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高中数学 排列组合及二项式定理 知识点和练习


排列组合及二项式定理
【基本知识点】 1.分类计数和分步计数原理的概念 2.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同) 按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ..... ....
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3.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从

n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 Anm 表示
m

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4.排列数公式: An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ( m, n ? N , m ? n ) 5.阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 规定 0! ? 1.
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?

6.排列数的另一个计算公式: An =

m

n! (n ? m)!

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7.组合概念: n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素并成一组, 从 叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合
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8. 组合数的概念: n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素的所有组合的个数, 从 叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 C n 表示. ...
m

9. 组 合 数 公 式 :

Cnm ?

Anm n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ? m Am m!



C m? n

n! m!(n ? m)!

(n, m ? N ? , 且m ? n)

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10.组合数的性质 1: C n ? C n
m m

n?m

.规定: C n ? 1 ;
0 m ?1
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11.组合数的性质 2: C n ?1 = C n + C n
n 0 n

m

Cn +Cn +?+Cn =2
k n-k k

0

1

n

n

12.二项式展开公式:(a+b) =Cn a +Cn a b+?+Cn a b +?+Cn b 13.二项式系数的性质:

1 n-1

n n

1 (a ? b) n 展开式的二项式系数是 Cn0 , Cn , Cn2 ,?, Cnn . Cnr 可以看成以 r 为自变量的函数

f (r ) ,定义域是 {0,1, 2,?, n} ,
(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵ Cn ? Cn
m n?m

) .

n

(2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项
n ?1 n ?1

Cn 2 , Cn 2 取得最大值.
1

(3)各二项式系数和:∵ (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? x ,
n 1 r r n

令 x ? 1 ,则 2 ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn
n 0 1 2 r

n
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【常见考点】 一、 可重复的排列求幂法: 重复排列问题要区分两类元素: 一类可以重复, 另一类不能重复, 把不能重复的元素看作“客” ,能重复的元素看作“店” ,则通过“住店法”可顺利解题,在 这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数 (1)有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方 法? (2)有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】(1) 3 (2) 4 3 (3) 4 3 :
4

二. 相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组, 当作一个大元素参与排列. 高☆考♂资♀源网☆ (4) A, B, C, D, E 五人并排站成一排,如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边,那么不同的 排法种数有 【解析】 :把 A, B 视为一人,且 B 固定在 A 的右边,则本题相当于 4 人的全排列, A4 ? 24
4

种 (5)3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( A.360 B.188 C.216 D.96 )

【解析】 间接法 6 位同学站成一排,3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有, :
2 2 2 2 C3 A 2A 4A 2 =432 种高☆考♂资♀源网☆
1 2 2 2 2

其中男生甲站两端的有 A 2C3 A 2A3 A 2 =144 ,符合条件的排法故共有 288 三.相离问题插空法 : 元素相离 (即不相邻)问题, 可先把无位置要求的几个元素全排列, 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. (6)七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 【解析】 :除甲乙外,其余 5 个排列数为 A5 种,再用甲乙去插 6 个空位有 A6 种,不同的排
2
5 2

法种数是 A5 A6 ? 3600 种
5 2

(7)书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有种不同的插法 (具体数字作答) 【解析】 :

A1 A1 A1 =504 7 8 9

(8)马路上有编号为 1,2,3?,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的 二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种? 【解析】 把此问题当作一个排对模型, 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 C5 种方 : 在 法,所以满足条件的关灯方案有 10 种. 四.元素分析法(位置分析法) :某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元 素;再排其它的元素。 (9)2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、 导游、 礼仪、 司机四项不同工作, 若其中小张和小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 ) 高☆考♂资♀源网☆ D. 48 种
2 3
3

【解析】 :方法一: 从后两项工作出发,采取位置分析法。 A 3 A3 ? 36 方法二:分两类:若小张或小赵入选,则有选法 C 2 C 2 A3 ? 24 ;若小张、小赵都入选,则
1 1 3

