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安徽省望江中学2012-2013学年高二下学期开学测试数学试题 Word版含答案

安徽省望江中学 2012~2013 学年第二学期开学测试 高二数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是最符合题目要求的。 )

1.已知直线 mx ? ny ? 2 ? 0 平行于直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,且在 y 轴上的截距为 1,则 m, n 的值分别为(C) A. 1 和 2 B. -1 和 2 C. 1 和-2 D. -1 和-2 2.设 a ? 0, b ? 0, 则以下不等式中不恒成立的是(B) ....
1 1 A. (a ? b)( ? ) ? 4 a b

B. a 3 ? b 3 ? 2ab2 D.

C. a 2 ? b 2 ? 2 ? 2a ? 2b

| a ?b | ? a ? b

3.直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 16 的位置关系是(B) A.相切 B.直线过圆心 C.直线不过圆心但与圆相交 D.相离

? x ? y ? 2 ? 0, ? 4.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是(B) ?x ? 2 ?

5. 设 m , n 是两条不同的直线,? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四种说法: ①若 m ?,n//?, m n ; ②若 ? ? ? ,? ? ? , ? // ? ; 则 ? 则 ③若 m ?, ? // n//?,则 m n ④若 ? / /? , ? / /? , m ?,则 m ? 。 ? // ; ? 其中正确说法的个数为( B) A.1 B.2 C.3 D.4 A. 4 2 B.4 C .2 2 D.2
1 1 6.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是(C) 2 2

A. [?1,1]

B. [?

2 ,1] 2

C. [?1,

2 ] 2

D. [?1,?

2 ] 2

7. 平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是(B) A. ? 内有无穷多条直线与 ? 平行; B. ? 内的任何直线都与 ? 平行 C. 直线 a 在平面?内,直线 b 在平面?内 ,且 a ∥ ? , b ∥ ? D. 直线 a ∥ ? ,直线 a ∥ ?

8.有一几何体的三视图如下,则该几何体体积为(A)

A.4+

5? 2

B.4+

3? 2

C.4+

? 2

D.4+ ?

9. 若方程 x2 ? y 2 ? x ? y ? 2m ? 0 表示圆,则 m 的取值范围为 ( A) 1 1 A. (??, ) B. (??, 0) C. (??, ) D. (??, ?1) 4 2 10.已知函数 f ( x) ? 2mx2 ? 2(4 ? m) x ? 1 , g ( x) ? m x,若对于任一实数 x , f ( x) 与 g ( x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( B ) A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(-∞,0)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知直线 a ∥平面 ? ,平面 ? ∥平面 ? ,则直线 a 与 ? 的位置关系为 行或在平面内) 12.已知数列 {an } 是非零等差数列,又 a1 , a3 , a9 组成一个等比数列的前三项,则 (平

a1 ? a3 ? a9 的值是 a2 ? a4 ? a10

1或

13 16



13. 已知两圆 x 2 ? y 2 ? 9 和 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 16 相交于 A ,B 两点, 则直线 AB 的 方程是 ( 2x ? y ?1 ? 0 )
8 (m>0),直线 l1 与函数 y ? log2 x 的图像 2m ? 1

14.已知两条直线 l1 :y=m 和 l2 :y=

从左至右相交于点 A,B , 直线 l2 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记
b 线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a 和 b 。当 m 变化时, 的最小值 a



8 2

15.有下列四个说法:①过三点确定一个平面;②有三个角为直角的四边形是矩 形;③三条直线两两相交则确定一个平面;④两个相交平面把空间分成四个 区域. 其中错误说法的序号是 ( ①,②,③)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过 程或演算步骤) 16. 在 x 轴的正半轴上求一点 P ,使以 A(1, 2) , B(3,3) 及点 P 为顶点的 ?ABP 的面积为 5.

答案:解:设点 P 的坐标为 (a, 0) (a ? 0) ,点 P 到直线 AB 的距离为 d .(2 分) 1 1 (3 ? 1) 2 ? (3 ? 2) 2 ?d ? 5 (4 分) 由已知,得 S?ABP ? AB ?d ? 2 2 解得 d ? 2 5 (6 分) 由已知易得,直线 AB 的方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 (8 分) a?3 ? 2 5 (10 分) 所以 d ? 1 ? (?2) 2 解得 a ? 7 ,或 a ? ?13 (舍去)(14 分) 所以点 P 的坐标为 (7, 0) .(15 分)

17.已知双曲线与椭圆 方程. 本题答案如下:

14 y2 x2 + =1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线 5 25 9

18. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 ,若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上截距相等, 求切线的方程. 答案:解:圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的标准方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 (1 分) ∴圆心 C (?1, 2) ,半径 r ? 5 (2 分)

设圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a , b , 分) (3 当 a ? b ? 0 时,切线方程可设为 y ? kx ,即 kx ? y ? 0 , 分) (4 1 | ?k ? 2 | 由点到直线的距离公式得: 5 ? ,解得 k ? (6 分) 2 2 k ?1 1 所以切线的方程是: y ? x (7 分) 2 x y 当 a ? b ? 0 时,切线方程为 ? ? 1 ,即 x ? y ? a ? 0 , 分) (8 a b | ?1 ? 2 ? a | 由点到直线的距离公式得: 5 ? , 12 ? 12 解得 a ? 1 ? 10 (12) 所以,切线的方程为 x ? y ?1 ? 10 ? 0 (14 分) 1 综上,所求切线方程为 y ? x 或 x ? y ?1 ? 10 ? 0 .(15 分) 2

19. 如图,在△BCD 中,∠BCD=90°,AB⊥平面 BCD, E、F 分别是 AC、AD 上的 AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) . 动点,且 AC AD (1)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (2)若 BE⊥AC,求证:平面 BEF⊥平面 ACD.
A

F

B

E

D

C

答案:证明:(1)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, 分) (1 ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC.(4 分) AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) , 又 AC AD

∴不论λ 为何值,恒有 EF//CD, 分) (5 ∴EF⊥平面 ABC,又 EF 在平面 BEF 内,(7 分) ∴不论λ 为何值,恒有平面 BEF⊥平面 ABC.(8 分) (2):由(1)知 EF⊥平面 ABC, ∴BE⊥EF, (10 分) 又∵BE⊥AC 且 EF∩AC=E,∴BE⊥平面 ACD, (13 分) 又 BE 在平面 BEF 内, ∴平面 BEF⊥平面 ACD. (15 分)

20.已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交 点,求 m 的取值范围. 本题答案如下:

由 f′(x)<0,解得 ? a ? x ? a . ∴当 a>0 时,f(x)的单调增区间为 (??,? a ) ,

( a ,??) ;f(x)的单调减区间为 (? a , a ) .

由(1)中 f(x)的单调性可知,f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1,在 x=1 处 取得极小值 f(1)=-3. ∵ 直 线 y = m 与 函 数 y = f(x) 的 图 象 有 三 个 不 同 的 交 点

21.如图,AB 为抛物线 y=x2 上的动弦,且|AB|=a(a 为常数且 a≥1),求弦 AB 的中点

M 与 x 轴的最短距离.

答案:设 A、M、B 三点的纵坐标分别为 y1、y2、y3,如图,A、M、B 三点在抛物线 准线上的射影分别为 A′、M′、B′. F 为抛物线的焦点.连结 AA′,MM′,BB′,AF,BF.


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