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2012-2013学年度上学期期末考试高一数学试题参考答案及评分标


2012—2013 学年度第一学期期末考试参考答案及评分标准

高 一 数 学
命题人:齐 力 注意事项: 1.本试卷备有答题纸,把答案凃写在答题纸上. 2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分; 试卷满分为 150 分,考 试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷

(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的 4 个选项中, 只有一项是符合题目要求的;请将答案涂在答题卡上。 CDBCD BBCAC BB 二、填空题: (共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分;将答案写在答题纸相应题号的位置 上) (13)7 (14) m2+n2 (15) 8 (16)8π.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤; 字迹工整、清楚。 ) (17)(本小题满分 10 分) 已知集合 A={x||x-1|<2},B={x|x2+ax-6<0},C={x|x2-2x-15<0}. (1)若 A∪B=B,求 a 的取值范围; (2)是否存在 a 的值使得 A∪B=B∩C?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. [解答] A={x|-1<x<3},C={x|-3<x<5}. 2 ? ?f?-1?=?-1? -a-6≤0, 2 ? (1)由 A∪B=B 知,A?B,令 f(x)=x +ax-6,则 2 ?f?3?=3 +3a-6≤0, ? 解得-5≤a≤-1,即 a 的取值范围是[-5,-1]. …………(5 分) (2)假设存在 a 的值使得 A∪B=B∩C, 由 A∪B=B∩C?B 知 A?B, 由 A∪B=B∩C?C 知 B?C,于是 A?B?C, 由(1)知若 A?B,则 a∈[-5,-1], 当 B?C 时,由 Δ=a2+24>0,知 B 不可能是空集,

? ?f?5?=5 +5a-6≥0, 于是? a ? ?-3<-2<5,
2

f?-3?=?-3?2-3a-6≥0,

19 ? 解得 a∈? ?- 5 ,1?, 高一数学试题 第 1 页 (共 4 页)

19 ? 综合 a∈[-5,-1]知存在 a∈? ?- 5 ,-1?满足条件. (18)(本小题满分 12 分)

…………(10 分)

ax2+1 设函数 f(x)= 是奇函数(a,b,c 都是整数),且 f(1)=2,f(2)<3,f(x)在(1,+∞) bx+c 上单调递增. (1)求 a,b,c 的值; (2)当 x<0 时,f(x)的单调性如何?证明你的结论. a+1 4a+1 [解答] (1)由 f(1)=2,得 =2,由 f(2)<3,得 <3. …………(2 分) b+c 2b+c ∵函数 f(x)是奇函数,∴函数 f(x)的定义域关于原点对称. ? c ? x∈R且x≠- ?, 又函数 f(x)的定义域为?x? b ? ? ? a+1 4a+1 c ax 1 则- =0,∴c=0,于是得 f(x)= + ,且 =2, <3, b b bx b 2b 8b-3 3 ∴ <3,即 0<b< . …………(4 分) 2b 2 又 b∈Z,∴b=1,则 a=1. a=1,b=1,c=0 符合 f(x)在(1,+∞)上单调递增. …………(6 分) 1 (2)由(1)知 f(x)=x+ .已知函数 f(x)是奇函数,且在(1,+∞)上单调递增,根据奇函数 x 的对称性,可知 f(x)在(-∞,-1)上单调递增; …………(8 分) 以下讨论 f(x)在区间[-1,0)上的单调性. 1 ?1- 1 ?, 当-1≤x1<x2<0 时, f(x1)-f(x2)=(x1-x2)· ? x1x2? 显然 x1-x2<0,0<x1x2<1,1-x1x2<0, ∴f(x1)-f(x2)>0, ∴函数 f(x)在[-1,0)上为减函数. …………(10 分) 综上所述,函数 f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在[-1,0)上是减函数.………(12 分) (19)(本小题满分 12 分) 在如图 K40-5 所示的几何体中,AE⊥平面 ABC,CD∥AE,F 是 BE 的中点,AC= BC=1,∠ACB=90° ,AE=2CD=2. (1)求证:DF∥平面 ABC; (2)求证:DF⊥平面 ABE; (3)求三棱锥 D-BCE 的体积.

图 K40-5 [解答] (1)证明:如下图,取 AB 的中点 M, 连接 FM,CM, 在△ABE 中,F,M 分别是 EB,AB 的中点, 高一数学试题 第 2 页 (共 4 页)

∴FM / /
?