有 选法 A2 A3 ? 12 ,共有选法 36 种,选 A.
2 2

(10)1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少 种? 【解析】 老师在中间三个位置上选一个有 A3 种, 名同学在其余 4 个位置上有 A4 种方法; : 4 所以共有 A3 A4 ? 72 种。.
1 4
1
4

五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。高☆考♂资 ♀源网☆ (11) 6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是( A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种 )

(12)把 15 人分成前后三排,每排 5 人,不同的排法种数为 (A) A15 A10
5 5

(B) A15 A10 A5 A3 (C) A15
3

5

5

5

3

15

(D) A15 A10 A5 ? A3
5 5 5

3

(13)8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排,某 1 个 元素排在后排,有多少种不同排法? 【解析】(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排,共 :
6 A6 ? 720 种,选 C .高☆考♂资♀源网☆

(2)答案:C (3)看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A4 种,某 1 个元素排在后半 段 的 四 个 位 置 中 选 一 个 有 A4 种 , 其 余 5 个 元 素 任 排 5 个 位 置 上 有 A5 种 , 故 共 有
1 2 5 A4 A4 A5 ? 5760 种排法.
1 5 2

六.定序问题缩倍法(等几率法) :在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可 用缩小倍数的方法. (14) A, B, C, D, E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边( A, B 可以不相邻)那 么不同的排法种数是( )高☆考♂资♀源网☆

【解析】 B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是 5 个元素全排 : 列数的一半,即

1 5 A5 ? 60 种 2

(15)书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有多少种不同的 插法?高☆考♂资♀源网☆ 【解析】 :法一: A9
3

法二:

1 9 A9 6 A6

七.标号排位问题(不配对问题)把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定 排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. (16) 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每 个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( A、6 种 B、9 种 C、11 种 )

D、23 种高☆考♂资♀源网☆

【解析】 :先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3×3× 1=9 种填法,选 B . (17)编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位,其中
4

有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是() A 10 种 B 20 种 C 30 种 D 60 种 答案:B 八.不同元素的分配问题(先分堆再分配) :注意平均分堆的算法 (18) 6 本不同的书按下列分配方式分配, 有 问共有多少种不同的分配方式?高☆考♂资♀ 源网☆ (1) 分成 1 本、2 本、3 本三组; (2) 分给甲、乙、丙三人,其中一个人 1 本,一个人 2 本,一个人 3 本; (3) 分成每组都是 2 本的三个组; (4) 分给甲、乙、丙三人,每个人 2 本; (5) 分给 5 人每人至少 1 本。 【解析】 (1) C C C :
1 6 2 5 3 3

(2) C C C A

1 6

2 5

3 3

3 3

2 2 C 62 C 4 C 2 2 2 2 (3) (4) C 6 C 4 C 2 3 A3

(5)

2 C5 C1 C1 C1 C1 C1 5 5 4 3 2 1 A5 A4 4

(19) 四个不同球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种? 【解析】 :先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C4 种,再排:在四个盒中每 次排 3 个有 A4 种,故共有 C4 A4 ? 144 种.
3 2

2

3

九.相同元素的分配问题隔板法: (20)把 20 个相同的球全放入编号分别为 1,2,3 的三个盒子中,要求每个盒子中的球数 不少于其编号数,则有多少种不同的放法? 【解析】 :向 1,2,3 号三个盒子中分别放入 0,1,2 个球后还余下 17 个球,然后再把这 17 个球分成 3 份,每份至少一球,运用隔板法,共有 C16 ? 120 种。高☆考♂资♀源网☆
2

(21) 个三好学生名额分到 7 个班级, 10 每个班级至少一个名额, 有多少种不同分配方案? 【解析】 :10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每堆 至少一个, 可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板, 每一种插法对应着一种分配方案, 故共有不同的分配方案为 C9 ? 84 种.高☆考
6

十.排数问题(注意数字“0” )高☆考♂资♀源网☆ (22)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字 的共有( ) B、300 种 C、464 种
5

A、210 种

D、600 种

【解析】 :按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有 A5 个,
1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3 个,合并总计 300 个,选 B .

