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2014·高三复习数学(理)2第8章 4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系


第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

第八章

第4讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

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1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;
能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

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1个必会技巧
直线和圆相交时,适当使用垂径定理(半径、半弦、弦心距满 足勾股定理)、切割线定理以及相交弦定理,可以减少运算量.

2个必记不同
1. 从思路来看,代数法侧重于“数”,更多倾向于“坐标” 与“方程”;而“几何法”则侧重于“形”,利用了图形的性 质. 2. 从适用类型来看,代数法可以求出具体的交点坐标,而几

何法更适合定性比较和较为简单的运算.
第八章 第4讲
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3种必会方法

1. 求圆的切线方程可用待定系数法,利用圆心到切线的距
离等于半径,列出关系式求出切线的斜率即可. 2. 几何方法求弦长,利用弦心距,即圆心到直线的距离、 弦长的一半及半径构成直角三角形计算. 3. 当两圆相交时,两圆方程(x2,y2 项系数相同)相减便可

得公共弦所在直线的方程.

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课前自主导学

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1. 直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径 为r) 相离 相切 相交

图形

量 方程观点 化 几何观点

Δ____0 d____r

Δ____0 d____r

Δ____0 d____r

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(1)直线4x+3y-40=0与圆x2+y2=100的位置关系 ________. (2)直线x-y+m=0与圆x 2 +y2 -2x-1=0相切,则m的值

为________.
(3)直线x=0被x 2 +y 2 -6x-2y-15=0,所截得弦长等于 ________.

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2.圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2,d=|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含

图形

量的 关系

d>r1+r2

d=r1+r2

r1 - r2<d<r1+ d=r1-r2 d<r1-r2 r2

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(1)圆O 1 :x 2 +y 2 -2x=0与圆x 2 +y 2 -4y=0的位置关系 ________. (2)圆x 2 +y 2 =1与圆(x-1) 2 +y 2 =1的公共弦所在的直线 ________. (3)两圆x2+y2=r2与(x-3)2+(y+1)2=r2(r>0)外切,则r= ________.

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1. <

= >

>

= <

填一填:(1)相交 (2)-3 或 1 (3)8 1 10 2.填一填:(1)相交 (2)x=2 (3) 2

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核心要点研究

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例1 =0.

已知圆 C:x2+(y-1)2=5,直线 l:mx-y+1-m

(1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; (2)设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|= 17,求直 线 l 的倾斜角.

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[解析] (1)证明:将已知直线 l 化为 y-1=m(x-1). 故直线 l 恒过定点 P(1,1). 因为 12+?1-1?2=1< 5, 故点 P(1,1)在已知圆 C 内,从而直线 l 与圆 C 总有两个 不同的交点.

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(2)解:圆半径 r= 5,圆心 C 到直线 l 的距离为 d= |AB| 2 3 r -? 2 ? = 2 ,
2

|-m| 3 由点到直线的距离公式得 2 2= 2 ,解得 m= m +?-1? ± 3, π 2π 故直线的斜率为± 3,从而直线 l 的倾斜角为3或 3 .

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判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 ?>0?相交, 判别式 ? (1)代数法: ――→ ?=0?相切, Δ=b2-4ac? ?<0?相离. (2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小 关系:d<r?相交,d=r?相切,d>r?相离.

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[变式探究]

[2012·安徽高考]若直线x-y+1=0与圆(x- )

a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(

A. [-3,-1]
B. [-1,3] C. [-3,1] D. (-∞,-3]∪[1,+∞)

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答案:C

解析:因为直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共 |a-0+1| 点,所以圆心到直线的距离 d= ≤r= 2,可得|a+ 2 1|≤2,即 a∈[-3,1].

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例2

[2012· 天津高考]设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n

+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值 范围是( )

A. [1- 3,1+ 3] B. (-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C. [2-2 2,2+2 2] D. (-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞)
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[审题视点] 难.

本题考查直线与圆相切条件、点到直线的距

离公式及不等式的运用,考查运算求解能力及转化思想,偏

|m+n| [解析] ∵直线与圆相切,∴ 2 2=1,整 ?m+1? +?n+1?

理得 mn=(m+n)+1,由基本不等式得
?m+n? ?2 (m+n)+1=mn≤? ,即(m+n)2-4(m+n)-4≥0, ? 2 ? ? ?

解之得 m+n≤2-2 2或 m+n≥2+2 2.
[答案] D
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求圆的切线方程,一般设为点斜式方程.首先判断点是否在 圆上,如果过圆上一点,则有且只有一条切线,如果过圆外

一点,则有且只有两条切线.若利用点斜式方程求得过圆外
一点的切线只有一条,则需结合图形把斜率不存在的那条切 线补上.

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[变式探究]

[2013· 银川质检]由直线 y=x+1 上的一点 )

向圆 x2+y2-6x+8=0 引切线,则切线长的最小值为( A. C. 3 7 B. 2 2 D. 2

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答案:A

解析:如图,在 Rt△PAB 中,要使切线 PB 最小,只需 圆心与直线 y=x+1 上的点的距离取得相应最小值即可,易 4 知其最小值为圆心到直线的距离,即|AP|min= =2 2,故 2 |BP|min= ?2 2?2-12= 7.

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例 3 [2012· 广东高考]在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的 长等于( A. 3 3 C. 3 ) B. 2 3 D. 1

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[审题视点]

考查直线与圆相交求弦长,突破口是“弦心

距、半径、弦长之半构成直角三角形”,利用勾股定理计算.
|5| [解析] 由点到直线的距离得,弦心距 d= 2 2=1, 3 +4 所以弦长 AB=2 22-1=2 3,所以选择 B.

