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2014天津市高考压轴卷 文科数学


天津高考压轴卷数学文 word 版有解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.

1. 已知集合 A={x|x>1},B={x|x<m},且 A∪ B=R,那么 m 的值可以是( A. ﹣1 B. 0 C. 1

). D. 2

x 2.设集合 A ? x | 2 ? 4 ,集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域,则 A

?

?

B?(

).

(A) ?1, 2 ?

(B) ?1, 2?

(C)[1,2)

(D) (1,2]

3. 函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 为( A. ). B.

个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能的值

C. 0

D. ).

4. 函数 f(x)=log2(1+x) ,g(x)=log2(1﹣x) ,则 f(x)﹣g(x)是( A.奇函数 C. 既不是奇函数又不是偶函数 B. 偶函数

D.既是奇函数又是偶函数

5.设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) ,则函数 y ? x g ( x) 的部分图象可以为(
2

).

6. 设 z=2x+y,其中变量 x,y 满足条件

,若 z 的最小值为 3,则 m 的值为(

).

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

-1-

7. 已知点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,当 2x+4y 取最小值时,过 P 点(x,y)引圆 C: =1 的切线,则此切线长等于( A. 1 B. C. ). D. 2

8. 已知 f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ① f(0)f(1)>0; ② f(0)f(1)<0; ③ f(0)f(3)>0; ④ f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是( ③ A. ① ). ④ B. ① ③ C. ② D. ②

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡的相应位置.

9. 已知平面向量 =(2,4) , =(1,﹣2) ,若 = ﹣( ? ) ,则| |=_____________. 10. 已知 tanα= ,tanβ=﹣ ,且 0<α< , <β<π,则 2α﹣β 的值________________. .

11. 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2+a4=6,S4=10.则 a10=___________ 12. 棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是___________.

-2-

13.已知圆的方程为 x2+y2﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为________________. 14. 球面上有四个点 P、A、B、C,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=1,则该球的表面积是 _______________. 15. △ ABC 中,AB=3,∠ A=60°,∠ A 的平分线 AD 交边 BC 于点 D,且 ____________. 16. 在△ ABC 中,BC=a,AC=b,a、b 是方程 及 AB 的长. 的两个根,且 A+B=120°,求△ ABC 的面积 ,则 AD 的长为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上 的指定区域内.

17. 如图,在四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1 中,下底 ABCD 是边长为 2 的正方形,上底 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形,侧棱 DD1⊥平面 ABCD,DD1=2. (1)求证:B1B∥平面 D1AC; (2)求证:平面 D1AC⊥平面 B1BDD1.

18. 数列{an}是递增的等差数列,且 a1+a6=﹣6,a3?a4=8. (1)求数列{an}的通项公式;
-3-

(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值; (3)求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 19. 已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知动直线 l 过点 F,且与椭圆 C 交于 A,B 两点,试问 x 轴上是否存在定点 Q,使得 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由. 20. 已知函数已知函数 f(x)=ex+ln(x+1) (Ⅰ)求函数 y=f(x)图象在点(0,f(0) )处的切线方程; (Ⅱ)若 a≤2,证明:当 x≥0 时,有 f(x)≥ax+1. 的右焦点为 F(1,0) ,且点(﹣1, )在椭圆 C 上.

天津高考压轴卷数学文 word 版参考答案
1.【 答案】D. 【 解析】解:根据题意,若集合 A={x|x>1},B={x|x<m},且 A∪ B=R,
-4-

必有 m>1,分析选项可得,D 符合;故选 D. 2. 【 答案】D.
x 【 解析】解: A ? x | 2 ? 4 ? {x x ? 2} ,由 x ? 1 ? 0 得 x ? 1 ,即 B ? {x x ? 1} ,所以

?

?

A B ? {x 1 ? x ? 2} ,所以选 D.
3. 【 答案】B. 【 解析】解:令 y=f(x)=sin(2x+φ) , 则 f(x+ ∵f(x+ ∴ )=sin[2(x+ )为偶函数, , )+φ]=sin(2x+ +φ) ,

+φ=kπ+

∴φ=kπ+

,k∈Z, . .

∴当 k=0 时,φ=

故 φ 的一个可能的值为 故选 B. 4. 【 答案】A.

