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柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式教案新人教A版选修4


3.1 二维形式的柯西不等式 课堂探究 1.对柯西不等式的理解 剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因此,二维形式的柯西 不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系, 或构造成一个不等式, 如基本不 等式是由两个数来构造的,但怎样构造要仔细体会. (a + b )(c + d )≥(ac+ bd) , (a + 2 2 2 2 2 2 b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合、联系,要有一定的认识. 2.柯西不等式取“=”的条件 剖析:柯西不等式取“=”的条件,也不易记住,我们可以多方面联系来记忆,如(a 2 2 2 2 2 +b )(c +d )≥(ac+bd) ,取“=”的条件是“ad=bc”,有点像 a,b,c,d 成等比时, ad=bc; 柯西不等式的向量形式中|α ·β |≤|α ||β |, 取“=”的条件是 β =0 或存在实 数 k,使 α =kβ .我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆. 题型一 柯西不等式等号成立的条件 |Ax0+By0+C| 【例 1】求证:点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为 d= . A2+B2 证明: 设 Q(x, y)是直线上任意一点, 则 Ax+By+C=0.因为|PQ| =(x-x0) +(y-y0) , 2 2 2 A2+B2≠0.由柯西不等式,得 (A +B )[(x-x0) +(y-y0) ] ≥[A(x-x0)+B(y-y0)] 2 2 2 2 2 =[(Ax+By)-(Ax0+By0)] =(Ax0+By0+C) , 2 2 |Ax0+By0+C| 所以|PQ|≥ . A2+B2 当且仅当 x-x0 y-y0 |Ax0+By0+C| = 时,取等号,|PQ|取得最小值 . A B A2+B2 |Ax0+By0+C| . A2+B2 2 因此,点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为 d= 反思 2 2 2 2 利用二维形式的柯西不等式(a +b )(c +d )≥(ac+bd) ,取“=”的条件是 ad =bc.因此, 在解题时, 对照柯西不等式, 必须弄清要求的问题中相当于柯西不等式中的“a, b,c,d”的数或代数式,否则容易出错. 题型二 利用柯西不等式证明某些不等式 【例 2】设 a,b>0,且 a+b=2. 1 求证: + ≥2. 2-a 2-b a2 b2 分析:利用柯西不等式前,需要观察不等式的结构特点,本题可以看作求 + 的 2-a 2-b 最小值,因而需出现(a +b )(c +d )结构.把 + 视为其中的一个括号内的部分,另 2-a 2-b 一部分可以是(2-a)+(2-b). 证明:根据柯西不等式,有 2 2 2 2 a2 b2 a2 b2 ? a + b ? [(2-a)+(2-b)]? ? ?2-a 2-b? =[( 2-a) +( 2-b) ]?? 2 2 2 2 ?? a ?2 ? b ?2? ? +? ?? ?? 2-a? ? 2-b? ? ?2 ? 2-b? b ? ≥? 2-a· ? 2 a 2-a + 2-b· =(a+b) =4. ∴ b 4 + ≥ =2. 2-a 2-b (2-a)+(2-b) b 2-b = 2-b· , 2-a a2 2 当且仅当 2-a· a 即 a=b=1 时等号成立.∴原不等式成立. 反思 利用柯西不等式证明某些不等式时, 有时需要将数学表达式做适当的变形. 这种

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