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用样本的数字特征估计总体的数字特征5


创设意境
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击
10次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕ 7, 8, 6, 8, 6, 5, 9, 10, 7, 5 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥

的更稳定些吗?
为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要

通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——
用样本的数字特征估计总体的数字特征.

2.2.2 用样本的数 字特征估计总体的 数字特征(一)
(一 ) 众数、中位数、平均数

一 众数、中位数、平均数的概念
众数:在一组数据中,出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数.
中数:将一组数据按大小依次排列, 把处在最中间位置的一个数据(或最中 间两个数据的平均数)叫做这组数据的 中位数. 平均数: 一组数据的算术平均数,即 x=
1 ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) n

运用
从甲、乙、丙三个厂家生产的同一件产品中抽取 8 件产品,对其产品进行跟踪调查结果如下(单位:年) : 甲:3,4,5,6,8,8,8,10; 乙:4,6,6,6,8,9,12,13; 丙:3,3,4,7,9,10,11,12; 三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是 8 年, 请 根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、 中位数中哪一种集中趋势的特征数: 众数 乙:_________, 中位数 丙:_________ 平均数 。 甲:________,

探究1:众数、中位数和平均数
思考1:如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平 均数? 思考2:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方 图中,你认为众数应在哪个小矩形内?由此估计总体的众 数是什么?

频率 0.5 组距 0.4 0.3 0.2 0.1
O

取最高矩形下端 中点的横坐标 2.25作为众数.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

频率 组距

如何在频率分布直方图中估计中位数

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

在样本中中位数的左右各有50%的样本数,条形面积各 为0.5,所以反映在直方图中位数左右的面积相等.

后四个小矩形的 面积和=0.26 前四个小矩形的 面积和=0.49
0.22 0.25

0.15 0.08 0.04 0.5 1 1.5 2 2.5

0.14 0.06 0.04 3 3.5 4 0.02

4.5

可将中位数看作整个直方图面积的“中心” 2.02

月均用水量/t

思考4:如何在频率分布直方图中估计平均数
频率 组距

0.5 0.25,0.75,1.25, 0.4 1.75,2.25,2.75, 0.3 3.25,3.75,4.25. 0.2 月均 0.1 用水量/t O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中每个小矩 形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加. 由此估计 总体的平均数就是 0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25 ×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.0 2=2.02(t).

思考6:一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影

响,在某些情况下是一个优点,但它对极端值的不敏感有 时也会成为缺点,你能理解下例中“我们单位的收入水平 比别的单位高”这句话的含义? 样本数据的平均数大于(或小 于)中位数说明什么问题?

平均数大于(或小于)中位数,说明样本数据中存在 许多较大(或较小)的极端值. 这句话具有模糊性甚至蒙骗性,其中收入水平是员工 工资的某个中心点,它可以是众数、中位数或平均数.

三种数字特征的优缺点
特征数 众数 中位数 平均数 优 点 缺 点
体现了样本数据的最大 无法客观反映总体 特征 集中点 不受少数极端值的影响 不受少数极端值的 影响有时也是缺点 与每一个数据有关,更 受少数极端值的影 能反映全体的信息. 响较大,使其在估 计总体时的可靠性 降低.

生活决策中的应用: 体育\文艺比赛中,使用的是平均分. 同时去掉一个最高分和最低分,从而降 低误差,保证公平

三 、 众数、中位数、平均数的简单应用 例1 某工厂人员及工资构成如下:
人员
周工资 人数 合计

经理
2200 1 2200

管理人员 高级技工
250 6 1500 220 5 1100

工人
200 10 2000

学徒
100

合计

1 23 100 6900

(1)指出这个问题中周工资的众数、中 位数、平均数 (2)这个问题中,工资的平均数能客观 地反映该厂的工资水平吗?为什么?

分析:众数为200,中位数为220,
平均数为300。
因平均数为300,由表格中所列出的数据 可见,只有经理在平均数以上,其余的人 都在平均数以下,故用平均数不能客观真 实地反映该工厂的工资水平。

练习:”八.一”前夕,某中学举行国防知识竞赛:满分为 100分,80分以上为优秀,现将高一的两个班参赛学生的 成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直 方图,已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、 第五小组的频率分别是0.3,0.4,0.15,0.1,0.05 求:(1)成绩的众数、 中位数; (2)平均成绩
0.04 0.03

(1)65,65 (2)67

0.015 0.010 0.005

0

50 60 70

80 90

100

例3. 右面是某校学生日睡

睡眠时间 [6, 6.5)

人 5







眠时间的抽样频率分布表

0.05 0.17 0.33 0.37 0.06 0.02 1

[6.5, 7) (单位:h),试估计该 [7, 7.5) [7.5, 8) 校学生的日平均睡眠时间。 [8, 8.5) [8.5, 9]

解1:总睡眠时时间 6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75×37+8.25×6+8.75× 2 =739(h) 故平均睡眠时间约为7.39h 解2:求各组中值与对应频率之积的和, 6.25×0.05+6.75×0.17+7.25×0.33+7.75×37+8.25×0.06+8 .75×0.02 =7.39(h) 估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39h

17 33 37 6 2 100

? 作业:三维设计题型一

复习回顾 1、频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 2、三种数字特征的优缺点
特征数 众数 中位数 平均数 优 点
体现了样本数据的 最大集中点 不受少数极端值的 影响

缺 点
无法客观反映总体特 征 不受少数极端值的影 响有时也是缺点

与每一个数据有关, 受少数极端值的影响 更能反映全体的信 较大,使其在估计总 息. 体时的可靠性降低.

