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高中数学必修5:正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)

正弦定理与余弦定理 【知识概述】 在△ ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理: a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 定理变式: a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C sin A ? a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R a sin B ? b sin A, a sin C ? c sin A, c sin B ? b sin C, a : b : c ? sin A : sin B : sin C 2.余弦定理: a ? b ? c ? 2bccos A, b ? a ? c ? 2accosB, c ? a ? b ? 2abcosC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 定理变式: cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cosB ? , cosC ? , 2bc 2ac 2ab 3.射影定理: a ? b cos C ? c cos B, b ? a cos C ? c cos A, c ? a cos C ? c cos A, 4.面积公式: S ?ABC ? 1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2 【学前诊断】 1.[难度] 易 在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6, B ? 30 ,则 c ? b 等于( 0 0 ) D. ? 2 3 A. 1 2.[难度] 易 B. ? 1 C. 2 3 在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( 0 0 A. 30 或60 0 0 B. 45 或60 ) 0 0 C. 120 或60 0 0 D. 30 或150 3.[难度] 易 2 2 2 在 ΔABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且 c ? a ? b ? ba , ∠C= . 【经典例题】 例 1.在△ ABC 中,若 ,则∠A=45° ,a = 2,c = 6 ,则∠B=_______, b =___________. 例 2.已知△ ABC 满足条件 a cos A ? b cos B, 判断△ ABC 的形状. 例 3. 在△ ABC 中, ∠A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且满足 cos (1)求△ ABC 的面积; (2)若 b + c =6,求 a 的值. 例 4.在△ABC 中,a , b , c 分别为内角 A, B, C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)求 sin B ? sin C 的最大值. A 2 5 ? , AB ? AC ? 3. 2 5 例 5.在△ABC 中,内角 A ,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C = (1)若△ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (2)若 sin B ? 2sin A ,求△ ABC 的面积. 【本课总结】 一、合理选择使用定理 π . 3 解三角形需要利用边角关系,正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理, 如何恰当的选择公式则是解题的关键,一般来说,如果题目中含有边的一次式或角的正弦, 可考虑选择正弦定理,如果题目中含有边的二次式或角的余弦,可考虑选择余弦定理. 二、确定三角形的形状常用归一法 在解三角形的题目中, 条件中往往会同时涉及边和角, 解题策略则是选择合适的公式把 已知条件转化成只含有边或角的关系式. 三、解三角形主要涉及的问题 解三角形主要处理的是三角形中各边的长度、 角的大小以及三角形面积等问题, 在三角 形中有六个基本元素,三条边、三个角,通常是给出三个独立条件,可求出其它的元素,如 果是特殊三角形,如直角三角形,则给出两个条件就可以了. 已知条件 三条边 两边一角 两边及一边对角 解的情况 唯一解 两解 一解 可选定理 余弦定理 正弦定理 或 无解 两边及其夹角 一边两角 三个角 唯一解 唯一解 无数解 余弦定理 余弦定理 正弦定理 如,若已知两边 a,b 和角 A,则解的情况如下: (1)当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才能有且只有一解;否则无解. (2)当 A 为锐角时, 如果 a≥b,那么只有一解; 如果 a<b,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a ? b sin A ,则有两解; (2)若 a ? b sin A ,则只有一解; (3)若 a ? b sin A ,则无解. 【活学活用】 1.[难度] 易 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a, b, c, A=60° , a= 3 , b=1, 则 c 的值为 ( A. 1 B. 2 C. ) 3 -1 D. 3 2. [难度] 易 △ ABC 中,若 a=2bcosC,则△ ABC 的形状一定为( A. 等边三角形 C. 等腰三角形 3. [难度] 中 在△ ABC 中, 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c, 若满足 a ? ( 3 ? 1)c , 求 A、B、C 的大小. ) B. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 tan B 2a ? c ? , tan C c

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