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高中数学必修一教案§1.2.1函数的概念


§1.2.1 函数的概念(必修一)
一、教学目标 1、 知识与技能: 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间 的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数模型化的思想与意识. 2、过程与方法: (1)回顾初中阶段函数的定义,通过实例深化函数的定义. (2)通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习 用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; (3)了解构成函数的要素; 3、情感.态度和价值观 (1)通过学习函数概念,培养学生观察问题,提出问题的探究能力,进一步培养学生学习数学的 兴趣和抽象概括能力; (2) 启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯, 学会数学表达和交流,发展数学应用意识. (3)在函数概念深化的过程中,体会数学形成和发展的一般规律;由函数所揭示的因果关系,培 养学生的辨证思想. (4) 让学生体会现实世界充满变化,要用发展的眼光看待问题。使学生感受到学习函数的必要 性的重要性,激发学习的积极性。

二、教学重点与难点:
重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数; 难点:符号“y=f(x)”的含义,函数三要素的理解;

三、学法与教学方法
1、学法(尝试自学辅导法).:学生通过自学、思考、交流、讨论和概括,从而更好地完成本节课 的教学目标 . 2..教学方法:建构主义观点的教学方式,即通过大量实例,遵循“特殊到一般”的认识规律,提出 问题,大胆猜想,确定方向,分组研究,尝试验证,归纳总结;教师通过问题诱导→启发讨论→探 索结果,引导学生直观感知→观察分析→归纳类比→抽象概括,使学生在获得知识的同时,能够掌 握方法、提升能力. 通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁,使学生心理上得到认同,建立新的认识结构。 内容分析: 函数是数学的重要的基础概念之一 进一步学习的数学分析,包括极限理论、微分学、积分学、 微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程,无一不是以函数作为基本概念和研究对象 的 其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具 函数的教学内 容蕴涵着极其丰富的辩证思想,是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材 函数的思想方法也广 泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中
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函数是中学数学的主体内容 它与中学数学很多内容都密切相关,初中代数中的“函数及其图象”就
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属于函数的内容,高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体,通过这些函数 的研究,能够认识函数的性质、图象及其初步的应用 后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数
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本节的函数是用初中代数中“对应”来描述的函数概念,高一学生的数学知识较少,接受能力 有限,用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的
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教学导图:
分析教材中的三个实例 ↓ 引出函数的概念 ↙ ↘

与初中函数概念进行比较,明确现在函数的优越性 大量例举生活实例深刻理解函数的概念 ↘ ↙ 了解函数的三要素 ↓ 判定两个函数是否相等 ↓ 例题处理 ↓ 课堂练习 ↓ 课堂小结 ↓ 课下作业

四:教学过程 (一)创设情景,揭示课题:
今天我们学习函数,函数一词是德国数学家莱布尼兹首先采用的,后经维布伦,林纳用集合与对应 的观点,揭示了函数概念的本质,我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》 (1895 年)时,首先把 “function”译成函数(中文数学书上使用的“函数”一词是转译词)且给出定义“凡式中含天,为天 之函数” 。 中国古代用天、地、人、物 4 个字来表示 4 个不同的未知数或变量, 意思是“凡是公式 中含有变量 x, 则该式子叫做 x 的函数.”所以“函数”是指公式里含有变量的意思. 古汉语中“函”有“包 含”的意思,函通涵,是蕴涵的意思,函数即从变量的值由因变量决定,涵于因变量之中的意思。李 善兰“凡此变数函彼变数”一句中的函,可意译为“完全包含,全权决定”。 所以我们今天学习的函数,要感谢这些为数学奉献的数学家们。
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1.复习回顾:初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数? 设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应, 那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数.并将自变量 x 取值的集合叫做函数的定义域,和自变量 x 的值 对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数 的传统定义. 初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等
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初中已学习过函数的概念, 函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进 一步学习函数及其构成要素. 2、阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想: (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; 提问: 你能得出炮弹飞行 5 秒、 10 秒、 20 秒时距地面多高吗?其中, 时间 t 的变化范围是什么? 炮弹距离地面高度 h 的变化范围是什么? 炮弹飞行时间 t 的变化范围是数集 A ? {t 0 ? t ? 26} ,炮弹距地面的高度 h 的变化范围是数集

