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高中数学必修1函数单调性和最值专题


函数专题:单调性与最值
一、增函数 1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x

1 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? ○ 2、从上面的观察分析,能得出什么结论? 不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图 象的这种变化规律就是函数的单调性。 3.增函数的概念 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自 变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。 注意: ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ②必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . 二、函数的单调性 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 【判断函数单调性的常用方法】 1、根据函数图象说明函数的单调性. 例 1、 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以 及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

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【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数 y =-x2 +2 | x | + 3 的图象,请指出它的的单调区间.

2.利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . 例 2、证明函数 y ? x ?
1 在(1,+∞)上为减函数. x

例 3、函数 f(x)=-x3+1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数还是 减函数?试证明你的结论.

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例 4、已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取 值范围. (抽象函数)

例 5、判断一次函数 y ? kx ? b (k ? 0) 单调性.(分类讨论)

例 6、已知函数 f(x)的定义域是 x ? 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1 , x2 都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ). 且当 x>1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1

(抽象函数证明单调性)

(1)求证:f(x)是偶函数; (2)f(x)在(0, ? ? )上是增函数; (3)解不等式 f (2 x 2 ? 1) ? 2 ??

【归纳小结】 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 〖针对性练习〗

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1 1.函数 y ? ? 的单调区间是( x

) B.(- ? ,0) (1, ? , ) D. (- ? ,1) ? (1, ? ) ).

A. (- ? ,+ ? ) C.(- ? ,1) 、 (1, ? )

2. 下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是(
3 x

A. y ? ?3x ? 2

B. y ?

C. y ? x 2 ? 4 x ? 5

D. y ? 3x2 ? 8x ?10

3.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的增区间是(

)。
1 (??, ?3) 3

A.[-3,-1]

B.[-1,1]

C. ?1 ? a ? ?

D. (?1, ?)

4、已知函数 f ( x) ? x ? 变形 f ( x) ? x ?
k (K>0) x

1 判断 f ( x) 在区间〔0,1〕和(1,+ ? )上的单调性。 x,

5、定义在(-1,1)上的函数 f ( x) 是减函数,且满足: f (1 ? a) ? f (a) ,求实数 a 的取值范 围。

6、函数 f(x)=-x3+1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数还是减 函数?试证明你的结论.

☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆ 1 、定义: 设 y=f(u),u=g(x), 当 x 在 u=g(x) 的定义域中变化时,u=g(x) 的值在 y=f(u) 的定义域 内变化,因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成的一种函数关系,记为
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y=f(u)=f[g(x)] 称为复合函数,其中 x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量 ( 即 函数 ) 2、复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律 如下: 函数
u ? g ( x) y ? f (u )

单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

y ? f ? g ( x)?

例 1、已知 y ? f (u) ? u ? 1, u ? g ( x) ? ?3x ? 2 ,求 y ? f ? g ( x)? 的单调性。

例 2、已知 y ? f (u) ? u 2 ? 1, u ? g ( x) ? x ? 1 ,求函数 y ? f ? g ( x)? 的单调性。

〖针对性训练〗 1、已知 y ? f (u) ? ?u ? 1, u ? g ( x) ? x2 ? 1 ,求函数 y ? f ? g ( x)? 的单调性。 `

2、已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x2 ,如果 g ( x) ? f (2 ? x2 ) ,那么 g ( x) ( ) A. 在区间(-1,0)上是减函数 C. 在区间(-2,0)上是增函数 B. 在区间(0,1)上是减函数 D. 在区间(0,2)上是增函数
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三、函数的最大(小)值 1.函数最大(小)值定义 1)最大值:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值. 2)最小值:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最小值. 注意:①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ; ②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x? I ,都有
f ( x) ? M ( f ( x) ? m) .

(2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M .

(2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M .

2.利用函数单调性来判断函数最大(小)值的方法. ①配方法 ②换元法 ③数形结合法

例 1、求函数 y ? x2 ? 2x ? 3当自变量x在下列范围内取值时的最值 . ① ?1 ? x ? 0 ② 0? x?3 ③ x ? (??, ??)

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例 2、求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值.

例 3、求函数 y ?

2 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. x ?1

【针对性练习】 一、选择题 1.函数 y=4x-x2,x∈[0,3]的最大值、最小值分别为( (A)4,0 2.函数 y ? (A)
1 2
1 x ? x2

) (D)4,3

(B)2,0 的最小值为( (B)1 )

(C)3,0

(C)2

(D)4 )

3、函数 y ? A.
3 ,0 7

3 ( x ? 2) 在区间〔0,5〕上的最大值、最小值分别是( x?2 3 3 3 3 , B. , 0 C. D. 最大值 ,无最小值。 2 2 7 7

二、填空题 1.函数 y=2x2-4x-1

x∈(-2,3)的值域为______.

2.函数 y ? 2x ? x2 的值域为______.
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3、函数 y ? x2 ? 4x ? 5( x ??0,3? ? 的值域是
4、函数 y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x 的值域是




三、解答题 1.求函数 f ( x) ? ?
?2 x , x ? 0 的值域. ?? x, x ? 0

2.设函数 f(x)=(x+a)2 对于任意实数 t∈R 都有 f(1-t)=f(1+t). (1)求 a 的值; (2)如果 x∈[0,5],那么 x 为何值时函数 y=f(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最 大值.

3.已知 f(x)=?

??3-a?x-4a, ? ? ?logax,

x<1

x≥1

是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围是________.

4.已知函数 y=-3x2+2ax-1,x∈[0,1],记 f(a)为其最小值,求 f(a)的表达式,并求 f(a)的最大值.

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