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等差数列的前n项和(第一课时)


《等差数列的前 n 项和》 (第一课时)说课稿
一、教材分析与处理 1、教材的地位与作用 本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前 n 项和以及该求和公 式的应用.是继等差数列通项公式之后的又一重要概念,与前面学习的函数有着 密切的联系;通过对公式的推导,可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问 题的方法,也为以后推导等比数列求和公式奠定了基础;同时等差数列在现实生 活中比较常见,因此等差数列求和在实际生活中有着广泛的应用。 2、教学目标 (1)知识与技能 ①掌握等差数列的前 n 项和公式, 能熟练的应用等差数列的前 n 项和公式求和; ②掌握推导等差数列的前 n 项和的公式的数学思想方法 (2)过程与方法 在知识发生、发展以及形成过程中遵循从特殊到一般的认知规律,培养学生的 类比思维能力,通过对公式从不同角度不同侧面的剖析,培养学生思维的灵活 性,提高学生分析问题解决问题的能力 (3)情感态度与价值观 ①通过生动具体的现实问题及令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣。 ②在课堂探究中体会数形结合的数学思想, 培养学生的直观想象能力和归纳概 括能力 3、教学重点、难点 教学重点:等差数列的前 n 项和公式,学会用公式解决一些实际问题 教学难点:获得等差数列前 n 项和公式的推导思路 4、教材处理: 等差数列的前 n 项和共两课时,本课时所研究的是等差数列的前 n 项和的公 式的推导及其运用, 涉及的数学方法有观察、 比较、 数形结合, 从特殊到一般等, 我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份,组织学生从特殊到一般,引 导学生逐个突破难点,自主完成问题,使学生通过各种数学活动,掌握各种数学
1

基本技能,初步学会从数学角度去观察事物和思考问题,产生学习数学的愿望和 兴趣。 二、学情分析 学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质,也对高斯算法有所了解, 这都为倒序相加法的教学提供了基础;同时学生已有了函数知识,因此在教学中 可适当渗透函数思想.高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离,如何 从首尾配对法引出倒序相加法,这是学生学习的障碍. 三、教学方法 利用计算机和实物投影辅助教学,采用启发探究相结合的教学模式 四、教学过程与设计 学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽可能地让学 生去经历知识的形成与发展过程, 结合本节课的特点, 我设计了如下的教学过程: 教师活动 一:课前练习(多媒体投影) 学生活动 设计意图

1、函数y ? 2 ? log2 x的定义域是
2、函数 y ? sin x(

学 生 在五 分 钟内完成, 做 完 后由 个 别 学 生说 出 通过课前五分钟的练习巩固 学生前面学过的知识以达到 巩固学生基础

?
3

?x?

2? )的值域是 3

3、与向量a ? ( 3, 4)同向的单位向量为

4 、设 {an } 为等差数列,且 a13 ? 44, a29 ? 92, 则 答案

a74 ?
二:创设问题情境 情境 1、复习回顾 (1)定义: {an } 为等差数列 ? an?1 ? an ? 常数 (2)通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d (3)等差数列的性质: 若 a、b、c 成等差数列,则 2b ? a ? c 若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq
叫 学 生叙 述 前 面 学过 的 知识 复习上节课所讲的内容 起到呈上启下的作用

2

情境 2、问题引入: 问题 A:先观察某仓库堆放的一堆圆木,从上到 下每层的数目分别为 1,2,3, ,10 . 问共有多 少根圆木?请用简便的方法计算.
借助多媒体观察,用问题激 发学生探索的兴趣,鼓励学 生借助几何直观进行思考, 从而渗透了数形结合的数学 思想

问题 B:1、计算:1+2+3+??+99+100 高斯算法:1+100 2+99 3+98 ?? 50+55 2、计算:1+2+3+??+ (n ? 1) + n
S ? 1+2+3+??+ (n ? 1) + n (1)
和 学 生一 起 完成 :求 1 到 n 的正整 数 之 和, 并 板书 让学生体验“倒序相加求和” 这一算法的合理性,从心理 上完成对“首尾配对求和” 算法的改进,为后面顺利完 成等差求和的推导奠定基 础。 学生完成 学生对高斯的算法是熟悉 的,通过这个过程初步让学

?

100 (1+100)=5050 2

生理解 “倒序” .