【 解析】解:∵ f(x)=log2(1+x) ,g(x)=log2(1﹣x) , ∴ f(x)﹣g(x)的定义域为(﹣1,1) 记 F(x)=f(x)﹣g(x)=log2 则 F(﹣x)=log2 =log2( , ) 1=﹣log2


=﹣F(x)

故 f(x)﹣g(x)是奇函数. 故选 A. 5. 【 答案】C. 【 解析】解: y ' ? cos x ,即 g ( x) ? cos x ,所以 y ? x g ( x) ? x cos x ,为偶函数,图象关于 y 轴对称,
2 2

所以排除 A,B.当 y ? x cos x ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?
2

?
2

? k? , k ? Z ,即函数过原点,所以选 C.

6. 【 答案】A. 【 解析】解:作出不等式组对应的平面区域, ∵ 若 z 的最小值为 3, ∴ 2x+y=3,
-5-





解得



同时(1,1)都在直线 x=m 上, ∴ m=1. 故选 A. 7. 【 答案】D. 【 解析】解:∵ x+2y=3,2x+4y =2x+22y≥2x+2y=23=8,当且仅当 x=2y= 时,等号成立, ∴ 当 2x+4y 取最小值 8 时,P 点的坐标为( , ) ,

点 P 到圆心 C 的距离为 CP=

=

,大于圆的半径 1,

故切线长为 故选 D. 8. 【 答案】C.

=

=2,

【 解析】解:求导函数可得 f′ (x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1) (x﹣3) ∵a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0. ∴a<1<b<3<c 设 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (x﹣c)=x3﹣(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x﹣abc ∵f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc ∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9 ∴b+c=6﹣a ∴bc=9﹣a(6﹣a)< ∴a2﹣4a<0 ∴0<a<4 ∴0<a<1<b<3<c ∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0 ∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0 故选 C. 9. 【 答案】 .
-6-

【 解析】解:∵向量 =(2,4) , =(1,﹣2) , ∴ ∴ ∴ 故答案为 . . ,tanα= <1=tan ,y=tanx 在(0, )上单调递增, =2×1+4×(﹣2)=﹣6. =(2,4)﹣(﹣6) (1,﹣2)=(8,﹣8) , = .

10. 【 答案】﹣

【 解析】解:∵ 0<α< ∴ 0<α< ,又

<β<π, ,

∴ ﹣π<2α﹣β<﹣

∵ tan2α=

=

= ,tanβ=﹣ ,

∴ tan(2α﹣β)=

=

=1,

∴ 2α﹣β=﹣



11. 【 答案】10. 【 解析】解:等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, ∵ a2+a4=6,S4=10,设公差为 d,





解得 a1=1,d=1, ∴ a10=1+9=10. 故答案为 10. 12. 【 答案】4. 【 解析】解:由三视图知余下的几何体如图示:

-7-

∵E、F 都是侧棱的中点, ∴上、下两部分的体积相等, ∴几何体的体积 V= ×23=4. 13. 【 答案】 .

【 解析】解:圆的方程为 x2+y2﹣6x﹣8y=0 化为(x﹣3)2+(y﹣4)2=25. 圆心坐标(3,4) ,半径是 5.最长弦 AC 是直径,最短弦 BD 的中点是 E. SABCD= 故答案为 .

14. 【 答案】3π. 【 解析】解:∵PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=1, ∴分别以 PA、PB、PC 为长、宽、高,作出正方体 设所得正方体的外接球为球 O,则 P、A、B、C 四点所在的球面就是球 O 表面 就是正方体的对角线长等于球 O 的直径 即 2R= = ,得 R= )2=3π

∴球 O 的表面积为 S=4πR2=4π( 故答案为 3π. 15. 【 答案】2 .

【 解析】解:△ ABC 中,∵ AB=3,∠ A=60°,∠ A 的平分线 AD 交边 BC 于点 D,且



取 AC 的一个三等分点 E,满足 AE= AC,作 DF 平行于 AE,则由条件可得四边形 AEDF 为平行四边形, ∴ ∠ AFD=120°,∠ FAD=30°,∠ FDA=30°,故△ AFD 为等腰三角形,∴ AF=DF= AC,故四边形 AEDF 为菱形. 再由 AF=λAB=3λ=DF= AC,可得 AC=9λ,菱形 AEDF 的边长为 3λ. △ AFD 中,由余弦定理可得 AD2=(3λ)2+(3λ)2﹣2?3λ?3λ?cos120°=27λ2,∴ AD=3 △ ABD 中,由余弦定理可得 BD2=32+27λ2﹣2×3×3 △ ACD 中,由余弦定理可得 CD2=81λ2+27λ2﹣2×9λ×3
-8-

λ. .

λ×cos30°=27λ2﹣27λ+9,∴ BD=3 λ×cos30°=27λ2=3 λ.

再由三角形的内角平分线性质可得

,即

=

,解得 λ= ,或 λ=

(舍去) .

