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2017-2018学年高中数学人教A版必修4《平面向量的坐标运算》随堂练习(2)

单元练习 平面向量的坐标运算(2) 1.已知向量 i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量 a,给出下列四个结论 ①存在唯一的一对实数 x,y,使得 a=(x,y); ②a=(x1,y1)≠(x2,y2),则 x1≠x2,且 y1≠y2; ③若 a=(x,y),且 a≠0,则 a 的始点是原点 O; ④若 a≠0,且 a 的终点坐标是(x,y),则 a=(x,y). 其中,正确结论的个数是 2.已知 a=(3,-1),b=(-1,2),若 ma+nb=(10,0)(m,n∈R),则 m= n= 3.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量 4a,4b-2c,2(a-c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量 d 为 4.已知 a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则 a= ? 1 ??? π π 5.已知 A(2,3),B(1,4),且 AB =(sin α ,cos β ),α 、β ∈(- , ),则 α +β 2 2 2 =______. 6.已知 e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),试以 e1,e2 为基底,将 a 分解成 λ 1e1+λ 2e2 的形式为________. 7.在?ABCD 中,已知 AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线 AC,BD 相交于 O 点,则 CO 的 坐标是________. 8.已知点 A(1,2),B(2,5), AC =2 AB ,则点 C 的坐标为________. 9.已知 A(1,-2)、B(2,1)、C(3,2)和 D(-2,3),以 AB 、 AC 为一组基底来表示 AD + ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BD + CD . ??? ? 10.已知三点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),点 P 满足 AP = AB +λ AC (λ ∈R). (1)λ 为何值时,点 P 在正比例函数 y=x 的图像上? (2)设点 P 在第三象限,求 λ 的取值范围. ??? ? ??? ? ??? ? 单元练习 1.解析:由平面向量基本定理可知,①正确;②不正确.例如,a=(1,0)≠(1,3),但 1=1; 因为向量可以平移,所以 a=(x,y)与 a 的始点是不是原点无关,故③错误;a 的坐标与终 点坐标是以 a 的始点是原点为前提的,故④错误. 答案:1 2.解析:∵ma+nb=m(3,-1)+n(-1,2) =(3m-n,-m+2n)=(10,0), ?3m-n=10, ? ∴? ?-m+2n=0, ? ∴m=4,n=2. 答案:m=4,n=2 3.解析: ∵四条有向线段首尾相接构成四边形, 则对应向量之和为零向量, 即 4a+(4b-2c) +2(a-c)+d=0, ∴d=-6a-4b+4c=-6(1,-3)-4(-2,4)+4(-1,-2)=(-2,-6). 答案:(-2,-6) 4.解析:联立? ?a+b=?2,-8?, ? ?a-b=?-8,16?. ? ① ② ①+②得 2a=(2,-8)+(-8,16)=(-6,8) ∴a=(-3,4). 答案:(-3,4) ? 1 1 ??? 1 1 5.解析:∵ AB = (-1,1)=(- , )=(sin α ,cos β ), 2 2 2 2 1 1 π π π ∴sin α =- 且 cos β = ,∴α =- ,β = 或- . 2 2 6 3 3 π π ∴α +β = 或- . 6 2 π π 答案: 或- 6 2 6.解析:设 a=λ 1e1+λ 2e2(λ 1,λ 2∈R), 则(-1,2)=λ 1(1,2)+λ 2(-2,3)=(λ 1-2λ 2, 2λ 1+3λ 2), ? ?-1=λ 1-2λ 2, ∴? ?2=2λ 1+3λ 2, ? ? ?λ 解得? ? ?λ 1 1 = , 7 4 = . 7 2 单元练习 1 4 ∴a= e1+ e2. 7 7 1 4 答案:a= e1+ e2 7 7 ??? ? ? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? 7.解析: CO =- AC =- ( AB + AD ) 2 2 1 ? 1 ? =- [(-2,3)+(3,7)]=?- ,-5?. 2 ? 2 ? 1 答案:(- ,-5) 2 8.解析:∵ AB =(1,3),∴ AC =(2,6). 则 OC = OA + AC =(1,2)+(2,6)=(3,8). 答案:(3,8) 9.解:∵ AB →=(1,3), AC =(2,4), AD =(-3,5), ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BD =(-4,2), CD =(-5,1), ??? ? ∴ AD + BD + CD =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1) =(-12,8). 根据平面向量基本定理,一定存在实数 m、n,使得 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AD + BD + CD =m AB +n AC , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4), 即(-12,8)=(m+2n,3m+4n), ∴? ? ? m+2n=-12, ? ?3m+4n=8, ∴? ?m=32, ? ? ?n=-22. ∴ AD + BD + CD =32 AB -22 AC . 10 解:设 P 点坐标为(x1,y1),则 AP =(x1-2,y1-3). ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB +λ AC =(5-2,4-3)+λ