空想象. 利用同角三角函数关系式求值 已知 tan α =-2,求 sin α ,cos α 的值. (链接教材 P113 例 1,P114 例 2,例 3) [解] 法一:因为 tan α=-2<0, 所以 α 为第二或第四象限角,且 sin α=-2cos α,① 又 sin2α+cos2α=1,② 1 由①②消去 sin α,得(-2cos α)2+cos2α=1,即 cos2α= . 5 5 2 5 当 α 为第二象限角时,cos α=- ,代入①得 sin α= ; 5 5 5 2 5 当 α 为第四象限角时,cos α= ,代入①得 sin α=- . 5 5 法二:因为 tan α=-2<0,所以 α 为第二或第四象限角. sin α 由 tan α= , cos α 两边分别平方,得 tan α= 2 , cos α 2 sin2α 又 sin2α+cos2α=1, 所以 tan α+1= 2 +1 cos α 2 sin2α sin2α+cos2α 1 = 2 , 2 cos α cos α 1 即 cos2α= . 1+tan2α = 当 α 为第二象限角时,cos α<0, 所以 cos α=- 1 1+tan2α 单元练习 =- 1 1+(-2) 2 =- 5 , 5 所以 sin α=tan α·cos α=(-2)×?- ? 5? 2 5 = . 5 5? 1 = 5 , 5 当 α 为第四象限角时,cos α>0, 所以 cos α= 1 2 1+tan α = 1+(-2) 2 所以 sin α=tan α·cos α=(-2)

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