故 AD=3 故答案为 2

λ=3 .

× =2



16. 【 解析】∵ A+B=120°,∴ C=60°. ∵ a、b 是方程 ∴ a+b= ∴ S△ABC= AB=c= = ,ab=2, = , = = . 的两个根,

17. 【 解析】证明: (1)设 AC∩ BD=E,连接 D1E, ∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1. ∴B1D1∥BE,∵B1D1=BE= ,

∴四边形 B1D1EB 是平行四边形, 所以 B1B∥D1E. 又因为 B1B?平面 D1AC,D1E?平面 D1AC, 所以 B1B∥平面 D1AC (2)证明:侧棱 DD1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴AC⊥DD1. ∵下底 ABCD 是正方形,AC⊥BD. ∵DD1 与 DB 是平面 B1BDD1 内的两条相交直线, ∴AC⊥平面 B1BDD1 ∵AC?平面 D1AC,∴平面 D1AC⊥平面 B1BDD1. 18. 【 解析】(1)由 得: ,

∴a3、a4 是方程 x2+6x+8=0 的二个根, ∴x1=﹣2,x2=﹣4; ∵等差数列{an}是递增数列, ∴a3=﹣4,a4=﹣2, ∴公差 d=2,a1=﹣8. ∴an=2n﹣10;
-9-

(2)∵Sn= ∴(Sn)min=S4=S5=﹣20;

=n2﹣9n=





(3)由 an≥0 得 2n﹣10≥0,解得 n≥5,此数列前四项为负的,第五项为 0,从第六项开始为正的. 当 1≤n≤5 且 n∈N*时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =﹣(a1+a2+…+an) =﹣Sn =﹣n2+9n; 当 n≥6 且 n∈N*时, Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an| =﹣(a1+a2+…+a5)+(a6+…+an) =Sn﹣2S5 =n2﹣9n﹣2(25﹣45) =n2﹣9n+40. ∴Tn= 19. 【 解析】(1)由题意,c=1 ∵点(﹣1, )在椭圆 C 上,∴根据椭圆的定义可得:2a= ,∴a= .

∴b2=a2﹣c2=1, ∴椭圆 C 的标准方程为 ; 恒成立 ,0) ,则 =﹣ ,∴

(2)假设 x 轴上存在点 Q(m,0) ,使得 当直线 l 的斜率为 0 时,A( ,∴m= ① , ,0) ,B(﹣

当直线 l 的斜率不存在时, ﹣ ,∴

,则

?

=

∴m= 或 m= ② 由① ② 可得 m= .
- 10 -

下面证明 m= 时,

恒成立

当直线 l 的斜率为 0 时,结论成立; 当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为 x=ty+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 直线方程代入椭圆方程,整理可得(t2+2)y2+2ty﹣1=0,∴y1+y2=﹣ ∴ ,y1y2=﹣

=(x1﹣ ,y1)?(x2﹣ ,y2)=(ty1﹣ ) (ty2﹣ )+y1y2=(t2+1)y1y2﹣ t(y1+y2)

+

=

+

=﹣

综上,x 轴上存在点 Q( ,0) ,使得 20. 【 解析】(Ⅰ)解:∵f(x)=ex+ln(x+1) , ∴ 又 f(0)=e0+ln1=1 ,则 f'(0)=2

恒成立.

∴函数 y=f(x)图象在点(0,f(0) )处的切线方程为:y﹣f(0)=f'(0)x, 即函数 y=f(x)图象在点(0,f(0) )处的切线方程为 y=2x+1; (Ⅱ)证明:当 a≤2 时,则 2﹣a≥0…① 令 g(x)=f(x)﹣ax﹣1, 则 令 φ(x)=ex﹣x﹣1(x∈R) ,则 φ'(x)=ex﹣1(x∈R) , 由 φ'(x)=0,得 x=0 当 x≤0 时,ex≤1,即 ex﹣1≤0;当 x>0 时,ex>1,即 ex﹣1>0 ∴函数 φ(x)=ex﹣x﹣1 在(﹣∞,0]为减函数,在(0,+∞)为增函数 ∴φ(x)min=φ(0)=0,即 φ(x)≥0 ∴对?x∈R,都有 ex≥x+1 故当 x≥0 时,x+1>0, ∴ ∴g'(x)≥0, ∴若 a≤2,函数 y=g(x) ,在[0,+∞)为增函数, ∴当 x≥0 时,g(x)≥g(0)=0 ∴当 a≤2 时,x≥0,有 f(x)≥ax+1 成立.
- 11 -



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