S= n + (n ? 1) +??+3+2+1(1) (1)+(2)得 2 S ? n(1 ? n)
n(1 ? n) S? 2

三:新课讲解 1、等差数列 {an } 前 n 项和公式的推导 设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则

Sn ? a1 ? a2 ? ??+ an
= a1 ? (a1 ? d ) ? ??+ a 1 ?(n ?1)d (1)

学 生 回答 , 老师演示

从特殊到一般,从模仿到创 新,有利于学生的知识迁移 和能力提高.

Sn ? an ? an?1 ? ??+ a1
= an ? (an ? d ) ? ??+ [an ? (n ?1)d ] (2) (1)+(2)得

3

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ??+ (a1 ? an )
= n(a1 ? an )
n(a1 ? an ) ? Sn ? (公式 1) 2

在教师的引导下,让学生主 动思考主动参与体会知识结 论的形成过程,对倒序法有 了更深刻的理解

又因为 an ? a1 ? (n ?1)d 所以 ? S n ? na1 ?
n(n ? 1)d (公式 2) 2

2:等差数列前 n 项和两个公式的应用 例题讲解 例 1:在等差数列 {an } 中, (1)已知 a1 ? 3, a50 ? 101, 求S10 (2)已知 a1 ? 3, d ?
达到学生熟悉公式的要素与 结构的教学目的,通过两种 方法的比较,引导学生应该 根据已知条件选择适当的公 式,以便于计算

1 ,求S10 2
师 生 共同 完 成

例 2:在等差数列 {an } 中,已知 d ?
Sn ? ? 15 , 求 a1及n 2

1 3 , an ? , 2 2

通项公式与求和公式中共有 a1、d、n、an、Sn 五个基本元 素,如果已知其中三个,就 可求其余两个

巩固练习: 1、求等差数列 {an } 的 Sn (1) a1 =5, an ? 95, n ? 10 (2) a1 ? 100, d ? ?2, n ? 50 (3) a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32
学 生 独立 完 成巩固练习 及时巩固所学的两个公式, 及时发现问题

4

2、根据下列各题的条件 ,求相应等差数列的未 知数 (1) a1 ? 3, an ? 2n ? 1, Sn ? 195 求 d、 n (2) a2 ? a6 ? 16, S6 ? 39, 求 d , an 3、 已等差数列 {an } 中,已知第 1 项到第 10 项的 和为 310,第 11 项到第 20 项的和为 910,求 21 项到第 30 项的和
训练学生的方程(组)思想

求相关的基本元素

探 究 : 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为

Sn ? n2 ? 23n ? 2(n ? N ? ) ,当 n 为何值时 Sn 有最
小值,最小值是多少?

学 生 互相 探 讨

适当渗透函数思想

四:归纳小结,反思提高 1、等差数列前 n 项和的推导(倒序法) 2、等差数列前 n 项和的两种形式 3、等差数列前前 n 项和公式的应用 求和公式中共有 a1、d、n、an、Sn 五个基本元 素,如果已知其中三个,就可求其余两个
学 生 概括 所 学的内容 让学生建构自己的知识体 系,既能培羊学生的概括能 力,又能营造民主和谐的师 生关系

五:布置作业
学 生 独立 完 有利于教学的反馈

课本 P44

3

、6



5

五、板书设计 §2.2.3 等差数列的前 n 项和 一:等差数列的前 n 项和的两个公式 二:等差数列的前 n 项和的应用 a1、d、n、an、Sn 五个基本元素, 如果已知其中三个, 就可求其余两个 练习讲评 例题分析 等差数列的前 n 项和的推导

选择这样的板书设计,其目的是为了让学生清楚认识到本节课的重点 六、评价分析 1、本节课是通过介绍高斯的算法,探究这种方法如何推广到一般等差数列 的求和.本节课的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路.为了 突破这一难点,在教学中采用了以问题驱动的教学方法,设计的三个问题体现了 分析、解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼方法,再试图运用这一 方法解决一般问题.在教学过程中,通过教师的层层引导、学生的合作学习与自 主探究,尤其是借助图形的直观性,学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成 了. 2、在公式的推导过程中培养学生的从特殊到一般的能力,通过巩固练习考 查学生对等差数列的前 n 项和是否有一个完整的集训,并进行及时的调整和补 充。 以上就是我对本节课的理解和设计,敬请各位专家、评委批评指正。 谢谢!

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