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《等比数列及其前n项和》一轮复习导学案和(有答案)


《等比数列及其前 n 项和》一轮复习导学案 2017.10
导学目标: 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.了解等比数列 与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决 相应的问题. 自主梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零), 那么这个数列叫做 等比数列,这个常数叫做等比数列的________,通常用字母________表示(q≠0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=______________. 3.等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G, 使 a, G, b 成等比数列, 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. G2=ab. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· ________ (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则__________________________.
?1? ?an? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan} (λ≠0),?a ?,{a2 bn},?b ?仍是等比数列. n},{an· ? n? ? n? ? ? ?a1<0 ?a1<0 ?a1>0, ?a1>0, (4)单调性:? 或? ?{an}是递___数列;? 或? ?{an}是递___数列;q=1 ?0<q<1 ?q>1 ?q>1 ?0<q<1 ? ?

?{an}是____数列;q<0?{an}是摆动数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q (q≠0),其前 n 项和为 Sn,当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1?qn-1? a1qn a1 当 q≠1 时,Sn= = = - . 1-q q-1 q-1 q-1 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列. 自我检测 1.“b= ac”是“a、b、c 成等比数列”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) ( )

2.若数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-a,数列{an}为等比数列,则实数 a 的值是 A.3 B.1
+1

C.0 (n∈N*),则 f(n)等于 2 + C. (8n 2-1) 7
1

D.-1 ( 2 + D. (8n 3-1) 7 )

3.设 f(n)=2+24+27+?+23n 2 A. (8n-1) 7

2 + B. (8n 1-1) 7

4.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-2,a+2,a+8,则 an 等于

(

)

?3?n A.8· ?2?

?2?n B.8· ?3?

?3?n-1 C.8· ?2?

?2?n-1 D.8· ?3?

5.在由正数组成的等比数列{an}中,若 a3a4a5=3π, 则 sin(log3a1+log3a2+?+log3a7)= 探究点一 等比数列的基本量运算 例1 已知正项等比数列{an}中,a1a5+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a5+a4a6=36,求数列{an}的通

项 an 和前 n 项和 Sn.

变式 1 (1)在等比数列{an}中,a1+an=66,a2· an-1=128,Sn=126,则 n= (2)在等比数列{an}中,a1=1,公比 q=2,若{an}前 n 项和 Sn=127,则 n=_______. (3)在等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q= (4) 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3 = a2+10a1 ,a5=9,则 a1= 5 (5)已知等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则等比数列{an}的公比 q=________. 4 探究点二 等比数列的判定 例2 已知数列{an}的首项 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*. (2)求{an}的通项公式以及 Sn.

(1)证明数列{an+1}是等比数列;

变式 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求 a2,a3 的值; (2)求证:数列 ?an ? 是等比数列并求 an 通项公式.

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探究点三 等比数列性质的应用 例 3 已知等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7=a7,求 b5+b9 的值;

【变式 3】 (2013 全国)已知等差数列 ?an ? 的公差不为零,a1=25,且 a1 , a11 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 +a4+a7+…+a3n-2.

【课后练习与提高】 1.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于( 15 A. 2 31 B. 4 33 C. 4 17 D. 2 ( ) )

S5 2.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 等于 S2 A.-11 B.-8 C.5 D.11

3.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和 S3=21,则 a3+a4+a5 等于 ( A.33 B.72 C.84 D.189

)

4.等比数列{an}前 n 项的积为 Tn,若 a3a6a18 是一个确定的常数,那么数列 T10,T13,T17,T25 中也 是常数的项是 A.T10 ( ) B.T13 C.T17 D.T25 )

S10 5.记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 等于( S5 A.-3 B.5 C.-31 D.33

6.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为________. 7.在等比数列{an}中,公比 q=2,前 99 项的和 S99=30,则 a3+a6+a9+?+a99=________. 8.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an=________.

3

9.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项; (2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn.

10.已知数列{log2(an-1)}为等差数列,且 a1=3,a2=5. 1 1 1 (1)求证:数列{an-1}是等比数列;(2)求 + +?+ 的值. a2-a1 a3-a2 an+1-an

11.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn} 的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

c1 c2 cn (2)设数列{cn}对 n∈N*均有 + +?+ =an+1 成立,求 c1+c2+c3+?+c2 010. b1 b2 bn

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