5

十一.染色问题:涂色问题的常用方法有: (1)可根据共用了多少种颜色分类讨论; (2)根据相对区域是否同色分类讨论;高☆考♂资♀源网☆ (3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。 (23)将一个四棱锥 S ? ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是_______. 【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 (1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两 种涂 A、B、C、D 四点,此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色,故有 C5 A4 ? 60 种方法。
1 2

(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S,再从余下的四种颜 色中任选两种染 A 与 B,由于 A、B 颜色可以交换,故有 A4 种染法;再从余下的两种颜色中 任选一种染 D 或 C,而 D 与 C,而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有
1 2 1 1 C5 A4 C2C2 ? 240 种方法。 2

(3)若恰用五种颜色染色,有 A5 ? 120 种染色法高☆考♂资♀源网☆
5

综上所知,满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种。 【答案】420. 十二. 几何中的排列组合问题: (24)已知直线

x y ? ? 1 ( a,b 是非零常数)与圆 x 2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公共点的 a b

横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有条 【解析】 圆上的整点有: ( ? 6, ? 8) ,( ? 8, ? 6),( ? 10,0),(0 ? 10) :
2 C12 =66 1

12 个 ,

其中关于原点对称的有 4 条 不满则条件 切线有 C12 =12 其中平行于坐标轴的有 14 条 不满则条件 66-4+12-14=60

答案:60 【练习】 1、4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共 有 (A)12 种 (B)24 种 (C)30 种 (D)36 种
1

【解析】分两类:取出的 1 本画册,3 本集邮册,此时赠送方法有 C4 ? 4 种;取出的 2 本画 册,2 本集邮册,此时赠送方法有 C4 ? 6 种。总的赠送方法有 10 种。 【答案】B
2

6

2、正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么 一个正五棱柱对角线的条数共有( A.20 B.15 ) C.12
1

D.10

【解析】先从 5 个侧面中任意选一个侧面有 C 5 种选法,再从这个侧面的 4 个顶点中任意选 一个顶点有 C 4 种选法,由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对 角线,所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共 8 个点,还剩下 2 个点,把这个点 和剩下的两个点连线有 C 2 种方法,但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次, 所以最后还要乘以 择 A. 3、 (4 ? 2 ) ( x ? R) 的展开式中的常数项是
x ?x 6

1

1

1 1 1 1 1 , 所以这个正五棱柱对角线的条数共有 C5 ? C 4 ? C 2 ? ? 20 ,所以选 2 2

(A) ?20 【答案】C

(B) ?15

(C) 15

(D) 20

【解析】 Tr ?1 ? (?1) C6 (4 ) :
r r
4 4

x 6?r

r (2? x ) r ? (?1) r C6 2 x (12?3r ) 令 x(12 ? 3r ) ? 0 ? r ? 4 ,于是

展开式中的常数项是 (?1) C6 ? 15 故选 C

5 4、 已知 ( x cos? ? 1) 5 的展开式中 x 2 的系数与 ( x ? ) 4 的展开式中 x 3 的系数相等,则 4

cos? ? .
【答案】 ?

5 5 2 r 解: ( x ? ) 4 的通项为 C 4 ? x 4? r ? ( ) r ,? 4 ? r ? 3,? r ? 1 , 2 4 4 5 4 5 1 ) 的展开式中 x 3 的系数是 C 4 ? ? 5 , 4 4

∴ (x ?

( x cos? ? 1) 5 的通项为 C5R ? ( x cos? ) 5? R ,? 5 ? R ? 2,? R ? 3 ,
3 ∴ ( x cos? ? 1) 5 的 展 开 式 中 x 2 的 系 数 是 C5 ? cos2 ? ? 5, ∴

cos2 ? ?

