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[必修四 新课标人教A版]3.2 简单的三角恒等变换


3.2 简单的三角恒等变换

例1 试用 cos ? 表示 sin 解 ?是
?
2
2

2

?
2

, cos

2

?
2

, tan

2

?
2

.

的二倍角
?
2 代替? ,

在 公 式 cos 2? ? 1 ? 2 sin ? 中, 以 ? 代 替 2 ? , 以

cos ? ? 1 ? 2 sin
2

2

?
2

sin

?
2

?

1 ? cos ? 2

       ①

在 公 式 cos 2? ? 2 cos ? ? 1中, 以 ? 代 替 2 ? , 以
2

?
2

代替?

cos ? ? 2 cos
cos
2

2

?
2

?1

可表示为 : sin cos tan

?
2

?? ?? ??

1 ? cos ? 2 1 ? cos ? 2 1 ? cos ? 1 ? cos ?

?
2

?

1 ? cos ? 2

      ②

?
2

① ②

 得

?
2

tan

2

?
2

?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

称为半角公式 , 符号 由

?
2

所在象限决定 .

例2

求证
1 2

?1? sin ? cos ?2 ? sin ?

? ?

?sin ??

? ? ? ? sin ?? ? ? ??; cos

? sin ? ? 2 sin

? ??
2

? ??
2

.

解 (1) sin(?+?) = sin?cos?+cos?sin? sin(?-?) = sin?cos?-cos?sin? 两式相加,得 sin(?+?) + sin(?-?) = 2sin?cos?
sin ? cos ? ? 1 2 ? sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ?

(2) 由(1)可得 sin(?+?) + sin(?-?) = 2sin?cos? 设 ?+?=?, ?-?=?



? ?

? ??
2

,? ?

? ??
2
? ??
2

把?,?的值代入①,即得

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

cos

例2证明中用到换元思想, ①式是积化和差的形式, ②式是和差化积的形式; 在后面的练习当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式.

例 3. 求 函 数 y ? sin x ? 最大值和最小值

3 cos x的 周 期 ,

分析:利用三角恒等变换,先把函数式 化简,再求相应的值.

例4
如图,已知 OPQ 是半径为 1, 圆心角为 弧上的动点 , ABCD 是 扇形的内接矩形

?
3

的扇形 , C 是扇形 . 记 ? COP ? ? , 求

当角 ? 取何值时 , 矩形 ABCD 的面积最大 ?并求出最大面积 .

分析:要求当角?取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与?之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.

解 在Rt△OBC中,OB=cos?,BC=sin?

在Rt△OAD中,
OA ? 3 3 DA ? 3 3

DA OA
3

? tan 60 ?
?

3

BC ?

3
3 3

sin ?
sin ?
? ? sin ? ? ?

AB ? OB ? OA ? cos ? ?

设矩形ABCD的面积为S,则

S ? AB ? BC
? sin ? cos ? ? 3

3

? 3 ? ? cos ? ? sin ? ? 3 ?

sin ?
2

?

1 2

sin 2? ?

3 6

?1 ? cos 2? ?
? 3 ?? ? 6 ?

1 ? 3 1 ? sin 2? ? cos 2? ? 2 3? 2 ?

?

1

? ? 3 ? sin ? 2? ? ? ? 6? 6 3 ?
?
3 ,所 以 当 2 ? ?

由于0 ? ? ? 即? ?

?
6

?

?
2

,

?
6

时 , S最 大 ?

1 3

-

3 6

?

3 6

通过三角变换把 形如 y=asinx+bcosx的 函数转化为形如 通过三角变换把 形如 y=asinx+bcosx的 函数转化为形如 y=Asin(??+?)的 函数,从而使问题 得到简化

练习

1.函 数 f ( x ) ?
1

sin x ? cos x ? sin x cos x
4 4 2 2

4 的 最 小 正 周 期 为 ____最 大 值 _______
4 最 小 值 ________

?

2 ? sin 2 x

3

分析:欲求最小正周期主最大最小值,首 先要将函数式化为单一函数.

f ( x) ?

sin x ? 2 sin x cos x ? cos x ? sin x cos x
4 2 2 4 2 2

2 ? 2 sin x cos x

?

1 ? sin xcox x
2 2

2(1 ? sin x cos x )

?

1 2

(1 ? sin x cos x )

?

1 4

sin 2 x ?

1 2
3 4

? f ( x ) 的最小正周期为π,最大值为

,最小值为

1 4



cos 40 ? cos 60 ? cos 80 ? cos160 的 值 是 (
0 0 0 0

)

A.0
3.设 ? ? (0,

B. 3
2

C.1
2

D.-1
1 3 ,

?
2

), ? ? ( 7 9

?
2

, ? ), 且 cos ? ? ? )
23 D. 27

sin(? ? ? ) ?

则 sin ? ? (
5

A.

1

B.

1 C. 3

27

27

2 sin 4.若 f ( x ) ? 2 sin

2

?
2

?1

?
2

cos

?
2

,则f (

?
12

)?(

)

A. ?

4 3

3

B. 4 ?

3

C. 3 4
2 5 , tan( ? ?

D. ? 6

3

5.已 知 tan(? ? ? ) ? 则 tan(? ?

?
4

)?

1 4

,

?
4

)?

3 22

1

6.化简:
cos

2 1 2

sin 2 ? cos 3 2 ?

sin

1 2

小结 对变换过程中体现的换元、逆向使用公式 等数学思想方法加深认识,学会灵活运用


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