思考

如何从频率分布直方图中估计众数、 中位数、平均数呢? 众数:最高矩形的中点 2.25
中位数:左右两边直方 2.02 图的面积相等. 平均数:频率分布直方 图中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边中 点的横坐标之和. 2.02
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

频率 组距
0.5 0.44 0.3 0.28 0.16 0.08
O

(二)

一.实例引入
情境一;
甲.乙两名射击队员,在进行的十次射击中成绩分别是:

甲: 10; 9; 8; 10; 8; 8; 10; 10; 9.5; 7.5
乙: 9; 9; 8,5; 9; 9; 9.5; 9.5; 8.5; 8.5; 9.5

试问二人谁发挥的水平较稳定? 分析:甲的平均成绩是9环.乙的平均成绩也是9环.

情境二:
某农场种植了甲、乙两种玉米苗,从中各抽取 了10株,分别测得它们的株高如下:(单位cm)
甲: 31
乙: 53

32
16

35 37 33 30 32 31 30 29
54 13 66 16 13 11 16 62

哪种玉米苗长得高? 问: 哪种玉米苗长得齐?

x甲 =32

x乙 =32

怎 么 办 呢 ?

甲: 31 乙: 53 甲

32 16

35 54

37 13

33 66

30 16

32 13

31 11

30 16

29 62

29 32

37


11 32 66

甲 乙

37(最大值) 66(最大值)

29(最小值) 11(最小值)

8 55

极 差

极差: 一组数据的最大值与最小值的差
极差越大,数据越分散,越不稳定 极差越小,数据越集中,越稳定

极差体现了数据的离散程度

为了对两人射击水平的稳定程度,玉米生长的 高度差异以及钢筋质量优劣做个合理的评价,这 里我们引入了一个新的概念,方差和标准差.

设一组样本数据 x1,x2,…,xn ,其平均数为

x ,则

1 s ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n
2

它的算术平方根 称s2为这个样本的方差,

1 2 2 2 s? [( x1 ? x ) ? ( x2 ? x ) ? ? ? ( xn ? x ) ] n
称为这个样本的标准差,分别称为样本方差、样本标准差

? 样本中各数据与样本平均数的差的平 方和的平均数叫做样本方差;样本方 差的算术平方根叫做样本标准差。样 本方差和样本标准差都是衡量一个样 本波动大小的量,样本方差或样本标 准差越大,样本数据的波动就越大。

例1.计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的 方差和标准差。(标准差结果精确到0.1)

解:x ? 90 ? 1 (?1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 4 ? 0 ? 2 ? 3) ? 90
8

.

所以这组数据的方差为5.5,标准差为2.3 . 见课本76-77页

练习:若甲、乙两队比赛情况如下,下列说法哪些 说法是不正确的:
平均失球数 甲 1. 5 平均失球个数的标准差 1. 1



2. 1

0. 4

1、平均来说,甲的技术比乙的技术好; 2、乙比甲技术更稳定; 3、甲队有时表现差,有时表现好; 4、乙队很少不失球。

全对

例2:甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量 如下(单位:t/hm2 ),试根据这组数据估计哪一种水稻品种
的产量比较稳定.
品种 甲 乙 第一年 9. 8 9. 4 第二年 9. 9 10.3 第三年 10.1 10.8 第四年 10 9. 7 第五年 10.2 9. 8

1 解: x甲 ? (9.8 ? 9.9 ? 10 .1 ? 10 ? 10 .2) ? 10
s
2 甲

? [(9.8 ? 10) 2 ? (9.9 ? 10) 2 ? (10.1 ? 10) 2 ? (10 ? 10) 2 ? (10.2 ? 10) 2 ] ? 5 ? 0.02

5

x乙
2

s乙 ? [(9.4 ? 10) 2 ? (10.3 ? 10) 2 ? (10.8 ? 10) 2 ? (9.7 ? 10) 2 ? (9.8 ? 10) 2 ] ? 5 ? 0.24

1 ? (9.4 ? 10 .3 ? 10 .8 ? 9.7 ? 9.8) ? 10 5

因为x甲小于x乙,所以甲水稻的产量比 较稳定。

三.当堂反馈
1、在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分 数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去 掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和 方差分别为_________________;

9.5,0.016

思考一下:

a3 2、已知数据 a1 , a2 , 的方差为 2,则求数据 的方差。

2a1 , 2a2 , 2a3


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