1 , 2

cos? ? ?

2 . 2
7

5、已知 (1 ? kx ) ( k 是正整数)的展开式中, x 的系数小于 120,则 k ? .
2 6

8

【解析】 (1 ? kx ) 按二项式定理展开的通项为 Tr ?1 ? C6 (kx ) ? C6 k x ,我们知道 x 的
2 6
r 2 r r r 2r

8

系数为 C6 k ? 15k ,即 15k ? 120 ,也即 k ? 8 ,而 k 是正整数,故 k 只能取 1。
4 4 4

4

4

6、若Cn ? 3Cn ? 3 Cn ? ? ? 3
1 2 2 3

n?2

n Cn ?1 ? 3n ?1 ? 85 ,则 n 的值为.

答案 4 7、已知 (1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a 2 x ? a3 x ? a 4 x ,则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 =-8.
4 2 3 4

8、 对任意的实数 x , x ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) ? a3 ( x ? 2) , a2 的值是 有 则 ( B )
3 2 3

A.3

B.6

C.9

D.21

9、设 a1 , a 2 , ? , a n 是 1 , 2 , ? , n 的一个排列,把排在 a i 的左边且比 a i 小的数的个数称 .. . 为 a i 的顺序数( i ? 1 , 2 , ? , n ) .如:在排列 6,4, 5, 3,2,1 中,5 的顺序数为 1, 3 的顺序数为 0.则在 1 至 8 这八个数字构成的全排列中,同时满足 8 的顺序数为 2,7 的 顺序数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为( C ) A.48 B.96 C.144 D.192

10、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数” .现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 A.120 个 【答案】C 11、 现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色, 要求有公共边界的两块不能用同 一种颜色,则不同的着色方法共有 A.24 种 B.30 种 C.36 种 D.48 种 B.80 个 C.40 个 D. 20 个

【答案】D 12、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对” .在一 个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ( )
8

A.24 【答案】C

B.30

C.36

D.42

13.从 8 名女生 4 名男生中,选出 3 名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不 同的抽取方法数为 ; 【答案】112 14、现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有(
3 5 8 6 3 3 3 8 4 (A) A6 ? A5 (B) A8 ? A6 ? A3 (C) A5 ? A3 (D) A8 ? A6
5 误解:除了甲、乙、丙三人以外的 5 人先排,有 A5 种排法,5 人排好后产生 6 个空档,

)种.

3 5 3 插入甲、乙、丙三人有 A6 种方法,这样共有 A6 ? A5 种排法,选 A.

错因分析:误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义,得到的结果是“甲、 乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时 .... 相邻,但允许其中有两人相邻. 正解:在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数,就得到甲、乙、
8 6 3 丙三人不相邻的方法数,即 A8 ? A6 ? A3 ,故选 B.

15、 高三年级的三个班到甲、 丙、 乙、 丁四个工厂进行社会实践, 其中工厂甲必须有班级去, 每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( (A)16 种 (B)18 种 (C)37 种 ). (D)48 种

误解:甲工厂先派一个班去,有 3 种选派方法,剩下的 2 个班均有 4 种选择,这样共 有 3? 4 ? 4 ? 48种方案. 错因分析:显然这里有重复计算.如: a 班先派去了甲工厂, b 班选择时也去了甲工厂, 这与 b 班先派去了甲工厂, a 班选择时也去了甲工厂是同一种情况,而在上述解法中当作了 不一样的情况,并且这种重复很难排除. 正解: 用间接法.先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数, 再扣除甲工厂无人去的情况, 即: 4 ? 4 ? 4 ? 3? 3? 3 ? 37 种方案. 排列组合问题虽然种类繁多,但只要能把握住最常见的原理和方法,即: “分步用乘、 分类用加、有序排列、无序组合” ,留心容易出错的地方就能够以不变应万变,把排列组合 学好.

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