1 AE. 2

1 又∵CD∥AE,CD= AE,∴FM / / CD, 2 ? ∴四边形 FMCD 为平行四边形, ∴DF∥CM. ∵CM?平面 ABC,DF?平面 ABC, ∴DF∥平面 ABC. …………(4 分)

(2)证明:∵AC=BC,M 为 AB 的中点,∴CM⊥AB. 又 AE⊥平面 ABC,CM?平面 ABC, ∴CM⊥AE.又 AE∩AB=A,∴CM⊥平面 ABE. 由(1)得 DF∥CM,∴DF⊥平面 ABE. (3)∵CD∥AE,AE⊥平面 ABC, ∴CD⊥平面 ABC,∴CD⊥AC,CD⊥BC, 又∠ACB=90° ,∴AC⊥平面 BCD.又由 CD∥AE 得 V 三棱锥 D-BCE=V 三棱锥 E-BCD=V 三棱锥 A-BCD, 1 1 1 1 ∴V 三棱锥 D-BCE= S△BCD· AC= × ×1×1×1= . 3 3 2 6

…………(8 分)

…………(12 分)

(20)(本小题满分 12 分) 电信局为了配合客户不同需要,设有 A,B 两种优惠方案.这两种方案应付话费 y(元) 与通话时间 x(min)之间的关系如图 K12-4 所示,其中 MN∥CD. (1)若通话时间为 2 h,按方案 A,B 各应付话费多少元? (2)方案 B 从 500 min 以后,每分钟收费多少元? (3)通话时间在什么范围内,方案 B 比方案 A 优惠?

图 K12-4 [解答] (1)设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为 fA(x)和 fB(x),由图知 M(60,98),N(500,230),C(500,168),MN∥CD,则 高一数学试题 第 3 页 (共 4 页)

98?0≤x≤60?, ? ? fA(x)=? 3 ?10x+80?x>60?, ? 168?0≤x≤500?, ? ? fB(x)=? 3 ?10x+18?x>500?, ? 故通话 2 h 的费用分别是 116 元、168 元. (2)fB(n+1)-fB(n)= …………(4 分)

3 3 ? (n+1)+18-? ?10n+18?=0.3(n>500), 10 ∴方案 B 从 500 min 以后,每分钟收费 0.3 元. …………(8 分) (3)由图知,当 0≤x≤60 时,fA(x)<fB(x); 当 60<x≤500 时,由 fA(x)>fB(x)得 3 880 880 x+80>168,解得 x> ,∴ <x≤500. 10 3 3 当 x>500 时,fA(x)>fB(x). 880 ? 综上,通话时间在? ? 3 ,+∞?内,方案 B 比方案 A 优惠.…………(12 分) (21)(本小题满分 12 分) 已知与圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0 相切的直线 l 交 x 轴,y 轴于 A,B 两点,|OA|=a, |OB|=b(a>2,b>2). (1)求证:(a-2)(b-2)=2; (2)求线段 AB 中点的轨迹方程; [解答] (1)证明:圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=1, x y 设直线方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0, a b |a+b-ab| 圆心到该直线的距离 d= =1, a2+b2 即 a2+b2+a2b2+2ab-2a2b-2ab2=a2+b2, 即 a2b2+2ab-2a2b-2ab2=0,即 ab+2-2a-2b=0, 即(a-2)(b-2)=2. …………(6 分) (2)设 AB 中点 M(x,y), 则 a=2x,b=2y,代入(a-2)(b-2)=2, 1 得(x-1)(y-1)= (x>1,y>1).…………(12 分) 2

(22) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)若已知函数的值域为 R,求 a 的取值范围; (3)是否存在实数 a, 使 f(x)的最小值为 0?若存在, 求出 a 的值; 若不存在, 说明理由. 高一数学试题 第 4 页 (共 4 页)

[解答] (1)因为 f(1)=1, 所以 log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3, 所以函数定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3. 则 g(x)在(-∞,1)上单调递增,在[1,+∞)上单调递减, 又 y=log4x 在(0,+∞)上单调递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).…………(6 分)
? ?a>0, 1 (2)由图象可知需满足? 解得 0<a≤ . 3 ?Δ≥0, ? 1 当 a=0 时,也符合条件,所以 0 ? <a≤ . 3 (3)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1,

a>0, ? ? 1 因此应有?12a-4 解得 a= . 2 ? ? 4a =1, 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值等于 0. 2 …………(12 分)

高一数学试题 第 5 页 (共 4 页)


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