B ? {h 0 ? h ? 845} .
从问题的实际意义可知,对于数集 A 中的任意一个时间 t,按照对应关系 h=130t-5t?,在数集 B 中都有唯一确定的高度 h 和它对应,满足函数定义,应为函数。发现解析式可以用来刻画函数。 对于数集 A 中的任意一个时间 t,按照对应关系(﹡),在数集 B 中都有唯一确定的高度 h 和它对 应. 发现解析式可以用来刻画函数。 (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; 提出问题: 观察分析图中曲线,时间 t 的变化范围是多少?臭氧层空洞面积 s 的变化范围是多 少?尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系. 根据图中曲线可知,时间 t 的变化范围是数集 A ? {t 1979? t ? 2001 } ,臭氧层空洞面积 s 的变化 范围是数集 B ? { S 0 ? S ? 26} . 引导学生看图启发,从图中明显得知,对于数集 A 中的每一个时刻 t 都对应 t 时刻时曲线在该点的 纵坐标。即在数集 B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积 s 与之对应,满足函数定义,也应为函数。 发现图像也可以来刻画函数。 对于数集 A 中的任意一个时间 t,按照图中曲线,在数集 B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积 S 和 它对应. (3) “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 提出问题:恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似?如 何用集合与对应的语言来描述这个关系?请仿照(1) (2)描述表中恩格尔系数和时间(年)的关系.
? 根据上表,可知时间 t 的变化范围是数集 A ? { t 1991 ? t ? 2001 , t ? N } ,恩格尔系数 y 的

变化范围是数集 B ? { y 37.9 ? y ? 53.8} . 学生探讨交流发现,对于表格中的任意一个时间 t 都有唯一确定的恩格尔系数与之对应,即在
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数集 A 中的任意一个时间 t 在数集 B 中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应,满足函数定义,应为 函数。发现表格也可以用来刻画函数。 教师及时提问:这三个实例的不同点和共同点是什么? 对于数集 A 中的任意一个时间 t,根据表 1,在数集 B 中都有唯一确定的恩格尔系数 y 和它对应.

(二) .问题探讨,归纳概括
1.以上三个实例有什么不同点和共同点? 活动:让学生分小组讨论交流,请小组代表汇报讨论结果. 归纳以上三个实例,可看出其不同点是:实例(1)是用解析式刻画变量之间的对应关系,实 例(2)是用图像刻画变量之间的对应关系,实例(3)是用表格刻画变量之间的对应关系. 其共同点是:①都有两个非空数集 A,B;②两个数集之间都有一种确定的对应关系;③对于数 集 A 中的每一个 x ,按照某种对应关系 f ,在数集 B 中都有唯一确定的 y 值和它对应 . 记作

f : A ? B.
引导学生思考: 在三个实例中, 大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系, 其中一个变量都是另一个变量的函数, 2.你能否用集合与对应的语言来刻画函数,抽象概括出函数的概念呢? 活动:让学生分组讨论交流,讨论归纳出: 函数的概念: 一般地,设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中任意一个数

x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个
函数,记作 y ? f ( x ), x ? A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合 { f ( x) x ? A} 叫做函数的值域. 显然,值域是集合 B 的子集. 引导学生深刻体会定义的要点和所满足的条件 强调:①函数首先是两个数集之间建立的对应. 函数的本质:两个非空数集间的一种确定的对应关 系. ②对于 x 的每一个值,按照某种确定的对应关系 f,都有唯一的 y 值与它对应,这种对应应 为数与数之间的一一对应或多一对应 ③认真理解y﹦f(x)的含义:f(x)是函数符号,f 表示对应关系,f(x)表示 x 对应的函 数值, y﹦f (x) 是一个整体, 绝对不能理解为 f 与 x 的乘积.在不同的函数中 f 的具体含义不同, 由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号 f(x)表示外,还

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可用 g(x),F(x)等表示. 思考:这个函数的定义与以往的函数定义有何区别和联系 引导学生思考,提高分析问题解决问题的能力 这两种定义实质上是一致的,即它们的定义域和值域的意义完全相同,对应关系本质也一样, 只不过叙述的出发点不同,初中给出的定义是从运动变化的观点出发,其中对应关系是将自变量 x 的每一个取值与唯一确定的函数 y 对应起来;高中给出的定义是从集合对应的观点出发,其中的对 应关系是将 A 集合中的任一元素与 B 集合中的唯一确定的元素对应起来,这样定义逃脱了物理运动 的束缚,更加完美。 教师再及时引导,既然函数是一个整体,那构成函数定义有几个要素分别是什么?问题清晰,学生 马上给出解答。 ④函数的三要素:定义域,值域和对应法则 对应法则 f 、定义域 A、值域 ? f ( x) | x ? A? 只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。 1°核心 —— 对应法则 等式 y=f(x)表明,对于定义域中的任意 x,在“对应法则 f”的作用下,即可得到 y.因此,f 是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系 x 与 y 的纽带,从而是函数的核心.对于比较简单的函 数,对应法则可以用一个解析式来表示,但在不少较为复杂的问题中,函数的对应法则 f 也可以采 用其他方式(如图表或图象等). (补充理解① 函数是个“信使” “函”字本身就有“信件”之意,每封信都是由邮递员按地址投到不同的的地方,每封信上都 写有确定的地址,不能含混不清.同样, “函数”也是这样,每个自变量 x 都要按一定的对应法则与 确定的 y 一一对应.自变量 x 就是一封信,它被“对应法则”这个信使送到确定的“收信人”—— y 手里. ② 函数是个“产品加工厂” 工厂里把原料按规格加工成不同的产品.函数就是把自变量 x 按规格——“对应法则” “加工” 成不同产品—— y .它也象 “数字发生器” 把原料——自变量 x , 投入不同的 “数字发生器” —— “对 应法则”就会得到不同的产物——因变量 y . ③函数是个“无能的射手” 有本领的射手可以“一箭双雕” ,可函数不行,有可能射不中目标,但它能多箭一雕.正如,由 数集 A 到数集 B 的映射中, B 中每个元素必有原象,也可有多个原象. A 中元素在 B 中可以没有 象.

