2012年

昆明市 2012 届高中新课程高三摸底调研测试

数 学 试 题（理）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。 满分 150 分，考试用时 120 分钟。

第 I 卷（选择题，共 60 分）

注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上 的考号、姓名，在规定的位置贴好条形码。 2． 每小题选出答案后， 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 用 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号，答在试卷上的答案无效。 参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A·B）=P（A） ·P（B） 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn
k （k）= Cn P k (1 ? P) n?k （k=0，1，2，?n）

球的体积公式： V ?

4 3 ?R （其中 R 表示球的半径） 3

球的表面积公式 S=4π R2（其中 R 表示球的半径） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．已知集合 A ? {x |1 ? x ? 3}, B ? {x | x ? 4, x ? Z} ，则 A ? B = A． （1，3） 2．已知 B．[1，3] C．{1，3} D．{1，2，3} （ D．0 （ ） ） （ ）

a?i ? i (a ? R ) ，其中 i 为虚数单位，则 a 等于 1? i
B．-1
2

A．1

C．2

3．命题“ ?x0 ? R, 使x ? ax ? 1 ? 0 ”的否定是

A． ?x0 ? R, 使x2 ? ax ? 1 ? 0 C． ?x ? R, x2 ? ax ? 1 ? 0 成立 4．已知角α 的终边上一点的坐标为 (sin

B． ?x0 ? R, 使x2 ? ax ? 1 ? 0 D． ?x ? R, x2 ? ax ? 1 ? 0 成立 （ ）

5? 5? , cos ) ，则角α 的最小正值为 6 6 5? 2? 5? 11? A． B． C． D． 6 3 3 6 ???? ??? ? 5．在 ?ABC 中，AB=1，AC=3，D 是 BC 边的中点，则 AD ? BC =
A．4 B．3 C．2 （ ） D．1

（

）

6．执行如图所示的程序框图，输出的 s 的值是

3 4 5 C． 6
A．

4 5 6 D． 7
B．

? x 2 ? x ? 2, x ? 3 ? 7．设函数 f ( x) ? ? x 则不等式 f ( x) ? 4 的解集 x?3 ?2 , ?
是 A． ? ??, ?1? C． [?1, 2] B． ? 2, ??? D．[2，3] （ ）

8．双曲线

x2 y 2 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F，右顶点为 P，点 B（0，b） ，离心率 e ? ，则双曲 2 a b 3
（ ）

线 C 是下图中

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ A． 4 ? 4 2 C． 8 2 B． 4 ? 4 3 D． 4 3

）

10．函数 f ( x) ? ( ) ? | cos x | 在x ? [0,5] 上的零点个数为（
x

1 2

） D．6

A．3

B．4

C．5

2 11．已知 ? ? {( x, y) || x ? 1,| y |? 1}, A 是曲线 y ? x 与y ? x 2 围成的区域，若向区域 ? 上随机投一点 P，

1

则点 P 落入区域 A 的概率为 A．

（ C．

）

1 3
2

B．

1 4

1 8

D．

1 12

12．设抛物线 y ? 12 x 的焦点为 F，经过点 P（1，0）的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且 2BP ? PA ， 则 | AF | ? | BF | = A． （ B． ）

??? ?

??? ?

5 2

9 2

C．8

D．

17 2

第 II 卷（非选择题，共 90 分）

注意事项： 第 II 卷，10 小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上，答在试卷上的答案无效。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． ( x ? ) 展开式中常数项为
3 4

1 x

。

14．若三角形的三边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，则此三角形的面积为 S ?

1 (a ? b ? c ) 。若四面 2
。

体四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，内切球的半径为 R，则此四面体类似的结论为 15．已知 a，b 是实数，若直线 (b ? 2) x ? ay ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 0 垂直，则 a·b 的最大值为
2

。 16．已知三棱锥 D—ABC 的顶点都在球 O 的球面上，AB=4，BC=3， AB ? BC ，AD=12，且 DA ? 平面

ABC，则三棱锥 A—BOD 的体积等于

。

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17． （本小题满分 10 分） 一艘缉私巡逻艇在小岛 A 南偏西 38? 方向，距小岛 3 海里的 B 处， 发现隐藏在小岛边上的一艘走 私船正开始向岛北偏西 22? 方向行驶，测得其速度为 10 海里/小时，问巡逻艇需用多大的速度朝什么 方向行驶，恰好用 0.5 小时在 C 处截住该走私船？ （参考数据： sin 38? ?

5 3 3 3 ,sin 22? ? .） 14 14

18． （本小题满分 12 分） 已知各项为正数的等差数列 {an } 满足 a3 ? a7 ? 32, a2 ? a8 ? 12, 且bn ? 2 n (n ? N * ).
a

（I）求数列 {an } 的通项公式； （II）设 cn ? an ? bn ，求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

19． （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，点 M 是 A1B 中点，点 N 是 B1C 的中点，连接 MN。 （I）证明：MN//平面 ABC； （II）若 AB=1， AC ? AA ?? 3, BC ? 2 ，求二面角 A—A1C—B 的余弦值的大小。 1

20． （本小题满分 12 分） 以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员进行射击训练的成绩（环数） ，射击次数为 4 次。 （I）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性； （II）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了 3 次（有放回选取） 。设选

取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为 ? ，求 ? 的分布列及期望。 （注：方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ，其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的平均数） n

21． （本小题满分 12 分） 已知圆 M : ( x ? 3a)2 ? y 2 ? 16a2 (a ? 0) 及定点 N ( 3a,0) ，点 P 是圆 M 上的动点，点 G 在 MP 上，且满足|GP|=|GN|，G 点的轨迹为曲线 C。 （I）求曲线 C 的方程； （2）若点 A（1，0）关于直线 x ? y ? t ? 0(t ? 0) 的对称点在曲线 C 上，求 a 的取值范围。

22． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? 1 ? 直。 （I）求 a 的值； （II）如果当 x ? (0,1) 时， t ? g ( x) ? f ( x) 恒成立，求 t 的取值范围。

a ln x , g ( x) ? , 且函数 f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0 垂 x x