[答案] B

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圆的弦长的常用求法 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则 l 2 2 (2) =r -d2. (2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式: |AB|= 1+k2|x1-x2| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]. 注意:常用几何法研究圆的弦的有关问题.
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[变式探究] 程为(

[2013·东城模拟]直线l过点(-4,0)且与圆(x+

1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,那么直线l的方 )

A. 5x+12y+20=0
B. 5x-12y+20=0或x+4=0 C. 5x-12y+20=0 D. 5x+12y+20=0或x+4=0

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答案:D
解析:过点(-4,0)的直线若垂直于 x 轴,经验证符合条 件,即方程为 x+4=0 满足题意;若存在斜率,设其直线方 程为 y=k(x+4),由被圆截得的弦长为 8,可得圆心(-1,2) |3k-2| 5 到直线 y=k(x+4)的距离为 3,即 2=3,解得 k=-12, 1+k 此时直线方程为 5x+12y+20=0,综上直线方程为 5x+12y +20=0 或 x+4=0.

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例4

[2012·山东高考]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y- )

1)2=9的位置关系为(

A. 内切
C. 外切 [审题视点]

B. 相交
D. 相离 两圆的位置关系问题由两圆的圆心距与两圆

的半径来判断(求解).

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[解析] ∵两圆的圆心距为 ?2+2?2+?1-0?2= 17,又 ∵3-2< 17<3+2,∴两圆相交.

[答案] B

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判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的

距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相
交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2、y2项得到.

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[变式探究]

[2013· 九江模考]若圆 C1:x2+y2+2ax+a2

-4=0(a∈R)与圆 C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)外切, 则 a+b 的最大值为( A. -3 2 C. 3 ) B. -3 D. 3 2

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答案:D

解析:圆 C1:(x+a)2+y2=4 与圆 C2:x2+(y-b)2=1 外切,所以圆心距|C1C2|=3,即 a2+b2=9,设 a=3cosθ,b π =3sinθ,则 a+b=3cosθ+3sinθ=3 2sin(θ+4),故 a+b 的 最大值是 3 2.

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课课精彩无限

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【选题·热考秀】[2012·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则 k的最大值是________.

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[规范解答]

圆 C 的方程化为标准方程为(x-4)2+y2=

1,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, 则圆 C 上的点到直线上的点的 距离的最小值小于等于 1,则圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的 |4k-2| 4 距离小于等于 2,所以 2 ≤2,解得 0≤k≤3,故 k 的最 k +1 4 大值是3.

[答案]

4 3
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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 本题难度不大,问题关键是将两圆的位置关系转化为圆C

的圆心到直线y=kx-2的距离的取值范围问题去处理.
No.2 角度关键词:方法突破 等价转化法是从题目出发,把复杂的、生疏的、抽象的、 困难的和未知的问题通过等价转化为简单的、熟悉的、具体 的、容易的或已知的问题来解决,从而得出正确的结果.其关

键是要明确转化的方向或者说转化的目标.
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经典演练提能

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1. [2012·陕西高考]已知圆C:x 2 +y 2 -4x=0,l是过点 P(3,0)的直线,则( )

A. l与C相交
C. l与C相离

B. l与C相切
D. 以上三个选项均有可能

答案:A 解析:本小题主要考查直线与圆的位置关系,解题的突

破口为熟练掌握判断直线与圆位置关系的方法.x2+y2-4x =0 是以(2,0)为圆心,以 2 为半径的圆,而点 P(3,0)到圆心 的距离为 d= ?3-2?2+?0-0?2=1<2,点 P(3,0)恒在圆内, 过点 P(3,0)不管怎么样画直线,都与圆相交.故选 A.
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2. 若点P(3,-1)为圆(x-2)2+y2=25的弦AB的中点,则直 线AB的方程为( A. x+y-2=0 ) B. 2x-y-7=0

C. 2x+y-5=0
答案:D

D. x-y-4=0

0+1 解析:由题意可知圆心 C(2,0),则 kPC= =-1,那 2-3 么 kAB=1,且直线过点 P(3,-1),则直线 AB 的方程为 y+ 1=1×(x-3),即 x-y-4=0.
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3. [2013· 烟台联考]直线 2x-y=0 与圆 C:(x-2)2+(y+ 1)2=9 交于 A、B 两点,则△ABC 的面积为( A. 2 5 C. 4 3 B. 2 3 D. 4 5 )

答案:A

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解析:由题可知,圆 C 的半径为 3,圆心 C 的坐标为(2, |4-?-1?| -1).圆心到直线 2x-y=0 的距离 d= 2 2= 5,所 2 +?-1? 以直线被圆截得的弦长|AB|=2 9-5=4,所以△ABC 的面 1 1 积为 S=2|AB|· 2×4× 5=2 5.故选 A. d=

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4. [2013· 黑龙江质检]若圆心在 x 轴上、半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方程为 ( ) A. (x- 5)2+y2=5 C. (x-5)2+y2=5 B. (x+ 5)2+y2=5 D. (x+5)2+y2=5

答案:D

解析:由题意知,圆心在 y 轴左侧,排除 A,C;设圆 |a+0| 心为(a,0)(a<0),则 = 5,∴a=-5,故选 D. 5
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5. [2012· 江西高考]过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2 +y2=1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60° ,则点 P 的坐 标是________.
答案:( 2, 2)

解析:设切点为 A,B,设 P(x,2 2-x),连接 PA,PB, PO,则|PO|=2|OA|=2,即 x2+(2 2-x)2=4,整理得 x2- 2 2x+2=0,解得 x= 2,故 P 的坐标为( 2, 2).

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