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④函数是“封建社会的婚宴” 在封建社会,流传着“好女不嫁二夫” ,但“一夫可多妻”.同样函数中多个自变量 x 可对应一 个函数值 y ,但是一个“妇女”——自变量 x 不能找多个“婆家”—— y 值.在现代社会是“一夫一 妻”制,这正如有反函数的函数 x 与 y 之间必须是一一对应的.) 2°前提和基础 ——定义域 定义域是自变量 x 的取值范围,它是函数的一个不可缺少的组成部分,定义域不同而解析式相 同的函数,应看作是两个不同的函数. 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明, 函数的定义域就是 指能使这个式子有意义的所有实数 x 的集合.在实际问题中, 还必须考虑自变量所代表的具体的量的 允许取值范围问题. 3°值域 值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值域也就 随之确定.因此,判断两个函数是否相同,只要看其定义域与对应法则是否完全相同,若相同就是同 一个函数,若定义域和对应法则中有一个不同,就不是同一个函数. 同一函数概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则 唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。 如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同,那么它们仍然 是同一个函数,但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同,那么它们就不是同一个函数. 5 函数的值:关于函数值 f ( a ) 的意义:自变量 x 取确定的值 a 时,对应的函数值用符号 f ( a ) 表示 例: f ( x) = x +3x+1
2

则 f(2)= 2 +3×2+1=11
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2

注意:1?在 y ? f ( x) 中 f 表示对应法则,不同的函数其含义不一样 2? f ( x) 不一定是解析式,有时可能是“列表” “图象” 3? f ( x) 与 f ( a ) 是不同的,前者为变数,后者为常

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(三)新知演练 及时反馈
1. 提出问题: 一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么? 并用函数的概念来描述这些函数. 1.一次函数 f ( x) ? ax ? b (a ? 0) :定义域 R, 值域 R; 2.反比例函 f ( x) ?

k (k ? 0) :定义域 ?x | x ? 0?, 值域 ?x | x ? 0?; x

2 3.二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) :定义域 R

? ? 4ac ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? y | y ? y | y ? a ? 0 a ? 0 值域:当 时, ? 时, ? ? ;当 ? 4a ? 4a ? ? ?
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设计意图:通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数,使学生加深理解函数的本质及构成函 数的基本要素. 2. 思考辨析: (1) y ? 1 (x ? R)是函数吗? (2) y ? ? x ( x ? 0) 是函数吗? (3) y ?

x - 3 ? 1 ? x 是函数吗?
x2 是同一函数吗? x

(4) y ? x 与 y ?

方法引导:如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系? 可依据定义,依据定义中的哪几个要点?要注意函数概念中的哪些关键词? 由学生总结得到:(1)理解函数的定义应注意: ①符号“f:A→B”表示从 A 到 B 的一个函数; ②函数是非空数集 A 到非空数集 B 上的一种对应; ③集合 A 中数的任意性,集合 B 中数的唯一性. (2)判断函数的标准可以简化成:两个非空数集 A,B,一个对应关系. 提出问题:在三个实例中,按照一定的对应关系,能看作从 B 到 A 的函数吗? 你能举出函数的实例吗? 设计意图:使学生更深刻理解函数的概念,培养学生的数学应用意识. 3.练习反馈 例 1 判断下列那些是函数 ①下列图像中不能作为函数 y=f(x)图像的是( B ) y y y

O

x

O

x

O

x

A
② 气压( 10 Pa ) 沸点(℃)
5

B

C

D

0.5 81

1.0 100

2.0 121

5.0 152

10 179
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例 2..下例函数中哪个与函数 y=x 相等 (1) y ? (3) y ?

? x?
x2

2

(2) y ? (4) y ?

3

x3

x2 x

(四)、提炼总结 分享收获
1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念,并引进了函数符号 y=f(x). 2. 突出了函数概念的本质:两个非空数集间的一种确定的对应关系. 3.明确了构成函数的三要素:定义域、对应关系、值域.

(五)、布置作业
1. 举出生活中函数的例子(三个以上),并用集合与对应的语言来描述函数,同时说出函数的 定义域、对应关系和值域. 2.课本 P24 习题 1.2 1、3、4

板书设计

函数的概念 一、实例分析 二、问题探讨 三、归纳概括 1.函数的概念 2.函数的本质: 非空数集到非空数集的一种对应 3. 函数的构成要素: 定义域、对应关系、值域;

教学反思:

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